50奇数和偶数上下924Word文档下载推荐.docx

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2﹦）50个。

50＋2﹦52（个）

综上所述，这100个自然数中至少有52个奇数。

所以这些自然数中至多有偶数：

100－52﹦48（个）。

《奥赛天天练》第38讲，巩固训练，习题2

已知a，b，c中有一个是2001，一个是2002，另一个是2003，判断：

（a－1）×

（b－2）×

（c－3）的结果是奇数还是偶数？

若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数。

根据题意，a可能是2001、2002或2003：

假设a是2001，a－1﹦2001－1﹦2000，2000是偶数，则所求的结果是偶数；

同理可得，a是2003时，所求结果也是偶数；

假设a是2002，c只能是2001或2003，一定是奇数，（c－3）的差就是偶数，则所求结果一定是偶数。

综上所述，（a－1）×

（c－3）的结果一定是偶数。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题1

有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和都是奇数，并且每个数都是两个两位数的乘积（如144﹦12×

12），把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？

所求自然数小于200，且能分解成两个两位数因数的乘积。

因为200﹤152，如果两个因数都大于或等于15，这个数就大于200了，所以这两个两位数因数，至少有一个因数小于15。

根据因数特征，按从大到小的顺序，尝试计算，寻找符合条件的此类自然数：

13×

15﹦195

14﹦182

12×

15﹦180

这一类自然数从大到小排列，第三个数是180。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题2

能否在下面的“□”内填入加号或减号，使等式成立？

为什么？

1□2□3□4□5□6□7□8□9﹦10

判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数。

算式1□2□3□4□5□6□7□8□9中，共有5个奇数：

1、3、5、7、9，所以这道算式，无论在“□”内填入的是加号还是减号，计算结果一定是奇数，不可能是偶数10。

所以无论在“□”内填入的是加号还是减号，这个等式都不能成立。

（五十一）奇数和偶数（下）

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习1

一副扑克牌54张，除去大、小王后还有52张，则取同一花色的13张牌正面朝上放好，按牌上的数的约数个数作为翻动次数（这里把J，Q，K看作11，12，13），问这些牌经过翻动后，都有那些牌背面朝上？

一、每张牌正面朝上放好，翻动偶数次后仍然正面朝上，翻动奇数次后变化为背面朝上。

二，任意一个整数的约数都是成对出现的。

如果一个整数是完全平方数，即可以写成另一个整数的平方，则这个数有奇数个因数。

如果一个整数不是完全平方数，则这个数有偶数个因数。

三、1到13中，完全平方数有3个：

1，4，9。

综上所述，1，4，9这三张牌经过翻动后背面朝上。

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习2 

某展览馆共有36个陈列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览室都去一次，并且只去一次，你能替他设计参观路线吗？

如上图，把6×

6的方格黑、白相间染色。

从图中可以看出，从黑格走出后，只能进入白格，从白格走出后只能进入黑格。

从入口黑格进入展览馆，参观路线只能是：

黑﹥白﹥黑﹥白……

走到黑格时共参观了奇数个陈列室，走到白格时共参观了偶数个陈列室。

要参观36个陈列室，最后到达的是白格陈列室，而出口在黑格陈列室。

所以无法设计出符合题目要求的参观路线。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题1

由14个1×

1的正方形组成下图，用7个1×

2的长方形能不能把这个图形都盖住？

把这些小正方形黑白相间染色，与任意黑格相邻的必是白格，而与白格相邻的必是白格，如下图，用1×

2的长方形去覆盖，每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格，一个是白格：

7个长方形只能盖住7个黑格和7个白格，而上图中有6个白格、8个黑格，所以，7个1×

2的长方形不能把原图形都盖住。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题2

一次宴会上，客人们相互握手，问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数？

两人握手，给每人各计数一次，共2次，则无论多少人相互握手，握手总次数为偶数。

把宴会上握手的人分为两类：

第一类是握手次数为偶数的人，第二类是握手次数为奇数的人。

N个偶数相加的和仍为偶数，第一类人握手总次数为偶数，所有人握手总次数也是偶数，偶数减偶数还是偶数，所以第二类人握手总次数也是偶数。

第二类人，每人握手次数为奇数，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和才为偶数。

第二类人握手总次数为偶数，所以第二类人总数也是偶数。

即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题1

能否用3个“田”字形纸片（如下面左图）和13个“丁”字形纸片（如下面右图）完全盖住一个8×

8的正方形棋盘？

如下图，把棋盘黑白相间染色，共有32个黑格、32个白格。

用“田”字形纸片覆盖，每张纸片能盖住2个黑格、2个白格，用“丁”字形纸片覆盖，能盖住3个黑格、1个白格或3个白格、1个黑格：

3个“田”字形纸片覆盖了6个黑格和6个白格，剩下26个黑格、26个白格共52格，黑格数和白格数都是偶数。

每个“丁”字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数（1格或3格），共有13个“丁”字形纸片，正好覆盖52格。

