单摆运动规律的研究报告Word文件下载.docx
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1.2.2模型求解
1.2.3结果分析
2现实模式下单摆的数学模型
2.1小、大阻尼单摆运动模型
2.1.1模型建立
2.1.2模型求解
2.1.3结果分析
四模型分析
一问题的描述
根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。
细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。
二模型假设
1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；
2.装置严格水平；
3.无驱动力。
三模型建立及求解
1理想模式下单摆的数学模型
图1
简单单摆模型
在
t
时刻，摆锤所受切向力ft（t）是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即
f（t）=mgsin（t）
完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：
a（t）
=g
sin（t）
因此得到单摆的运动微分方程组：
1.1小角度单摆运动模型
1.1.1模型建立
当摆角θ很小时,sinθ≈θ，故方程1可简化为:
1.1.2模型求解
利用matlab软件在[0,5o]分别作出方程
（1）和方程
（2）的解得图像
小角度单摆摆动规律
（—方程
（1）的解
，**方程
（2）的解）
1.1.3结果分析
由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时（θ<
5），两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。
1.2大角度单摆运动模型
1.2.1模型建立
当摆角很大时，方程sin≈θ不
再成立，方程
（1）和方程
（2）的解不再相近，
1.2.2模型求解
此时利用MATLAB计算软件,得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角为横轴,利用绘图函数polt（x,y）绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线
%单摆周期与摆角的关系
a=0;
b=pi/2;
n=1000;
s1=1:
n;
h=（b-a）/n;
h1=pi/（2*n）
c=0:
h1:
pi/2
x=a;
s=0;
fori1=1:
（n+1）
f0=2/sqrt（1-（sin（c（i1）/2））^2*（sin（x））^2）/pi;
fori2=1:
n
x=x+h;
f1=2/sqrt（1-（sin（c（i1）/2））^2*（sin（x））^2）/pi;
s=s+（f0+f1）*h/2;
f0=f1;
end
disp（1/s）
s1（i1）=s;
plot（c,s1）
xlabel（‘theta0/rad’）
ylabel（‘T/T0’）
大摆角单摆的运动规律
程序如下：
%建立方程
（1）
Functionxdot=per（t,x）
xdot=[-9.8*sin（x
（2））x
（1）]
%建立方程
（2）
Functionxdot=per1（t,x）
xdot=[-9.8*x
（2）x
（1）]
%利用ode45求解微分方程
t0=0;
tf=10;
[t,x]=ode45（‘per’,[t0,tf],[pi/2,0]）
[t1,x1]=ode45（‘per1’,[t0,tf],[pi/2,0]）
plot（t,x（:
2）,‘-‘）
holdon
plot（t1,x1（:
2）,‘‘）
1.2.3结果分析
如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明：
大摆角振动时,
单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线（
虽然很相似）,而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；
摆角越大,分离越明显
2现实模式下单摆的数学模型
2.1.1模型建立
现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见,
可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：
fz
=
f（v），fz
（t）
=kv（t）
上式中，k>
0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。
切向加速度由切向合力ftfz产生，根据牛顿第二运动定律，有
因此得到修正后的单摆运动微分方程组
2.1.2模型求解
据此编写仿真程序：
subplot（2,1,1）
dt=0.0001;
%仿真步进
T=16;
%仿真时间长度
t=0:
dt:
T;
%仿真计算时间序列
g=9.8;
L=1.5;
m=8;
k=3;
th0=1.5;
%初始摆角设置,不能超过π/2
v0=0;
%初始摆速设置
v=zeros（size（t））;
%程序存储变量预先初始化，可提高执行速度
th=zeros（size（t））;
v
（1）=v0;
th
（1）=th0;
fori=1:
length（t）%仿真求解开始
v（i+1）=v（i）+（g*sin（th（i））-k./m.*v（i））.*dt;
th（i+1）=th（i）-1./L.*v（i）.*dt;
end%使用双坐标系统来作图
[AX,B1,B2]=plotyy（t,v（1:
length（t））,t,th（1:
length（t））,'
plot'
）;
set（B1,'
LineStyle'
'
-'
%设置图线型
set（B2,'
:
'
set（get（AX
（1）,'
Ylabel'
）,'
String'
线速度v（t）m/s'
%作标注
set（get（AX
（2）,'
角位移\th（t）/rad'
xlabel（'
时间t/s'
legend（B1,'
线速度v（t）'
2）;
legend（B2,'
角位移\th（t）'
1）;
增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况
2.1.3结果分析
小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停止，但还是周期运动。
大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。
四.模型分析
本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。
再以此为基础讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。
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