讲义2初中函数回顾1文档格式.docx
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表达式为y=kx+b(k≠0,k、b均为常数)的函数,叫做y是x的一次函数。
当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。
函数性质:
1.当k>
0时,y的变化值随x的变化值增大而增大,反之,y的变化值随x的变化值减小而减小,当k<
0时,y的变化值随x的变化值增大而减小,反之,y的变化值随x的变化值减小而增大。
在y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当x增大m时,函数值y则增大km,反之,当x减少m时,函数值y则减少km。
2.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。
3.当b=0时,一次函数变为正比例函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
当两个一次函数表达不相同时,则这两个式中的k不相同,b一次函数的图像相交;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
图象性质:
1.作法:
通过如下3个步骤:
(1)列表;
取满足一次函数表达式的两个点的坐标。
(2)描点;
一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
(3)连线;
一次函数的图象是一条直线,因此,作一次函数的图象只需知道两个点,并作出直线即可。
2.性质:
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:
y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。
正比例函数的图像都经过原点。
3.k,b决定函数图像的位置:
y=kx时,y与x成正比例:
当k>
0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<
0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
0,b<
0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当k<
0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>
0时,直线必通过第一、二象限;
当b<
0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
这时,当k>
0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。
0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)。
5、一次函数的解析式:
①点斜式:
y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点);
②两点式:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y2)两点),
③截距式:
x/a+y/b=1(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)。
解析式表达的局限性:
①所需条件较多(2个点,因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组);
②、③不能表达没有斜率的直线(即垂直于x轴的直线)
倾斜角的概念
x轴的正半轴逆时针旋转到直线所成的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为α,则该直线的斜率k=tanα。
倾斜角的范围为[0,π)。
待定系数法求一次函数解析式
(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;
(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;
(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式。
注意:
求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;
而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值。
例1.已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>
y2,则x1与x2的大小关系是()
A.x1>
x2B.x1<
x2C.x1=x2D.无法确定
解:
根据题意,知k=3>
0,且y1>
y2。
根据一次函数的性质“当k>
0时,y随x的增大而增大”,得x1>
x2。
故选A。
例2.一次函数y=kx+b满足kb>
0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
由kb>
0,知k、b同号。
因为y随x的增大而减小,所以k<
0,从而b<
0。
故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。
故选A.
例3.一个弹簧,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。
如果挂上3kg物体后,弹簧总长是13.5cm,求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求自变量x的取值范围.
分析:
此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题,同时也是实际问题,其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和,而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解:
由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12,得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得:
x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例4.某学校需刻录一些电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元,若学校自刻,除租用刻录机120元外,每张还需成本4元,问这些光盘是到电脑公司刻录,还是学校自己刻费用较省?
此题要考虑X的范围
解:
设总费用为Y元,刻录X张
电脑公司:
Y1=8X
学校:
Y2=4X+120
当X=30时,Y1=Y2
当X>
30时,Y1>
Y2
当X<
30时,Y1<
Y2
反比例函数
形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(y≠0)。
k的意义及应用:
过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|。
反比例函数性质
单调性
当k>
0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<
0时,图象分别位于第二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
k>
0时,函数在x<
0上同为减函数、在x>
0上同为减函数;
k<
0上为增函数、在x>
0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴。
面积
在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|,反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
图像
反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
反比例函数图像不与x轴和y轴相交。
y=k/x的渐近线:
x轴与y轴。
k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。
k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;
反比例函数的图像也是轴对称图形,它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。
反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
【例1】反比例函数的图象上有一点P(m,n)其坐标是关于t的一元二次方程t2+3t+k=0的两根双曲线,且P到原点的距离为√13,求该反比例函数的解析式.
分析:
要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程.
∵m,n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根双曲线
∴m+n=-3,mn=k,
又PO=根号13,
∴m^2+n^2=13,
∴(m+n^2-2mn=13,
∴9-2k=13.
∴k=-2
当k=-2时,△=9+2>
0,
∴k=-2符合条件,
【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求双曲线的解析式
矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段,
设A点坐标为(m,n),则AB=|n|,AC=|m|,
根据矩形的面积公式知|m·
n|=6.
【例3】已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k≠0)
(1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点?
(2)当图像有两个交点时(设为A和B),判断∠AOB是锐角、钝角还是直角?
