安徽工业大学信号与系统期末复习材料精docWord下载.docx
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对于给定的任意有界序列（nf,使上式收敛的所有z值的集合称为z变化的收敛域。
根据
级数理论,上式收敛的充分必要条件F（z绝对可和,即∞<
∑∞
=-0
|（|nn
z
nf。
14.信号的频谱包括:
①幅度谱②相位谱15.三角形式的傅里叶级数表示为:
=++
=1
110]sin（cos（[（nnn
tnbtna
atfωω
当为奇函数时,其傅里叶级数展开式中只有sinΩnt分量,而无直流分量和cos分量。
16.离散线性时不变系统的单位序列响应是（nδ。
17.看到这张图,直流分量就是4!
18.周期信号的频谱具有的特点:
①频谱图由频率离散的谱线组成,每根谱线代表一个谐波分量。
这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。
②频谱图中的谱线只能在基波频率1ω的整数倍频率上出现。
③频谱图中各谱线的高度,一般而言随谐波次数的增高而逐渐减小。
当谐波次数无限增高时,谐波分量的振幅趋于无穷小。
19.信号频谱的知识点:
①非周期信号的频谱为连续谱。
②若信号在时域持续时间有限,则其频域在频域延续到无限。
20.根据波形,写出函数表达式（tf（用（tε表示:
t
-3-
21.（tδ为冲激函数①定义:
⎩⎨⎧≠=∞=
0（0
0（（tttδ
②特性:
1（=⎰
∞
-dttδ
③与阶跃函数的关系:
dt
tdt
（（εδ=④采样（筛选性。
若函数（tf在t=0连续,由于（tδ只在t=0存在,故有:
（0（（（tfttfδδ=若（tf在0tt=连续,则有（（（（000tttftttf-=-δδ
上述说明,（tδ函数可以把信号（tf在某时刻的值采样（筛选出来。
⑤重要积分公式:
0（（（fdtttf=⎰
∞-δ（（（00tfdttttf=-⎰
-δ
例题:
计算下列各式:
①1（-ttδ②dttt⎰
--1（δ
③
dttt⎰
-
0（3
cos（δπ
ω④dttet⎰+
--003（δ
二、卷积1.定义:
⎰
--=τττdtffty（（（21
2.代数性质:
①交换律:
（（（*（1221tftftftf=
②结合律:
（*]（（[]（*（[*（321321tftftftftftf=③分配律:
（*（（*（（*]（（[3231321tftftftftftftf+=+
-4-
2.微分和积分特性
①微分特性:
（*（（*（2121tftftftf'
='
②积分特性:
（*（（*（12
12
1（1
tftftftf
（--=
③微积分特性:
（*（（*（（*（2
1（2
121tftftftftftf'
=--
*任意信号与（tδ卷积又是（tf即（（*（tfttf=δ由微分特性则:
（（*（tfttf'
δ
3.延时特性:
（（（（*（（2121222111ttttttyttttfttttf----=----εεε4.重要卷积公式:
①（（*（tfttf=δ②（（*（ttttεεε=
③（21（*（2
tttttεεε=④（1（1（*（tea
tteat
atεεε---=
⑤（（（1
（*（211
2212
1aateeaatete
tatatat
a≠--=
----εεε
求下列卷积
①5（*3（-+ttεε②2*（tδ③（*（tttet
δε'
三、傅里叶变换
1.周期信号的三角级数表示
=++=110cos（（nnntnAatfϕω【2
2nnnbaA+=arct（n
nnab-=ϕ】其中:
=
T
dttfT
a0
0（1
;
⎰=
TndttntfTa01cos（（2ω;
⎰=T
ndttntfT
b01sin（（2ω
-5-
2.周期信号的指数级数表示
-=
tjnndtetfT
1（1Fω
3.非周期信号的傅里叶变换
⎰∞
--=dtetftjωω（F（
反变换:
ωωπ
ωdeFttj（21
f（
4.常用非周期信号的频谱①门函数
2（
2|（|02
|（|1（ωτττττSatttG↔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>
②冲激信号（tδ1（↔tδ③直流信号（2,（1（ωπδ↔∞-∞=tf
④指数信号0,0（（>
=-taetfat
ω
εjateat+↔
-1
（
⑤单位阶跃信号⎩
⎨⎧<
=0（0
0（1（tttε
ωπδεjt1
（（+
↔5.傅里叶变换的性质与应用①线性性质
②信号的延时与相位移动
③脉冲展缩与频带的变化
（||1（a
Faatfω↔
表明:
信号时域波形的压缩,对应其频谱图形的扩展;
时域波形的扩展对应其频域图形的压
（（（（22112211ωωFaFatfatfa+↔+0e（（0tjFttfωω±
↔±
