初中数学九大几何模型文档格式.docx
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③BD
OD
OB
tan∠OCD；
④BD⊥AC；
AC
OC
OA
⑤连接AD、BC，必有AD2
BC2
2
2；
⑥S△BCD
ABCD
三、模型三、对角互补模型
（1）全等型-90°
①∠AOB=∠DCE=90°
②OC平分∠AOB
1ACBD
2A
OEB
①
②
OD+OE=
③
S△DCE
S△OCD
S△OCE
1
CD=CE
证明提示：
M
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图
4）：
N
EB
以上三个结论：
①CD=CE；
②OE-OD=
2OC；
1OC
③S
S
△OCE
△OCD
图3
F
BD
图4
（2）全等型-120°
①∠AOB=2∠DCE=120°
②OD+OE=OC；
3
OC2
△DCE
4
①可参考“全等型
-90°
”证法一；
②如右下图：
在
OB上取一点
F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。
FB
（3）全等型-任意角ɑ
①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；
②CD=CE；
①OC平分∠AOB；
②OD+OE=2OC·
cosɑ；
③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：
①；
②；
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
EB
对角互补模型总结：
①常见初始条件：
四边形对角互补，注意两点：
四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
A
③注意OC平分∠AOB时，C
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？
四、模型四：
角含半角模型90°
（1）角含半角模型90°
---1
①正方形ABCD；
②∠EAF=45°
①EF=DF+BE；
②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
也可以这样：
②EF=DF+BE；
①∠EAF=45°
ADA
BECGBE
（2）角含半角模型90°
---2
①EF=DF-BE；
ADADA
CC
EBEBEB
FFF
（3）角含半角模型90°
---3
①Rt△ABC；
②∠DAE=45°
BD2CE2DE2（如图1）
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2A
BDECB
DBEC
（4）角含半角模型90°
变形A
△AHE为等腰直角三角形；
CE2
DE2仍然成立（如图
2）
DFEC
DAD
HH
FF
证明：
连接AC（方法不唯一）
G
∵∠DAC=∠EAF=45°
，
CB
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°
∴△DAH∽△CAE，∴DA
AH
AE
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形
模型五：
倍长中线类模型
（1）倍长中线类模型---1
ADAD
①矩形ABCD；
②BD=BE；
③DF=EF；
BCEHBEH
AF⊥CF
模型提取：
①有平行线AD∥BE；
②平行线间线段有中点DF=EF；
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
（2）倍长中线类模型---2
①平行四边形ABCD；
②BC=2AB；
③AM=DM；
④CE⊥AB；
∠EMD=3∠MEA
辅助线：
有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造
等腰△EMC，等腰△MCF。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）
AMDAMD
EE
模型六：
相似三角形360°
旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）
360°
旋转模型---
倍长中线法
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；
EF=CF；
①DF=BF；
②DF⊥BF
延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；
突破点：
△ABD≌△CBG；
难点：
证明∠BAO=∠BCG
（2）相似三角形（等腰直角）
补全法
C
构造等腰直角△AEG、△AHC；
辅助线思路：
将DF与BF转化到CG与EF。
H
（3）任意相似直角三角形360°
旋转模型---补全法
①△OAB∽△ODC；
②∠OAB=∠ODC=90°
③BE=CE；
①AE=DE；
②∠AED=2∠ABO
延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模
型。
转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。
OGO
ADA
CEC
（4）任意相似直角三角形360°
旋转模型---倍长法
延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在
证明∠ABM=∠AOD
模型七：
最短路程模型
（1）最短路程模型一（将军饮马类）
总结：
右四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：
“两点之间，线段最短：
解决；
PA+PB
l
P
B'
特点：
①动点在直线上；
②起点，终点固定
A'
l1
Q
l2
PA+PQ+BQ
（2）最短路程模型二（点到直线类
1）
②M为OB上一定点；
③P为OC上一动点；
④Q为OB上一动点；
【问题】：
求MP+PQ最小时，P、Q的位置？
将作
Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，
则MP+PQ=MP+PQ’MH（垂线段最短）
Q'
P
MB
（3）最短路程模型二（点到直线类
A（0,4）,B（-2,0）,P（0,n
）
n为何值时，PB
5PA最小？
5
求解方法：
①x轴上取C（2,0）,
使sin∠OAC=
②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为
所求；
③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）
y
x
（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
①线段OA=4，OB=2；
②OB绕点O在平面内360°
旋转；
AB的最大值，最小值分别为多少？
以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
。
最大值：
OA+OB；
最小值：
OA-OB
最小值位置
最大值位置
②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；
③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
若PA的最大值为10，则OC=6
若PA的最小值为
1，则OC=3
若PA的最小值为2，则PC的取值范围是
0<
PC<
AO
①Rt△OBC，∠OBC=30°
②OC=2；
③OA=1；
④点P为BC上动点（可与端点重合）；
⑤△OBC绕点O旋转
PA最大值为
PA的最小值为
1OB
OA31
OA+OB=
如下图，圆的最小半径为
O到BC垂线段长。
AO
模型八：
二倍角模型
在△ABC中，∠B=2∠C；
以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、
则BA=AA’=CA’（注意这个结论）
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
BCBC
模型九：
相似三角形模型
（1）相似三角形模型--基本型D
平行类：
DE∥BC；
A字型
结论：
ADAEDE（注意对应边要对应）
ABACBC
（2）相似三角形模型---斜交型
如右图，∠AED=∠ACB=90°
E
AE×
AB=AC×
ADB
EDA
EDE
CBCBC
8字型A字型
AA
斜交型
B斜交型CBC
如右图，∠ACE=∠ABC；
AC=AE×
AB
第四个图还存在射影定理：
AE×
EC=BC×
AC；
BC=BE×
BA；
CE=AE×
BE；
（3）相似三角形模型---
一线三等角型
（1）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°
（2）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°
（3）图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°
①△ABC∽△CDE；
②AB×
DE=BC×
CD；
图
（1）
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
BCDBCD图（3）
图
（2）
（4）相似三角形模型---圆幂定理型
PA为圆的切线；
PA×
PB=PC×
PD；
PA=PC×
PB;
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
图
（1）
图
（2）
图（3）
清代“红顶商人”胡雪岩说：
“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；
看得到天下，就能做天下的生意；
看得到外国，就能做外国的生意。
”可见，一个人的心胸和眼光，决
定了他志向的短浅或高远；
一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。
人生能有几回搏，有生不搏待何时！
所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！
我们走过了黑夜，就迎来了黎明；
走过了荆棘，就迎来了花丛；
走过了坎坷，就走出了泥
泞；
走过了失败，就走向了成功！
一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。
正如郑板桥所具有的人格和精神：
“咬定青山不放松，立根原在破岩中。
千磨万
击还坚劲，任尔东南西北风。
”
梦想在，希望在，人就有奔头；
愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。
前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为
顺境，将梦想变为现实。
实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！
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