北师大版八年级上册第四章42 一次函数与正比例函数Word下载.docx
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如弹簧的长度（在弹性限度内）与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?
用一次函数可以解决哪些问题呢?
你想了解这些吗?
一起进入这节课的学习吧!
导入二:
汽车的平均速度为95km/h,A地直达北京的高速公路全程为570km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?
他是怎样想的?
猜猜看.
二、新知构建
[过渡语]怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?
（1）、出示教材引例及问题
某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
（1）计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时弹簧的长度,并填入下表:
x/kg
1
2
3
4
5
y/cm
（2）你能写出y与x之间的关系式吗?
【分析】 当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.
（2）、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
（1）完成下表:
汽车行驶路程x/km
50
100
150
200
300
耗油量y/L
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?
【答案与提示】
（1）如下表所示:
6
12
18
24
36
（2）y=6·
x.
（3）z=60-x.
【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数,k≠0）的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1,y=x-1等都是一次函数.
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.
[知识拓展] 正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.
（3）、例题讲解
写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:
y是否为x的一次函数?
是否为正比例函数?
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系;
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系;
（3）某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.
（由学生交流讨论完成）
解:
（1）由路程=速度×
时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
（2）由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.
（3）这个水池每小时增加5m3水,xh增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
【思考】 两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?
我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:
月收入不超过3500元的部分不收税;
月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×
3%=10.8（元）.
（1）当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式;
（2）某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?
〔解析〕 一次函数y=kx+b（k,b为常数,k≠0）中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.
（1）当月收入超过3500元而不超过5000元时,
y=（x-3500）×
3%,即y=0.03x-105.
（2）当x=4160时,y=0.03×
4160-105=19.8（元）
（3）因为（5000-3500）×
3%=45（元）,19.2<
45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:
19.2=0.03x-105,x=4140.
即此人本月工资、薪金收入是4140元.
三、课堂总结
四、课堂练习
1.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重物1kg就伸长0.5cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式是 .
解析:
弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12（0≤x≤15）.
2.y=kx+b是一次函数,则k为（ ）
A.一切实数 B.正实数C.负实数D.非零实数
y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.
3.下列函数中,y是x的一次函数的是（ ）
A.y=-3x+5B.y=-3x2C.y=D.y=2
形如y=kx+b（k,b为常数,k≠0）的函数是一次函数.故选A.
4.下列说法不正确的是（ ）
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.
5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.
（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式;
（2）求5年后的年产值.
（1）年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.
（2）将x=5代入
（1）中求得的表达式即可得解.
（1）y=2x+15.
（2）当x=5时,y=2×
5+15=25,
即5年后的年产值为25万元.
五、板书设计
4.2 一次函数与正比例函数
1.出示教材引例及问题.
2.做一做.
3.例题讲解.
例1
例2
六、布置作业
（1）、教材作业
【必做题】教材习题4.2第1,2题.
【选做题】教材习题4.2第5题.
（2）、课后作业
【基础巩固】1.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例,则m的取值范围为（ ）
A.m>
- B.m>
5C.m=-D.m=5
2.下列函数:
①y=4x+3;
②y=x;
③y=x4;
④y=x2;
⑤y=1-x中,一次函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在函数y=x,y=x+3,y=,y=2x2-3,y=2（x-3）中, 是关于x的正比例函数.
【能力提升】4.容积为800L的水池内已蓄水200L,若每分钟注入的水量是15L,设池内的水量为Q（L）,注水时间为t（min）.
（1）请写出Q与t的函数关系式;
（2）注水多长时间可以把水池注满?
（3）当注水时间为0.2h时,池中水量是多少?
5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.
（1）若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;
（2）若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.
【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积/m2
单价/（万元/m2）
不超过30的部分
0.3
超过30不超过n（m2）
的部分（45≤n≤60）
0.5
超过n（m2）的部分
0.7
根据这个购房方案解决下列问题:
（1）若某三口之家欲购买120m2的商品房,求其应缴纳的房款;
（2）设某三口之家购买商品房的人均面积为xm2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.
【答案与解析】
1.C（解析:
∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x2中的y与x成正比例,∴即∴m=-.故选C.）
2.C（解析:
①y=4x+3是一次函数;
②y=x是一次函数;
③y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;
④y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;
⑤y=1-x是一次函数.故选C.）
3.y=x（解析:
只有y=x符合y=kx（k≠0）的形式.）
4.解:
（1）Q=200+15t,0≤t≤40.
（2）注水40min可以把水池注满. （3）当注水0.2h,即12min时,池中水量为380L.
5.解:
（1）y与x的关系式是y=0.3x+0.5×
（3500-x）,即y=-0.2x+1750（0≤x≤3500,且x为整数）.
（2）因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×
60%与3500×
75%之间.当x=3500×
60%=2100时,y=-0.2×
2100+1750=1330;
当x=3500×
75%=2625时,y=-0.2×
2625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.
6.解析:
（1）根据房款=房屋单价×
购房面积就可以表示出应缴房款.
（2）分别求出当0≤x≤30,30<
x≤n和x>
n时y与x之间的表达式即可.解:
（1）由题意,得应缴纳房款为0.3×
90+0.5×
30=42（万元）.
（2）由题意得:
①0≤x≤30时,y=0.3×
3x=0.9x;
②30<
x≤n时,y=0.3×
3×
（x-30）=1.5x-18;
③x>
n时,y=0.3×
3（n-30）+0.7×
（x-n）=2.1x-18-0.6n.
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