66中立体几何练习题Word文档下载推荐.docx

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其中假命题有（　　）．

A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个

解析　②中n∥β或nβ；

③中m、n可以共面；

④中m∥β或mβ.只有①为真命题．

5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下面的推理正确的个数为________．

（1）aα，bα，a∥β，b∥β⇒α∥β；

（2）α∥β，aα，bβ⇒a∥b；

（3）a∥α，α∩β＝b⇒a∥b；

解析　题中三个推理都是错误的，我们可以在正方体模型中找到反例，如图所示：

（1）取AB、CD的中点E、F，则EF∥平面ADD1A1，BC∥平面ADD1A1，且BC平面ABCD，EF平面ABCD，但显然，平面ABCD与平面ADD1A1不平行．

（2）平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AB平面ABCD，B1C1平面A1B1C1D1，但AB与B1C1异面．

（3）A1C1∥平面ABCD，平面ABCD∩平面A1B1BA＝AB，但A1C1与AB异面．

答案　0

6．下列命题中正确的序号是________．

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②如果直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都没有公共点．

解析　借助如图所示的长方体模型，棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线

平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以③不正确；

命题④正确．

答案　④

7．如图所示，四棱锥PABCD的底面是菱形，∠ABC＝60°

，PA＝AC＝a，PB＝PD＝

a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

证明你的结论．

解　如题图，存在当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.

因为FM

平面AEC，CE平面AEC，所以FM∥平面AEC.

由EM＝

PE＝ED，得E是MD的中点，

连接BM，BD.设BD∩AC＝O，则O是BD的中点，连接OE，则BM∥OE.因为BM

平面AEC，OE平面AEC，所以BM∥平面AEC.

因为FM∩BM＝M，所以平面BFM∥平面AEC.

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.

8．（创新拓展）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明　

（1）取BB1的中点M，连接MC1，

∵H是AA1的中点，∴MH綉A1B1綉C1D1，MB綉GF，

∴四边形HMC1D1是平行四边形，四边形MBFC1是平行四边形

∴HD1∥MC1，又MC1∥BF，

∴BF∥HD1.

（2）取BD的中点O，

则OE綉

DC，

又D1G綉

∴OE綉D1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，

∴EG∥D1O.

又D1O平面BB1D1D，EG

平面BDD1B1，

∴EG∥平面BDD1B1.

（3）由

（1）知D1H∥BF，

又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，

BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，

DB∩BF＝B，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

9．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点．求证：

平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

证明　∵E，F分别为AB，CD的中点，

∴BE＝CF且BE∥CF，

∴四边形BEFC为平行四边形，从而EF∥BC，

又EF

平面BCF1E1，

BC平面BCF1E1，

∴EF∥平面BCF1E1，

同理，D1F∥平面BCF1E1.

又EF平面EFD1A1，

D1F平面EFD1A1，EF∩D1F＝F，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

10．（12分）已知△ABC中，∠ACB＝90°

，SA⊥平面ABC，AD⊥SC.

求证：

AD⊥平面SBC.

证明　∵∠ACB＝90°

，

∴BC⊥AC.

又SA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴SA⊥BC.

又SA∩AC＝A，

∴BC⊥平面SAC，

∵AD平面SAC，

∴BC⊥AD.

又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC平面SBC，

BC平面SBC，

∴AD⊥平面SBC.

11．（13分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：

（1）直线BD1∥平面PAC；

（2）平面BDD1⊥平面PAC；

（3）直线PB1⊥平面PAC.

证明　

（1）设AC∩BD＝O，

连接PO，

在△BDD1中，∵P、O分别是DD1、BD的中点，

∴PO∥BD1，

又PO平面PAC，BD1

平面PAC，

∴直线BD1∥平面PAC.

（2）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，

∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

又DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥DD1.

又BD∩DD1＝D，BD平面BDD1，

DD1平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，

∵AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面BDD1.

（3）∵PC2＝2，PB

＝3，B1C2＝5，

∴PC2＋PB

＝B1C2，△PB1C是直角三角形，

PB1⊥PC.同理PB1⊥PA，

又PA∩PC＝P，PA平面PAC，

PC平面PAC，∴直线PB1⊥平面PAC.

