小学数学问答手册六分数应用题 精品.docx
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六、分数应用题
208.在分数应用题中,如何进行聚简为繁的训练?
在分数应用题的教与学中,特别是对较复杂的分数应用题,通常采用化繁为简的方法,即:
把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应用题。
这种分散难点、各个击破的方法,实际上是化繁为简的训练。
与此同时,还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练,使学生既看到较复杂应用题的分解过程,也看到它的组合过程,后者就是聚简为繁的训练。
完成了多少米?
这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题,属于早已掌握的旧知识,可以顺利地列式解答。
结果求出后,立即提出下题:
4天修完6000米,平均每天修了多少米?
这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题,也比较容易列式解答。
6000÷4=1500(米)
接着提出第三个问题:
按每天修1500米的速度,完成计划的36000米,实际要多少天?
这是除法中包含除的简单应用题,列式解答也将是顺利的。
36000÷1500=24(天)
在此基础上,提出第四个问题:
计划30天完成的任务,实际用了24天,提前几天完成任务?
这是减法中求两数差的简单应用题,列式解答为:
30-24=6(天)
在分散的基础上,把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来,就组成了一道四步的较复杂的应用题。
即:
照这种速度,可以提前几天完成任务?
这种聚简为繁的训练,可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成的,也就是较夏杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。
这是两步应用题教学中,并题训练的扩大。
在此基础上,对进行化繁为简的解答,不但起了促进作用,也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。
从而达到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。
209.在分数应用题教学中,如何进行一题多变?
一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段,它是在掌握例题典型性的基础上,充分发挥例题的可变性,通过条件的变化和问题的改换,使知识向纵向和横向延伸。
这对于防止学生思维的呆板,摆脱思维定势的羁绊,都是极其有益的。
一题多变的方法,一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。
它不仅可以沟通知识的内在联系;还可以使基本题向深度和广度发展,从而看到较复杂题的来龙去脉。
既有利于学生思维灵活性的培养,又在有限的教学时间内加大练习和训练的密度。
例如:
教师先在黑板上板书两个条件:
男生25人,女生20人。
然后启发学生:
依据这两个条件,在学过分数乘、除法应用题上,可以提出什么问题?
开始时,一般提出下面四个问题:
(1)男生人数是女生人数的多少倍?
(2)女生人数是男生人数的几分之几?
(3)男生人数比女生人数多几分之几?
(4)女生人数比男生人数少几分之几?
随着四个答案,教师继续板书,将男生25人用红笔框起来,表示为问题;把女生20人与原来提出的四个问题的答案,作为条件,分别用直线连接。
这样就形成了四个新问题:
在完成上述四题的口算后,再将女生20人这个条件用红笔框起来,用男生25人与上述四题的结果作为条件。
这样又形成了四个新问题:
这时,板书已经形成了以下的网状结构:
通过一题多变,将两个基本条件,先后组成了十二道基本应用题,同时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。
如果把男、女生人数和作为标准量,还可以变化出更多的题目。
以上所举的例子,只是横向上的一题多变。
如果在一道基本题的基础上,附加条件或引申问题,那就是纵向上的一题多变。
运用一题多变,有两个问题应该注意:
其一,一题多变不是目的,而是促进学生思维灵活的手段。
不能为多变而多变,更不是变得越多越好,要从班级实际情况出发,做到“适可而止”。
其二,进行一题多变的基础,是学生清晰而明确地掌握基本数量关系和“量”与“率”的对应关系,不能匆忙起步。
否则,仓促的多变,反而会引起部分学生思维上的混乱。
210.在分数应用题教学中,如何进行一题多解?
一题多解是应用题教学的一种重要方法。
即:
在不改变条件和问题的情况下,让学生多角度、多侧面地进行分析和思考,以探求不同的解题思路。
在探求的过程中,由于学生的思维发散点不同,因而能找出多种解题途径,收到培养求异思维的效果。
进行一题多解的训练,通常采用两种方法:
一种是先找出常规解法,然后进行发散性的思考,以探求不同的思路;另一种是摆出条件和问题后,不找常规解法而直接进行发散。
前者属于“同中求异”,后者属于“异中求同”。
因为这两者的目标是一致的:
在发展思维的前提下,“殊途同归”。
例如:
修路队九月份(按30天计算)计划修路2400米,由于开展向国
解法一:
按分数应用题的常规思路,确定计划2400米为标准量,求出它
两数差。
解法二:
按方程的思路分析,把提前的天数设为x,其含有未知数的等式为:
解法三:
按工程问题的思路分析,把计划的2400米看作“1”,
“1”里面包含着多少个这样的几分之几,就求出了实际的天数,最后用减法求出提前的天数。
解法四:
按比例应用题的思路来分析,设提前的天数为x,前6天所对
的比值,速度是不变量。
设:
可提前x天完成。
解法五:
仍按比例应用题的思路分析,根据速度一定,时间和数量成正
个数的几分之几是多少,求这个数的方法,就可求出实际完成的天数,最后用减法求出提前完成的天数。
其他的解法从略。
在一题多解的训练中,选择恰当的题目是非常重要的。
题目要从学生已掌握的知识实际出发,题目中条件与条件、条件与问题之间的关系,都应有一定的广度,要能够为求异思维的展开,提供不同的发散点。
思路狭窄的题目,是不能为一题多解选用的。
一题多解与一题多变一样,多解也不是目的,目的在于通过思维的发散,开拓解题的思路,发展学生的智力。
211.什么是逆向的思维方法?
逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。
在分析、解答应用题时,顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的;而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序,而是从反方向(或从结果)出发,进行逆转推理的一种思维方法。
逆向思维与顺向思维是思维训练的主要的基本形式,也是思维形式上的一对矛盾。
正确地进行逆向思维,对开拓分数应用题的解题思路,促进思维的灵活性,都会起到积极的作用。
以下面两题为例:
解:
从题意上分析,这是一道典型的“还原法”问题,如果按一般顺向思维的方法进行思考,将难以找到解题的突破口。
正确的解题思路就是用逆向思维的方法,从最后的得数出发,一步步地向前逆推。
在逆向推理的过程中,对原来题目里的四则运算进行逆向运算。
即:
加变减、减变加、乘变除、除变乘。
的这个数。
列式计算为:
解:
此题如按顺向思维来思考,就是“归一”的思路,先要求出1吨面
如果从逆向思维的角度分析,可以形成另外两种不同解法:
即:
①不着眼于先求1吨面粉需多少吨,而着眼于1吨小麦可磨多少吨面粉,然后再求
“倍比”的思路,求出面粉的吨数。
列式计算为:
通过以上两例可以看出,掌握逆向思维的方法,遇到问题可以变换角度,进行正、反两方面的思考,在开拓解题思路的同时,也促进了逻辑思维能力的发展。
212.什么是对应的思维方法?
对应思维是一种重要的数学思维,也是现代数学思想的主要内容之一。
在小学数学的教材中,对应思维所表现的是一般对应和量率对应,一般对应是从一一对应开始的。
例如:
甲有6个三角,乙有4个三角,甲比乙多几个三角?
这里的虚线表示的就是一一对应,即:
甲和乙都有同样多的4个三角,而没有虚线的2个,正是甲比乙多的三角。
一般对应随着知识的扩展,也表现在以下问题上:
煤80吨,平均每小时采煤多少吨?
这是一道求平均数的应用题。
要求出每小时采煤多少吨,必须先求上、下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。
这里的共采煤吨数与共工作的小时数是相对应的,否则求出的结果就不是题目中所求的解。
在简单应用题中,培养与建立对应的思维方法,这是解决较复杂的应用题的基础。
因为较复杂的应用题中,间接条件较多,在推导的过程中,利用对应思维所求出的数,虽然不一定是最后结果,但往往是解题的关键所在。
在分数乘、除法里,这种对应思维突出表现在数量与分率(或倍数)的对应关系上;正确的解题思路的形成,就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。
从题意分析看出,这是一道“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的分数除法应用题。
条件中只有20本这唯一具体的量,解题的关键是要找出这个“量”所对应的“率”。
如图:
确定“量”所对应的“率”,是解答此类题的唯一思考途径。
按照对应的思路,列式计算为:
答:
书架上原有书240本。
从上题的思考过程来看,没有量率对应的思维方法,就不可能找出正确的解题思路。
由此可见,在解答分数乘、除法应用题时,对应的思维方法,无疑是一把宝贵的钥匙。
213.什么是假设的思维方法?
假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。
这种思维在解答应用题的实践中,具有很大的实用性。
这是因为有些应用题用顺向思维和逆向思维都不能找到解题途径时,可以将题目中的两个或两个以上的未知条件,假设成相等的数量,也可以把一个未知条件假设成已知条件,从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系,趋于明朗化和简单化,这是假设思维方法的突出特点。
当“假设”的任务确定后,就按照假设后的条件,依据数量的相依关系,做出相应的调整后,列式计算并求出正确的结果。
题目中有件数和与用布的米数和,由于上、下衣用布量并不一样,做的件数也不一样,按照常规思路,将是无从下手的。
但是运用假设的思维方法,此题并不难解决,并且有两个思路:
200-80=120(件)上衣
500米,比实际总米数少(520-500=)20米,这个差是由于每件上衣用布数
才差20米呢?
这也是答案之一。
列式计算为:
200-120=80(件)下衣
通过计算表明:
这两个思路都运用了假设的思维方法。
在整数应用题里的鸡兔同笼问题,实际上也运用的是这种思维方法。
假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中,应用也较广泛。
如下题:
各重多少吨?
这样两个标准分率就一样了。
用共重的吨数乘以假设后的统一分率,所得的
样就可求出其中一堆的重量,另一堆重量用减法即可求出。
30-12=18(吨)第二堆
30-18=12(吨)第一堆
以上的两个思路都是从率入手的。
如果从量入手,又会形成两个思路。
无论从量从率入手,都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。
214.什么是转化的思维方法?
在分数乘、除法应用题中,常出现两个或两个以上的不同标准量,从属于这些标准量的分率,就很难进行分析和比较。
运用转化的思维方法,就可以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。
在此基础上,其不同标准量的分率,也转化为共同标准量下的分率。
经过转化后的数量关系,也就变得简单而明朗,既便于果断地确定思路,也利于准确而迅速地安排解题的步骤。
建立转化的思维方法,必须具备扎实的基础知识,对基本的数量关系,特别是对量率对应等关系,都能够熟练地掌握和运用,这是建立转化的思维方法的前提条件。
运用转化的思维方法的题目,类型较多,以常见的率转化为例:
少岁?
从题目的条件与问题分析,这是一道和倍应用题,但标准量却有两个(父
这样