浙江数学二轮复习专题限时训练三角函数问题含答案.doc

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专题限时集训

（一）　三角函数问题

（对应学生用书第111页）

[建议A、B组各用时：

45分钟]

[A组　高考达标]

一、选择题

1．函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A．－　　 B．－　　

C.　　 D.

A　[函数f（x）＝sin（2x＋φ）向左平移个单位得y＝sin＝sin，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，

∴f（x）＝sin.

又∵x∈，

∴2x－∈，∴sin∈，

当x＝0时，f（x）min＝－，故选A.]

2．（2016·宁波十校联考）已知函数f（x）＝sinx－cosx，且f′（x）＝f（x），则tan2x的值是（　　）

A．－　　　 B．－　　　

C.　　　 D.

D　[因为f′（x）＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝，故选D.]

3．（2017·杭州第二次质检）已知函数f（x）＝sin，则下列结论中正确的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）的图象关于点对称

C．由函数f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin2x的图象

D．函数f（x）在上单调递增

C　[函数f（x）＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin2x－＋＝sin2x的图象，故选C.]

4．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图1­3所示，则f（0）＋f的值为（　　）

图1­3

A．2－ B．2＋

C．1－ D．1＋

A　[由函数f（x）的图象得函数f（x）的最小正周期为T＝＝4＝π，解得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x＋φ）．又因为函数图象经过点－，－2，所以f－＝2sin＝－2，则2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜，所以φ＝－，则f（x）＝2sin，所以f（0）＋f＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－＋2，故选A.]

5．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为（　　）【导学号：

68334033】

A．[－1,1] B．[－1，]

C．[－，1] D．[1，]

A　[由sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β）＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]⇒α∈，且sin（2α－β）＋sin（α－2β）＝sin＋sin（π－α）＝cosα＋sinα＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin∈[－1,1]，故选A.]

二、填空题

6．（2017·浙东北教学联盟高三一模考试）已知sinα＝，0＜α＜π，则tanα＝________，sin＋cos＝________.

±　　[因为0＜α＜π，所以tanα＝＝±＝±＝±，又0＜＜，所以sin＞0，cos＞0，所以sin＋cos＝＝＝＝.]

7．（2017·温州第二次适应性测试）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象如图1­4所示，则ω＝______，φ＝________.

图1­4

2　　[由图象知函数f（x）的周期为π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ）．把点（π，1）代入得2sin（2π＋φ）＝1，即sinφ＝.因为|φ|<，所以φ＝.]

8．已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

【导学号：

68334034】

　[f（x）＝sinωx＋cosωx＝sinωx＋，

因为f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，

所以f（ω）必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.

又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，

所以ω＝.]

三、解答题

9．设函数f（x）＝2cos2x＋sin2x＋a（a∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y＝f（x）（x∈R）的对称轴方程．

[解]　

（1）f（x）＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin＋1＋a， 2分

则f（x）的最小正周期T＝＝π， 3分

且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）时，f（x）单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋（k∈Z）．

所以（k∈Z）为f（x）的单调递增区间. 5分

（2）当x∈时⇒≤2x＋≤， 7分

当2x＋＝，即x＝时，sin＝1.

所以f（x）max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.11分

由2x＋＝kπ＋得x＝＋（k∈Z），故y＝f（x）的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 14分

10．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图1­5所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.

图1­5

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g（x）的图象，当x∈（－1,2）时，求函数h（x）＝f（x）·g（x）的值域.【导学号：

68334035】

[解]　

（1）由条件知cos∠POQ＝＝. 2分

又cos∠POQ＝，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P（1,2）. 3分

由此可得振幅A＝2，周期T＝4×（4－1）＝12，又＝12，则ω＝. 4分

将点P（1,2）代入f（x）＝2sin，

得sin＝1.

∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f（x）＝2sin. 6分

（2）由题意可得g（x）＝2sin＝2sinx. 7分

∴h（x）＝f（x）·g（x）＝4sin·sinx

＝2sin2x＋2sinx·cosx

＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin. 9分

当x∈（－1,2）时，x－∈， 11分

∴sin∈（－1,1），

即1＋2sin∈（－1,3），于是函数h（x）的值域为（－1,3）. 14分

[B组　名校冲刺]

一、选择题

1．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin2α的值为（　　）

A.　　　 B．－　　　

C.　　　 D．－

D　[根据已知可得点P的坐标为（2,3），根据三角函数定义，可得sinα＝，cosα＝，所以sin2α－sin2α＝sin2α－2sinαcosα＝2－2××＝－.]

2．将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A. B.

C．－ D．－

D　[f（x）＝sin（2x＋φ）向右平移个单位得到函数g（x）＝sin＝sin2x－＋φ，此函数图象关于y轴对称，即函数g（x）为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f（x）的最小值为sin＝－，故选D.]

3．已知函数f（x）＝asinx－bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x＝处取得最大值，则函数y＝f是（　　）

A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B　[由题意可知f′＝0，

即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，

∴f（x）＝a（sinx＋cosx）＝asin.

∴f＝asin＝acosx.

易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B.]

4．（2017·温州第二次检测）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图1­6所示，且f（α）＝1，α∈，则cos＝（　　）

【导学号：

68334036】

图1­6

A．± B.

C．－ D.

C　[由题图易得A＝3，函数f（x）的最小正周期T＝＝4×，解得ω＝2，所以f（x）＝3sin（2x＋φ）．又因为点在函数图象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f（x）＝3sin，当α∈时，2α＋∈.又因为f（α）＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，则cos＝－＝－，故选C.]

二、填空题

5．已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）在上单调递减，则ω的取值范围是______. 【导学号：

68334037】

　[f（x）＝sinωx＋cosωx＝sinωx＋，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋（k∈Z），解得＋≤x≤＋（k∈Z）．

由题意，函数f（x）在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有

解得4k＋≤ω≤2k＋（k∈Z）．

由4k＋＜2k＋，解得k＜.

由ω＞0，可知k≥0，

因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为.]

6．设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

π　[∵f（x）在上具有单调性，

∴≥－，∴T≥.

∵f＝f，

∴f（x）的一条对称轴为x＝＝.

又∵f＝－f，

∴f（x）的一个对称中心的横坐标为＝，

∴T＝－＝，∴T＝π.]

三、解答题

7．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

Asin（ωx＋φ）

0

5

－5

0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值.

【导学号：

68334038】

[解]　

（1）根据表中已知数据，

解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

π

Asin（ωx＋φ）

0

5

0

－5

0

4分

且函数解析式为f（x）＝5sin. 6分

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，

则g（x）＝5sin. 7分

因为函数y＝sinx图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z，

令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 8分

由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，

所以令＋－θ＝，

解得θ＝－，k∈Z. 12分

由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 14分

8．已知函数f（x）＝2sinxcosx－sin2x＋cos2x＋，x∈R.

（1）求函数f（x）在上的最值；

（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象．已知g（α）＝－，α∈，求cos的值．

[解]　

（1）f（x）＝2sinxcosx－sin2x＋cos2x＋

＝sin2x－＋cos2x＋

＝sin2x＋cos2x＝2sin. 2分