12．（10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

（1）证明：

EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥EABC的体积V.

（1）证明　在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，

∴EF∥BC.

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC∥AD，

∴EF∥AD.

又∵AD平面PAD，EF

平面PAD，∴EF∥平面PAD.

（2）解　连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G.

则EG⊥平面ABCD，且EG＝

PA.

在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°

，BP＝2，

∴AP＝AB＝

，EG＝

.

∴S△ABC＝

AB·

BC＝

×

2＝

∴VEABC＝

S△ABC·

EG＝

＝

13．（10分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝

a，求证：

（1）PD⊥平面ABCD；

（2）平面PAC⊥平面PBD；

（3）∠PCD为二面角PBCD的平面角．

证明　

（1）∵PD＝a，DC＝a，PC＝

a，

∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，

又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

（2）由

（1）知，PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB.同时AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.

（3）由

（1）知PD⊥BC，

又BC⊥DC，

∴BC⊥平面PDC，

又∵PC平面PDC，

∴BC⊥PC.

∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．

14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下结论：

①AB⊥平面BCC1B1；

②AC⊥平面CDD1C1；

③AC⊥平面BDD1B1.

其中正确的序号是________．

解析　结合图形，利用线面垂直的判定定理进行判断．

答案　①③

15．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；

②若l∥α，则l平行于α内所有直线；

③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；

④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；

⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l.

其中正确命题的序号是________．

解析　利用线面、面面关系的判定及性质求解．

①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确；

两个平面平行时，分别在两平面内也可以有相互垂直的直线，故③不正确；

两个平面平行，两个平面内的直线有可能是异面直线，故⑤不正确．

答案　①④

16．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面命题正确的是（　　）．

A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β

解析　A中，α⊥γ，β⊥γ⇒α与β平行或相交．∴A不正确；

C中，m∥α，n∥α⇒m与n平行、相交或异面．∴C不正确；

D中，m∥α，m∥β⇒α与β平行或相交．∴D不正确．

故选B.

答案　B

17．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（　　）．

①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；

②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；

③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；

④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

A．1B．2C．3D．0

解析　由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足bα，故②错误．③中b能与α相交（不垂直），也可能平行，故③不正确．

18．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）．

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

解析　当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；

由平面与平面垂直的判定可知②正确；

空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；

若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．

19．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（　　）．

A．垂直且相交

B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交

D．不垂直也不相交

解析　取BD中点O，连接AO，CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，

∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，

又BD、AC异面，

∴选C.

20．关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：

①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中正确命题的序号为（　　）．

A．①②B．③④C．①④D．②③

解析　对于①，m、n可以平行、相交，也可以异面，故①不正确；

对于②，由α⊥β可知在α内存在直线a⊥β，因为n⊥β，所以a∥n.又因为m⊥α，所以m⊥a，所以n⊥m，故②正确；

对于③，由n∥β可知在β内存在直线a∥n，因为α∥β且m⊥α，所以m⊥β，所以m⊥a，所以m⊥n.故③正确；

对于④，m有可能垂直于n，故④不正确．

21．四棱锥PABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．

解析　由CD⊥AE，AE⊥PD.

则AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC.

答案　垂直

22．如图所示，α⊥β，CDβ，CD⊥AB，ECα，EFα，∠FEC＝90°

平面FED⊥平面DCE.

证明　∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，

∴CD⊥α.

又∵EFα，∴CD⊥EF.

又∵FEC＝90°

，∴EF⊥EC.

又∵EC∩CD＝C，

∴EF⊥平面DCE.

又∵EF平面EFD，

∴平面EFD⊥平面DCE.

23．如图，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB交SB于点E.过点E作EF⊥SC交SC于点F.

（1）求证：

AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于点G，求证：

AG⊥SD.

证明　

（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，

∵ABCD为矩形，

∴AB⊥BC.

∴BC⊥平面SAB，

∴BC⊥AE.又SB⊥AE，

∴AE⊥平面SBC.

∴AE⊥SC.又EF⊥SC，

∴SC⊥平面AEF.

∴AF⊥SC.

（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，

又AD⊥DC，

∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.

由

（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，

∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.