但13个奇数的和还是奇数，因此覆盖的白格数和黑格数都是奇数，不可能都盖住26格。

因此，用所给的纸片不能盖住整个棋盘。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题2

有n盏有拉线开关的灯都亮着，规定每次拉动（n－1）个开关，能不能将所有灯都关上？

n盏灯开始都是亮着的。

每盏灯拉动开关奇数次后会关上，拉动开关偶数次后又会点亮。

分两种情况讨论：

一、当n是奇数时，（n－1）是偶数。

要使所有灯都关上，每盏灯都要拉动奇数次，奇数个奇数的和是奇数，n盏灯拉动开关的总次数必须是奇数；

每次拉动（n－1）个开关，（n－1）是偶数，无论拉动多少次，任意多个偶数的和是偶数，拉动开关的总次数只能是偶数。

所以当n是奇数时，按规定，不能将所有灯都关上。

二、当n是偶数时。

如下图，白点表示亮灯，黑点表示关灯，每次拉动（n－1）盏灯，黑白交界处有一盏没有拉动的灯：

开始时：

○ 

……

第一次：

● 

第二次：

第三次：

第四次：

第五次：

第六次：

…… 

观察上面图示可以发现，当n是偶数时，每次拉动（n－1）盏灯，拉动n次，可以将n盏灯全部关上。

《奥赛天天练》第49讲《奇与偶》。

所有整数可以分为奇数和偶数两大类，现阶段，所谓奇数指的就是孩子们熟悉的单数，偶数指的就是双数和0。

在四年级，孩子们将学到奇、偶数完整的定义：

能被2整除的整数叫做偶数。

如0，2，4，…等都是偶数，包括正偶数、负偶数和0。

不能被2整除的整数叫做奇数。

如1，3，5，…等都是奇数，包括正奇数和负奇数。

人们习惯上常用2n表示偶数，用2n＋1表示奇数（其中n是整数）。

通过实验，孩子们很容易证明奇、偶数有下面一些重要性质：

1、任意一个整数都有奇偶性，即不是奇数就是偶数。

2、奇数±

奇数=偶数，奇数±

偶数=奇数，偶数±

偶数=偶数。

3、奇数个奇数的和（或差）为奇数；

偶数个奇数的和（或差）为偶数；

任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

4、两个奇数之积为奇数；

一个偶数与一个整数之积为偶数。

5、若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数；

如果所有的乘数都是奇数，积就是奇数。

6、偶数的平方必能被4整除，奇数的平方被4除余1。

注：

第3条性质可以利用第2条性质进行证明，第5条性质可以利用第4条性质进行证明。

《奥赛天天练》第49讲，巩固训练，习题1

有5盏亮着的灯，每盏都用拉线开关，如果规定每次必须同时拉动4个拉线开关。

试问：

能否把5盏灯都关闭？

每次同时拉动4个拉线开关，不能把5盏灯都关闭。

任意一盏灯在亮着的状态下，只有拉动奇数次，才能把灯关闭。

要5盏灯都关闭，则每盏灯都要拉动奇数次，总次数为5个奇数的和还是奇数次。

而按规定“每次必须同时拉动4个拉线开关”，4是偶数，无论拉多少次，总次数都是若干个4相加必然是偶数次，不可能是奇数次。

因此不能把把5盏灯都关闭。

《奥赛天天练》第49讲，拓展提高，习题1

桌上有6只杯口朝上的杯子，每次翻动4只杯子，能否经过若干次翻动，使全部杯口朝下？

首先根据翻动次数的奇偶性，判断这样翻动有可能使全部杯口朝下：

每只杯子在杯口朝上的状况下，只有翻动奇数次才能使杯口朝下，6个杯子全部杯口朝下，翻动的总次数为6个奇数次的和为偶数次。

而每次翻动4只杯子，经过若干次翻动，总次数为若干个4次的和也是偶数次。

所以这样翻动有可能使全部杯口朝下。

再通过画图、实验进行验证。

如下图，通过三次翻动可以使全部杯口朝下。

∪ 

∪

第一次翻动：

∩ 

第二次翻动：

∩

第三次翻动：

《奥赛天天练》第49讲，拓展提高，习题2

有17个同学面朝东站着，每次有6个同学向后转，能否用这种方法将17个同学全部转过来，使他们都面朝西站着？

不能。

与上面《巩固训练，习题1》同理，每个同学在面朝东站着时，只有向后转奇数次，才能面朝西站着，17个同学全部转过来，向后转的总次数是17个奇数的和，还是奇数次。

而每次有6个同学向后转，无论转多少次，向后转的总次数也是偶数次。

所以用这种方法不能使17个同学都面朝西站着。

《奥赛天天练》第38讲《奇、偶分析》。

奇、偶性是所有整数都具有的性质，任意整数不是奇数就是偶数。

根据整数的奇、偶特征，及其在运算中的规律，可以解决一些数学问题。

相关常识，在三年级奥数课堂已有专题介绍，请查阅：

补充：

⑴任意相邻的两个奇数或两个偶数的差为2。

⑵2n个连续奇数或偶数的和，就是按大小顺序排在正中间的两个数和的n倍，这2n个数的平均数就是中间两个数和的一半。

