届高考数学一轮复习149个必考解题方法Word格式.docx

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（3）再根据不等式的同向可加性即可求得g（a，b）的取值范围．　

8.解一元二次不等式的方法和步骤

9.解含参数的一元二次不等式的步骤

①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；

②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；

③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；

确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　

10.消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　

11.求函数定义域的两种方法

方法

解读

适合题型

直接法

构造使解析式有意义的不等式（组）求解

已知函数的具体表达式，求f（x）的定义域

转移法

若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a<

g（x）<

b即可求出y＝f（g（x））的定义域

已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域

若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域

已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域

12.求函数解析式的4种方法

13.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

14.确定函数的单调区间的方法

15.求函数最值的五种常用方法

16.利用函数的单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．　

17.求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

18.比较指数幂大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，然后得出大小关系．

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　

19.求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

（1）形如y＝af（x）（a>

0，且a≠1）的函数求值域时，要借助换元法：

令u＝f（x），先求出u＝f（x）的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af（x）的值域．

（2）形如y＝af（x）（a>

0，且a≠1）的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

当a>

1时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝af（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相同；

当0<

a<

1时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝af（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相反．　

20.对数式的化简与求值方法

21.对数函数图象的识别及应用方法

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　

22.比较对数值的大小的方法

23,解对数不等式的函数及方法

（1）形如logax>

logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>

1与0<

1两种情况讨论；

（2）形如logax>

b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　

24.函数图象的画法

25.函数图象的辨识方法

（1）抓住函数的性质，定性分析

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

（2）抓住函数的特征，定量计算

利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．　

26.判断函数零点所在区间的方法

定理法

利用函数零点的存在性定理进行判断

能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负

图象法

画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断

容易画出函数的图象

27.判断函数零点个数的3种方法

（1）方程法：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）定理法：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·

f（b）<

0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．

（3）图形法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　

28.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　

29.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法

（1）构建函数模型法：

当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

（2）验证法：

根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．　

30.嵌套函数零点个数的判断

破解此类问题的主要步骤

（1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点．

（2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数．　

31.求曲线切线方程的步骤

（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率．

（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）·

（x－x0）．

32.导数的运算方法

33.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．　

34.讨论函数f（x）单调性的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x），并求方程f′（x）＝0的根；

（3）利用f′（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性．

35.利用导数求函数单调区间的方法

（1）当导函数不等式可解时，解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0求出单调区间．

（2）当方程f′（x）＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f′（x）的符号，从而确定单调区间．

（3）当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f′（x）的结构特征，利用图象与性质确定f′（x）的符号，从而确定单调区间．

36.由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）由可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′（x）>

0（或f′（x）<

0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．

（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．　

37.利用导数研究函数极值问题的一般步骤

38.求函数f（x）在[a，b]上最值的方法

（1）若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　

39.判断函数零点个数的3种方法

令f（x）＝0，则方程解的个数即为零点的个数

画图法

转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数

利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决

40.象限角的2种判断方法

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角

转化法

先将已知角化为k·

360°

＋α（0°

≤α＜360°

，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角

41.求

或nθ（n∈N*）所在象限的步骤

①将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示；

②两边同除以n或乘以n；

③对k进行讨论，得到

或nθ（n∈N*）所在的象限．　

42.三角函数值符号的判断方法

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．　

43.sinα±

cosα与sinαcosα关系的应用方法

（1）通过平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝

，sinα－cosα＝±

（注意根据α的范围选取正、负号）．

（2）对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，可以知一求二．　

44.诱导公式的用法

①化负为正，化大为小，化到锐角为止；

②角中含有加减

的整数倍时，用公式去掉

的整数倍．

45.常见的互余和互补的角写法

①常见的互余的角：

－α与

＋α；

＋α与

－α；

－α等；

②常见的互补的角：

＋θ与

－θ；

－θ等．

46.三角函数公式活用方法

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

47.三角函数公式逆用和变形使用方法

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

②注意特殊角的应用，当式子中出现

，1，

，

等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．　

48.三角公式求值中变角的解题方法

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

49.常见的配角方法

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，β＝

－

，α＝

＋

＝

等．　

50.三角函数名的变换方法

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　

51.求三角函数单调区间的两种方法

（1）代换法：

就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u（或t），利用复合函数的单调性列不等式求解．

（2）图象法：

画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．

52.三角函数值域的求法

（1）利用y＝sinx和y＝cosx的值域直接求．

（2）把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b）的形式求值域．

（3）把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．

（4）利用sinx±

cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域．　

53.已知函数单调性求参数必须明确一个不同，掌握两种方法

（1）明确一个不同．“函数f（x）在区间M上单调”与“函数f（x）的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．