缩,且两域内展缩的倍数是一致的。
④信号的调制与频谱搬移（2
1（21cos（（000ωωωωω++-↔FFttf⑤周期信号的频谱函数
]（（[cos（000ωωδωωδπω-++↔t
]（（[sin（000ωωδωωδπω--+↔jt
-∞=-=nnnFF（2（1ωωδπ
ω⑥时域微分特性
（（（ωωFjtfdt
dnnn
↔
⑦时域积分特性
（1（0（（111ωω
ωδπττFjFdft
+↔⎰∞-
6.卷积定理及其应用
若（（11ωFtf↔;
（（22ωFtf↔
则（（（*（2121ωωFFtftf↔
例题1:
试利用卷积定理求下列信号的频谱函数
①（*cos（（0ttAtfεω=
②（*sin（（0ttAtfεω=
（e（00ωωω-↔Ftftj
例题2:
若已知（（ωFtf↔;
求3（tf,3（+tf。
例题3:
如图所示已知tjetf2（-=,ttx20cos（=,求（,（,（FωωωYX
例题4:
如图所示周期锯齿波信号f（t,试求三角形式的傅里叶级数。
例题5:
设信号4cos（（1ttfπ=,⎩⎨
⎧>
1|（|01|（|1（2tttf;
试求（（21tftf的频谱函数。
例题6:
求0（
（sin（（0>
=-attetfatεω的频谱函数
例题7:
已知||2（tetf-=,用傅里叶性质,求（tf一阶微分以及（tf的积分。
四、拉普拉斯变换
1.单边拉普拉斯的定义:
F（s=
⎰∞--0（dtetfst2.常用拉普拉斯变换
①aseat-↔1;
2
（1asteat-↔②1（↔tδ;
st↔'
（δ
③st1（↔ε⇒s11↔⇒s
AA↔④22sin（ω
ω+↔st⑤22cos（ω
ω+↔sst⑥21（stt↔ε⇒322（s
tt↔ε⑦
（1assaeat+↔--⑧22（sin（ωω
ω++↔-asteat
⑨2
2（cos（ωω+++↔-asasteat
3.拉普拉斯变换的基本性质
①线性
②时移性
③比例性（尺度变换
④幅频移特性
⑤时域微分特性
⑥时域积分特性
4.求拉普拉斯反变换
①D（s=0的根（不含重根n
SSnnsFSS=-=（（K②D（s=0仅含重根
1]（（[!
1（1K11
1SSmnnnnsFSSds
dn=---⨯-=（n=1,2,3„„m5.微分方程的拉普拉斯变换解法
例1（（3（3（=+'
+'
'
tytytyty则
S
sYysSYySysYSyySySsYS1（0（（（30（0（（（30（0（0（（223=
+-+'
--+'
-'
--6.电路S域模型
①电阻R上的时域电压-电流关系为一代数方程（（tRitu=
（（（（2211221
1sFasFatfatfa+↔+0e（（（00stsFttttf-↔--ε⎪⎭
⎫⎝⎛↔asFaatf1（（e（00ssFtfts↔±
0（（d（d--↔fssFttf0（0（0（（d（d1（21--------'
--↔nnnnnnffsfssFsttfs
sFft（d（0↔⎰
-ττ0（0（（d（d222--'
--↔fsfsFst
tf
两边取拉氏变换,就得到复频域（S域中的电压-电流象函数关系为（（UsRIs=
②电容C上的时域电压-电流关系为
tduCtic（（=两边取拉氏变换,利用微分性质得0≥t时的代数关系
0（（（I--=cCussCUcs或s
usIsCsc0（（1（Uc-+=
③电感L上的时域电压-电流关系为dt
tdiLtuL（（=两边取拉氏变换,就可得出S域内的电压-电流关系为
0（（（U--=LLLissLIs或s
isUsLsL0（（1（IL-+=
④KCL和KVL0（=∑ti;
0（=∑tu
分别取拉氏变换,可得基尔霍夫定律的S域形式
0（=∑sI;
0（=∑sU
7.卷积定理
时域卷积变换到S域的特性
（（（（2121sFsFtftf=*
8.重要的函数
（Hs为系统函数;
（S（sts↔阶跃响应;
（F（stf↔输入信号（Y（ZSsLTItyZS↔系统的零状态响应
（（（Y（*（ZSsHsFsthtfyZS=↔=
（1（S（（0sHSsdhtst==⎰-
积分定理ττ阶跃响应]（1[（1sHS
Lts-=,则（（tsth'
=例题1:
若已知（（sFtf↔;
求下列函数的单边拉氏变换
①te--2②tet3（-+δ③te
tcos2-
求下列象函数的拉氏反变换①651（F2+++=ssss②
1（22（F22+++=sssss
③231（F2++=
sss④2
2（4（F+=sss
已知LTI的微分方程（3（6（5（tftytyty=+'
试求其阶跃响应s（t和冲激响应h（t。
已知（（nnfε=,零输入响应为（5.01（2（nnynε-=,
若输入（5.0（nnfnε=,求系统响应（ny。
如下图所示,已知H1=24+-s;
H2=
3（21+s;
H3=11-s,求冲激响应h（t。
已知1f的全响应为（2cos2（ttetε+-;