说明理由。
解
(1)一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k不等于零)有两个交点,即
-x+6=k/x化简的x^2-6x+k=0有两个交点则方程有两个不同的解
即6^2-4k>
0所以k<
9且k不等于0
(2)当0<
9时两交点在第一象限所以∠AOB是锐角当k<
0时两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角
【例4】已知函数y=(m-1)x^(m^2-m-1).
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m为何值时,y是x的反比例函数?
解
(1)正比例函数则x次数是1
m^2-m-1=1
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
系数不等于0
m-1≠0
所以m=2,m=-1
(2)反比例函数则x次数是-1
m^2-m-1=-1
m(m-1)=0
m=0,m=1
所以m=0
【例5】一矩形的面积为24cm^2,则该矩形的长xcm与宽ycm之间的关系是什么?
请写出函数表达式,若要求矩形的各边长均为整数,请画出所有可能的的矩形。
解面积x*y=24
函数表达式y=24/x(x>
0)
矩形的各边长均为整数
可以取x=1,2,3,4,6,8,12,24
三、家庭作业
一、选择题
1、一根弹簧原长12cm,它所挂的重量不超过10kg,并且挂重1kg就伸长1.5cm,写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是()
A.y=1.5(x+12)(0≤x≤10)B.y=1.5x+12(0≤x≤10)
C.y=1.5x+10(0≤x)D.y=1.5(x-12)(0≤x≤10)
2、无论m为何实数,直线
与
的交点不可能在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知函数
当-1<x≤1时,y的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
4、点A(-2,y1)与点B(-1,y2)都在反比例函数y=-
的图像上,则y1与y2的大小关系为( )
A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.无法确定
5、若点(3,4)是反比例函数y=
图象上一点,则此函数图象必经过点( )
A.(2,6)B.(2,-6)C.(4,-3)D.(3,-4)
6、在函数y=
,y=x+5,y=-5x的图像中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图像的个数有( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7、已知函数y=
(k<0),又x1,x2对应的函数值分别是y1,y2,若x2>x1>0对,则有()
A.y1>y2>0B.y2>y1>0C.y1<y2<0D.y2<y1<0
8、如图1,函数y=a(x-3)与y=
,在同一坐标系中的大致图象是()
9、如图2是三个反比例函数y=
,y=
在x轴上方的图象,由此观察k1、k2、k3得到的大小关系为( )
A.k1>k2>k3B.k2>k3>k1 C.k3>k2>k1D.k3>k1>k2
二、填空题
1、直线
与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______.
2、如果直线
经过一、二、三象限,那么
____0(“<”、“>”或“=”).
3、若直线
和直线
的交点在第三象限,则m的取值范围是________.
4、函数y=-x+2的图象与x轴,y轴围成的三角形面积为_________________.
5、已知反比例函数y=
(k≠0)与一次函数y=x的图象有交点,则k的范围是______.
6、已知反比例函数y=
,当m___时,其图象的两个分支在第二、四象限内;
当m___时,其图象在每个象限内y随x的增大而减小.
7、若反比例函数y=
的图象位于一、三象限内,正比例函数y=(2k-9)x过二、四象限,则k的整数值是______.
8、已知点P(1,a)在反比例函数y=
(k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数的图象在第______象限.
9、写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数的解析式是_____.
10、已知反比例函数y=
(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,那么一次函数y=kx-k的图像过象限.
三、解答题
1、已知,直线y=2x+3与直线y=-2x-1.
(1)求两直线与y轴交点A,B的坐标;
(2)求两直线交点C的坐标;
(3)求△ABC的面积.
2、反比例函数的图象过点(2,-2),求函数y与自变量x之间的关系式,它的图象在第几象限内?
y随x的减小如何变化?
请画出函数图象,并判断点(-3,0),(-3,-3)是否在图象上?
3、若反比例函数y=
的图象经过第二、四象限,求函数的解析式.
4、如图3所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点A是图象上的任意一点,AM⊥x轴于M,O是原点,若S△AOM=3,求该反比例函数的解析式,并写出自变量的取值范围.
5、点P,Q在y=-
的图象上.
(1)若P(1,a),Q(2,b),比较a,b的大小;
(2)若P(-1,a),Q(-2,b),比较a,b的大小;
(3)你能从中发现y随x增大时的变化规律吗?
(4)若P(x1,y1),Q(x2,y2),x1<x2,你能比较y1与y2的大小吗?
四、学生对于本次课的评价:
○特别满意○满意○一般○差
学生签字:
五、教师评定:
1、学生上次作业评价:
○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价:
○好○较好○一般○差
教师签字:
久久教育教务处