（2）掌握两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：

一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；

二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．　

54.三角函数奇偶性的判断方法

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．

55.三角函数周期的计算方法

利用函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>

0），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为

，函数y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为

求解

56.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法

（1）思路：

函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．

（2）方法：

利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋

，k∈Z，解得x＝

，k∈Z，即对称轴方程；

令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝

，k∈Z，即对称中心的横坐标（纵坐标为0）．对于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝Atan（ωx＋φ）的图象无对称轴）．　

57.解决三角函数图象与性质综合问题的方法

先将y＝f（x）化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再借助y＝Asin（ωx＋φ）的性质（如周期性、对称性、单调性等）解决相关问题．　

58.三角函数中ω值的求法

利用三角函数的周期T求解

解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝

与所给区间的关系，从而建立不等关系．　

利用三角函数的单调性求解

根据正弦函数的单调递增区间，确定函数g（x）的单调递增区间，根据函数g（x）＝2sinωx（ω>

0）在区间

上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．　

利用三角函数的对称性求解

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为

，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为

，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点（极大值）或最低点（极小值），函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点（最值点）、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．　

利用三角函数的最值求解

利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．

59.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，ω>

0）的图象的两种作法

五点法

设z＝ωx＋φ，由z取0，

，π，

π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象

图象变换法

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”

60.确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法

（1）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝

，b＝

.

（2）求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝

（3）求φ，常用的方法有：

①代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；

②特殊点法：

确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”（即图象的“峰点”）时ωx＋φ＝

＋2kπ（k∈Z）；

“最小值点”（即图象的“谷点”）时ωx＋φ＝

＋2kπ（k∈Z）．　

61.求解三角函数图象与性质的综合问题的方法

先将y＝f（x）化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，再借助y＝Asin（ωx＋φ）的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题．　

（1）正、余弦定理的选用

①利用正弦定理可解决两类三角形问题：

一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；

二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；

②利用余弦定理可解决两类三角形问题：

一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；

二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．

（2）三角形解的个数的判断

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；

已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．　

62.判定三角形形状的两种常用途径

63.求三角形面积的方法

（1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；

（2）若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．　

64.已知三角形面积求边、角的方法

（1）若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；

（2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列方程求解．

65.巧建系妙解题，常见的建系方法如下

（1）利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线（如矩形、直角梯形等），可以利用这两条直线建立坐标系．

（2）利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系（如：

等腰三角形、等腰梯形等），可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．　

66.求向量的模或其范围的方法

|a|＝

，|a±

b|＝

（2）坐标法：

设a＝（x，y），则|a|＝

（3）几何法：

利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．

67.处理平面向量与三角函数的综合问题方法

（1）题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．　

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．　

68.由递推关系求数列的通项公式的常用方法

69.解决数列单调性问题的三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

②用作商比较法，根据

（an>

0或an<

0）与1的大小关系进行判断；

③结合相应函数的图象直观判断．

70.求数列最大项或最小项的方法

①可以利用不等式组

（n≥2）找到数列的最大项；

②利用不等式组

（n≥2）找到数列的最小项．　

71.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．　

推断数列的通项公式

解答此类问题的具体步骤：

（1）分式中分子、分母的特征；

（2）相邻项的变化特征；

（3）拆项后的特征；

（4）各项的符号特征和绝对值特征；

（5）化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

（6）对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1，k∈N*处理．　

72.等差数列的判定与证明方法

73.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法

74.等比数列的判定与证明

75.数列求和的五种常用方法

（1）分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

（2）裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

（3）错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

（4）倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

（5）并项法

一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：

（－1）nf（n）类型，可考虑利用并项法求和．

76.用错位相减法求和的方法及步骤

（1）掌握解题“3步骤”

（2）注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．　

77.裂项求和的基本步骤

78.处理数列与不等式的综合问题的方法

（1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．

（2）以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．

（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过构造函数进行证明．　

79.解决数列问题的七大常用方法

方法一　巧用性质减少运算

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．

方法二　巧用升降角标法实现转化

在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决