2f的全响应为（2cos2（ttetε+-,求冲激响应h（t。
例题8:
设系统微分方程为（（2（3（4（tftftytyty+'
=+'
已知10（=-y,10（='
-y,（（2tetftε-=,试用拉氏变换法求零输入响应和零状态响应。
五、Z变换
1.单边Z变换的定义:
=-=0
（（nnznfzF
F（z的反变换:
-=cndz
zzFjnf1（21
（π
2.典型序列的Z变换
①单位序列
⎩⎨⎧≠==0（0
0（1（nnnδ
所以1]（[=nZδ
②阶跃序列
⎩⎨⎧<
≥=0（0
0（1（nnnε所以111]（[1-=-=-zz
znZε
③指数序列（nanε所以azz
aznaZn-=-=-（11]（[1ε
3.常用序列的Z变换
①1（↔nδ②1（-↔
zznε③2
1（-↔zzn④321（1（-+↔zzzn⑤azzan
-↔⑥2（azaznan-↔⑦aanezze-↔⑧1
cos2sinsin（0200+-↔ωωωzzzn⑨1cos2cos（cos（0200+--↔
ωωωzzzzn4.求Z反变换
①F（z仅含有一阶极点
i
zziizzzzF=-=（（K∑=+=⇒n
iniinzkn1
0（（（kf（nεδ
②F（z仅含有重极点
zzminnnzzFzzdzdn=---⨯-=]（（[!
1（1K111（n=1,2,3„„m5.Z变换的主要性质
⑴线性
⑵移位特性
①对于双边序列:
例如:
2（1（（2（12-+-+↔---ffzzFznf
②对于单边序列:
例如:
mzmn-↔-（δ;
1（-↔--zzzmnm
ε⑶比例性（尺度变换
6.卷积定理
（（（（22112211zFazFanfanfa+↔+]
（（[z（1m-∑=-+
↔-mkkzkfzFmnf⎪⎭
⎫⎝⎛↔azFnfan（1（（z1（-1-+↔-fzFnf
（z（（-mzFmnmnf↔--ε
设（（11zFnf↔;
（（22zFnf↔
则（（（*（2121zFzFnfnf↔
求下列离散信号的z变换
①2（-nδ②（nanε-③1（
21（1--nnε
求下列F（z的反变换f（n①2（1（2（--=
zzzzF②21（2（（--=zzzzF
用单边z变换解差分方程11（;
（05.01（9.0（=-=--ynnynyε
六、系统函数
1.系统框图:
①当系统由两个子系统级联构成时,如下图所示,系统函数H（s等于两个子系统函数的乘积。
②当系统由两个子系统并联构成时，如下图所示，系统函数H（s等于两个子系统函数的和。
③当两个子系统反馈连接时，如下图所示。
2.系统函数的零、极点：
零点：
让系统函数分子的值为0，所解出的点，在图中用“o”表示。
极点：
让系统函数分母的值为0，所解出的点，在图中用“×
”表示。
若为n重零点或极点，可在其旁注以“（n”。
3.系统稳定的判断方法：
①稳定：
若H（s的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的。
②临界稳定：
H（s的虚轴上有s=0的单极点或一对共轭单极点，若其余极点全在s左半平面，则系统是临界稳定的。
③不稳定：
H（s只要有一个极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。
例题1：
已知p1=-2+j3；
p2=-2-j3；
z1=1；
z2=-2，求系统函数H（s，并判断其稳定性。
例题2：
根据图，判断系统是否稳定。
-16-
例题3：
已知H（s=其稳定性。
s+3s+2，求系统的冲激响应，阶跃响应，并画出零极点分布图，并判断例题4：
已知H（s=ss2+3s+2，f（t=12e-2te（t，求其零状态响应yZS（t，并画出它的零点和极点，并判断其稳定性。
例题5：
已知连续系统由两个子系统级联而成，如图所示，若描述两个子系统的微分方程分别为y1（t+y1（t=x¢
（t-2x（t；
y（t+2y（t=y1（t。
求每个子系统的系统函数H1（s,H2（s及整个系统的单位冲激响应h（t；
画出系统的零极点图，判断系统的稳定性。
¢
七、离散系统的稳定性1.既是离散系统，又是因果系统，其稳定性的判断方法：
H（z的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定。
H（s的一阶极点（实极点或共轭复极点）位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定。
H（s只要有一个极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。
设有差分方程表示的系统y（n+0.1y（n-1-0.2y（n-2=f（n+f（n-1试求系统函数H（z，并讨论系统的稳定性。
-17-
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