⑶2n+1个连续奇数或偶数的和，就是按大小顺序排在正中间的一个数和的2n+1倍，正中间的这个数就是这2n+1个数的平均数。

本讲在三年级所学基础上，进一步探究，如何通过分析整数的奇偶特征，来解决一些相关的数学问题。

2，4，6，8，…是连续的偶数，若5个连续的偶数的和是320，这5个数中最小的一个是多少？

320÷

5=64

所以这5个连续偶数正中间的一个数是64，这5个数是：

60、62、64、66、68。

最小的一个为：

64-2×

2=60。

《奥赛天天练》第38讲，模仿训练，练习2

有一列数2，3，5，8，13，21，34，…第2003个数是奇数还是偶数？

观察这一列数的特征：

从第三个数开始，每个数都是这个数之前两个数的和，且第一个数是偶数，第二个数是奇数。

根据两个整数相加，和的奇偶性的呈现规律可得这一列数的奇偶性为：

偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇……

每3个数一组，按“偶、奇、奇”的顺序呈周期性排列。

2003÷

3=667……2

所以，第2003个数是奇数。

一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题倒扣1分，未答的题不计分。

考试结束后，小明共得23分。

他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。

请你帮小明算一下，他答错了几道题？

还有几道题没有答？

答对一题得2分，无论答对多少题，总得分必是偶数。

小明总分是23，为奇数，所以小明倒扣分一定是奇数，即答错题的数目一定是奇数。

又因为未答的题的数目是个偶数，总题数20也是偶数，所以小明答对的题数必定也是奇数。

小明最后得分为23分，每答对一题得2分，小明至少要答对13题以上。

假设小明答对13题：

2-23=3（题）；

20-13-3=4（题）

则小明答错了3道题，有4道题未答。

假设小明答对了15道题及15道题以上，通过计算可得总题数超过了20道，不符合题意。

所以本题只有唯一答案：

小明答错了3道题，有4道题未答。

某班有29个小朋友，现在要举行乒乓求比赛，能不能让他们每个人都恰好与其他三个人比赛一次？

每场比赛都有两人参加，两人单算就是2场比赛，总场数一定为偶数。

但29个小朋友每个人都与其他三人正好比赛一次，及每人3场比赛，总场数为：

29×

3，是奇数场。

所以，不可能让他们每个人都恰好与其他三个人比赛一次。

在下图中的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数），恰好等于它们之间所标的数字，能否办到？

第一种情况：

假设在最上面一个○里填上一个奇数，这个数与中间一层两个○里的数的差分别是5和3两个奇数，则中间一层两个○里的数必须是偶数。

如果中间一层两个○里的数都是偶数，这两个数与下面一层两个○里的数的差分别是4和2两个偶数，则下面一层两个○里的数也是偶数。

下面两个○的两个数如果是偶数，它们的差一定是偶数，不可能是3。

所以这种情况不存在。

第二种情况：

假设在最上面一个○里填上一个偶数，这个数与中间一层两个○里的数的差分别是5和3两个奇数，则中间一层两个○里的数必须是奇数。

如果中间一层两个○里的数都是奇数，这两个数与下面一层两个○里的数的差分别是4和2两个偶数，则下面一层两个○里的数也是奇数。

下面两个○的两个数如果是奇数，它们的差一定是偶数，不可能是3。

所以这种情况也不存在。

综上所述，本题前面的要求不可能办到。

有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页、2页、3页、……、14页、15页。

如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？

这15篇文章中，8篇文章有奇数页，7篇文章有偶数页。

偶数页的文章，如果第一页为整册的奇数页，最后一页肯定是正道的偶数页，即下一篇文章第一页仍然是整册的奇数页。

奇数页的文章，如果第一页为整册的奇数页，最后一页肯定还是整册的奇数页，即下一篇文章第一页一定是整册的偶数页；

如果第一页为整册的偶数页，最后一页肯定还是整册的偶数页，即下一篇文章第一页一定是整册的奇数页。

所以，一定要尽可能地把所有偶数页的文章第一页都排在整册奇数页，奇数页文章则怎么排都一样，相邻两篇的第一页必定一个在整册的奇数页，另一个在整册的偶数页。

按照这个原则，排列方法很多，例如：

前7篇排有偶数页的文章，每篇文章的第一页都在整册的奇数页；

后8篇排有奇数页的8篇文章，每篇文章第一页的页码奇、偶相间。

所以，第一页是奇数页码的文章最多有：

7+8÷

2=11（篇）