全等三角形习题课讲义2Word文档下载推荐.docx
《全等三角形习题课讲义2Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形习题课讲义2Word文档下载推荐.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
教学内容
一、补充条件型试题
[例1]
（1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO。
应添加的条件为__________（添加一个条件即可）
A
B
O
C
D
∠A=∠B,∠A=∠C，∠B=∠C，∠B=∠D，AB∥CD
（2）（05重庆中考题）如图，已知∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是__________。
（只需填写一个你认为合适的条件即可）
BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,
∠A=∠D，S△ABO=S△CDO
（3）（06深圳中考题）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需要增加的一个条件是__________
AB=CD,或∠BCA=∠CBD
E
（4）（04四川中考）如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE≌△ACD的是（）
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC
补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B
二、组合条件型试题
三、
F
[例2]（05杭州中考）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以证明：
①AB=DE②AC=DF③∠ABC=∠DEF④BE=CF
解析：
若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF，则另外两个条件可选择①AB=DE④BE=CF，证明全等的理由是边角边定理。
此时的真命题是：
在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.
若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF，则另外三个条件也可构成一个真命题，此时证明全等的理由是边边边定理。
真命题是：
在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF。
[例3]（06湖北中考）如图，给出下列三个式子：
①EC=BD;
②∠BDA=∠CEA;
③AB=AC请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：
如果……，那么……），并给出证明
当条件中含有②∠BDA=∠CEA，由于∠A共用，故无论选择①EC=BD还是③AB=AC其中的一个作为条件，剩下的作为结论，均能构成真命题。
真命题如下：
如果∠BDA=∠CEA，EC=BD，那么AB=AC
如果∠BDA=∠CEA，AB=AC，那么EC=BD
当条件中不含有②∠BDA=∠CEA时，只能以①EC=BD；
③AB=AC作为条件，不能证明△ABD≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA。
此时没有真命题。
四、探索型试题
[例4]（06北京课改）如图
（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图
（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°
AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系
（2）如图（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其他条件均不变，请问，你在
（1）中得到的结论是否仍然成立？
若成立，请证明：
若不成立，请说明理由。
（3）
（2）
M
N
P
（1）
（1）FE=FD.证明：
在AC上取点M,使得AM=AE，连接FM。
易证△AEF≌△AMF,△MCF≌△DCF,故EF=FM=FD.
（2）在AC上取点M,使得AM=AE,连接FM。
∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM
∴△AEF≌△AMF
∴EF=FM,∠AFE=∠AFM
∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60°
∴∠AFC=120°
，∠AFE=60°
∴∠MFC=60°
=∠DFC
∵∠BCE=∠ACE,CF=CF
∴△MFC≌△DFC
∴DF=FM=EF
[例5]（2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于O，若∠A=60°
∠DCB=∠EBC=
∠A,请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°
的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且∠DCB=∠EBC=
∠A,探究：
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
（1）平行四边形，等腰梯形等等；
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）,四边形DBCE是等对边四边形；
G
（3）此时存在等对边四边形DBCE.
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点。
∵∠DCB=∠EBC=
∠A,BC为公共边
∴△BCG≌△CBF∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE故四边形BCED为等对边四边形
五、借助角平分线造全等
[例6]（06郑州中考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，求AE,BE的长。
（1）连接BD、CD
∵BG=CG,DG⊥BC
∴BD=CD
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴Rt△BED≌Rt△CFD
∴BE=CF
（2）由
（1）可知，BE=CF.故AB=AE+BE=a,AC=AF-CF=AE-BE=b,故AE=
，BE=
D.
000000000000000000000
.00
[例7]如图，已知△ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC,BE平分∠B，CE⊥BD,求证：
BD=2CE.
延长BA、CE交于点M
∵BE⊥CE,∠CBE=∠MBE,BE为公共边
∴△CBE≌△MBE
∴ME=CE
∵BE⊥CE,AB⊥AC
∴∠MCA=∠MBE
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACM
∴BD=CM=2CE
六、倍长中线（线段）造全等
[例8]已知，如图△ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_______
延长AD至E,使得AD=DE,连接CE.
∵AD=DE,BD=CD,∠ADB=∠EDC
∴△ABD≌△ECD,∴AB=CE
三角形三边关系定理可知，AB-BC=5-3=2<
2AD<
AB+BC=3+5=8,即1<
AD<
4
[例9]如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，试比较BE+CF与EF的大小。
延长FD至M,使得DM=DF,连接BM、EM
易证△DCF≌△DBM,故DM=DF,BM=CF。
又DE⊥DF,故ME=EF,在△BEM中，BE+BM>
EM,即BE+CF>
EF.
[例10]如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
延长AE至M，使AE=EM,连接DM
∵DE=EC,AE=EM,∠AEC=∠MED∴△AEC≌△MED
∴DM=AC=BD,∠ACD=∠MDC
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,∠ADM=∠ADC+∠MDC
AC=CD→∠DAC=∠ADC
AD共用
∴△ABD≌△AMD∴∠BAD=∠MAD
即AD平分∠BAE
H
[例11]如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC.M是BC的中点，ME∥AD交AB于F，交CA延长线于E,AB>
AC,求证：
BF=CE
延长EM至H,连接BH,易证△BHM≌△CEM,故BH=CE
∵ME∥AD
∴∠BAD=∠BFH,∠CAD=∠CEM=∠BHF
∵∠BAD=∠CAD
∴∠BFH=∠BHF
∴BF=BH=CE
[例12]（天津数学竞赛）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：
AF=EF.
延长AD至M,使得AD=DM,连接BM.
∵∠BDM=∠CDA,AD=DM,BD=DC
∴△BDM≌△CDA
∴BM=AC,∠BMD=∠CAD
∵BE=AC
∴BE=BM,∠BEM=∠BMD
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
附加题
1、（中考题）已知：
如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：
AB=CD
【解析】由OP是∠AOC和∠BOD的平分线可知，∠AOB=∠COD,又OA=OC,OB=OD,故△AOB≌△COD,所以AB=CD.
.
2、（中考题）已知：
如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE,AF=DC.求证：
BC=EF.
BB
【解析】∵AB//ED
∴∠BAC=∠EDF
∵AF=DC
∴AC=DF
∵AB=DE
∴△BAC≌△EDF
∴BC=EF
课后练习
1、（长沙中考）如图，已知MD=ND,∠MBA=∠NDC,试补充一个条件___________，
使得△AMD≌△CDN.
【解析】∠AMB=∠CND,或∠MAB=∠NCD,或AC=BD,或AB=CD
2、（06新疆）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：
①AB=DE;
②BC=EF;
③AC=DF;
④∠A=∠D⑤∠B=∠E;
⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等
的是（）
A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④
【解析】D
3、如图，P是△ABC的外角∠EAC的平分线AD上的点（不与A重合）。
求证：
PB+PC>
AB+AC
【解析】在AE上取点F,使得AF=AC,连接PF.
∵∠CAD=∠EAD,AC=AF,AP=AP
∴△CAP≌△FAP∴PF=PC
在△BPF中，BP+PF>
BF
故PB+PC>
1、如图，在△ABC中，AC>
AB,AD为BC边上的中线，求证：
∠CAD<
∠BAD
【解析】延长AD至E,使得AD=DE,连接CE,
∵∠CDE=∠BDA,AD=DE,CD=BD
∴△CDE≌△BDA
∴CE=AB,∠BAD=CEA
在△ACE中，AC>
AB=CE
∴∠CAD<
∠CEA
故∠CAD<
升级会员 