高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性.docx

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高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性

2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性

[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．

一、选择题

1．函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为（　A　）

A．（0,1）　　　B．（0，＋∞）

C．（1，＋∞）　　　D．（－∞，0）∪（1，＋∞）

解析　函数的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝1－＝，令f′（x）<0，解得0

2．（xx·浙江卷）函数y＝f（x）的导函数y′＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　D　）

解析　根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f（x）在这些零点处取得极值，排除A，B项；记导函数f′（x）的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上，f′（x）<0，在（x1，x2）上，f′（x）>0，所以函数f（x）在（－∞，x1）上单调递减，排除C项．故选D．

3．已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f（x）在R上单调递增”的（　A　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　f′（x）＝x2＋a，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，故“a>0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件．

4．函数f（x）对定义域R上的任意x都有f（2－x）＝f（x），且当x≠1时，其导函数f′（x）满足xf′（x）>f′（x），若1

A．f（2a）

（2）

B．f

（2）

C．f（log2a）

（2）

D．f（log2a）

（2）

解析　∵函数f（x）对定义域R上的任意x都有f（2－x）＝f（x），∴函数图象的对称轴为直线x＝1.又∵其导函数f′（x）满足xf′（x）>f′（x），即（x－1）f′（x）>0，故当x∈（1，＋∞）时，函数单调递增，x∈（－∞，1）时，函数单调递减．∵1

∴02，∴f（log2a）

（2）

5．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2－2x－3）·f′（x）>0的解集为（　D　）

A．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

B．（－∞，2）∪（1,2）

C．（－∞，－1）∪（－1,0）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（－1,1）∪（3，＋∞）

解析　由题图可知，若f′（x）>0，则x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），若f′（x）<0，则x∈（－1,1），不等式（x2－2x－3）f′（x）>0等价于或

解得x∈（－∞，－1）∪（－1,1）∪（3，＋∞）．

6．若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　C　）

A．[1，＋∞）　　　B．[1,2）

C．　　　D．

解析　f′（x）＝4x－＝，

∵x>0，由f′（x）＝0，得x＝，

∴令f′（x）>0，得x>；令f′（x）<0，得0

由题意得⇒1≤k<.

二、填空题

7．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为__[－1,11]__.

解析　由f（x）＝x3－15x2－33x＋6，得f′（x）＝3x2－30x－33，令f′（x）≤0，即3（x－11）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤11，所以函数f（x）的单调减区间为[－1,11]．

8．f（x）＝xn2－3n（n∈Z）是偶函数，且y＝f（x）在（0，＋∞）上是减函数，则n＝__1或2__.

解析　∵f（x）＝xn2－3n（n∈Z）是偶函数，∴n2－3n＝2k（k∈Z），

即f（x）＝x2k，∴f′（x）＝2kx2k－1.

∵f（x）是偶函数且在（0，＋∞）上是减函数，

∴在（0，＋∞）上f′（x）＝2kx2k－1<0恒成立．

∵x2k－1>0，∴2k<0，即n2－3n<0，解得0

∵n∈Z，∴n＝1或n＝2.

9．若f（x）＝－x2＋blnx在（1，＋∞）上是减函数，则实数b的最大值是__1__.

解析　函数的定义域是（0，＋∞），而f′（x）＝－x＋＝.因为x>0，函数f（x）＝－x2＋blnx在（1，＋∞）上是减函数，即－x2＋b≤0在x∈（1，＋∞）上恒成立，得b≤x2在x∈（1，＋∞）上恒成立，令g（x）＝x2，x∈（1，＋∞），则g（x）>g

（1）＝1，所以b≤1，则b的最大值为1.

三、解答题

10．已知函数f（x）＝（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行．

（1）求k的值；

（2）求f（x）的单调区间．

解析　

（1）由题意得f′（x）＝，又f′

（1）＝＝0，故k＝1.

（2）由

（1）知，f′（x）＝.

设h（x）＝－lnx－1（x>0），则h′（x）＝－－<0，

即h（x）在（0，＋∞）上是减函数．

由h

（1）＝0知，当0h

（1）＝0，从而f′（x）>0；

当x>1时，h（x）<0，从而f′（x）<0.

综上可知，f（x）的单调递增区间是（0,1），递减区间是（1，＋∞）．

11．已知函数f（x）＝x－＋1－alnx，a>0，讨论f（x）的单调性．

解析　由题意知，f（x）的定义域是（0，＋∞），导函数f′（x）＝1＋－＝.

设g（x）＝x2－ax＋2，二次方程g（x）＝0的判别式为Δ＝a2－8.

①当Δ≤0，即0≤a≤2时，对一切x>0都有f′（x）≥0.

此时f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数．

②当Δ>0，即a>2时，方程g（x）＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0

所以f（x），f′（x）随x的变化情况如下表.

x

（0，x1）

x1

（x1，x2）

x2

（x2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

单调递增

单调递减

单调递增

此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

12．已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′（x）的图象如图，f（x）＝6lnx＋h（x）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．

解析　

（1）由已知，h′（x）＝2ax＋b，其图象为直线，且过（0，－8），（4,0）两点，把两点坐标代入h′（x）＝2ax＋b，

∴解得

∴h（x）＝x2－8x＋2，h′（x）＝2x－8，

∴f（x）＝6lnx＋x2－8x＋2.

（2）f′（x）＝＋2x－8＝.

∵x>0，∴f′（x），f（x）的变化如下表所示.

x

（0,1）

1

（1,3）

3

（3，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

单调递增

单调递减

单调递增

∴f（x）的单调递增区间为（0,1）和（3，＋∞），递减区间为（1,3），

要使函数f（x）在区间上是单调函数，

则解得

故m的取值范围是.

2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标15导数与函数的极值

[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．

一、选择题

1．若函数f（x）＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为（　D　）

A．B．

C．∪D．∪

解析　若函数f（x）＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′（x）＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，故Δ＝（－4c）2－12>0，从而c>或c<－.

2．函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（　A　）

A．　　　B．1

C．0　　　D．不存在

解析　f′（x）＝x－＝，且x>0，令f′（x）>0，得x>1；令f′（x）<0，得0

（1）＝－ln1＝.故选A．

3．已知x＝2是函数f（x）＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　D　）

A．15　　　B．16　　　

C．17　　　D．18

解析　x＝2是函数f（x）＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′（x）＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f（x）＝x3－12x＋2.令f′（x）＝3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在（－2,2）上是减函数，在（－∞，－2），（2，＋∞）上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f（x）取得极大值f（－2）＝18.故选D．

4．函数f（x）＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（　D　）

A．　　　B．

C．（－∞，0）　　　D．

解析　当x∈[－2,0）时，因为f′（x）＝6x2＋6x＝6x（x＋1），所以在[－2，－1）上，f′（x）>0，在（－1,0]上，f′（x）≤0，则当x∈[－2,0]时函数有最大值，为f（－1）＝2.当a≤0时，若x>0，显然eax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a>0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e2a≤2，得0

5．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为（　A　）

A．－37　　　B．－29　　　

C．－5　　　D．－11

解析　f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.

∵f（0）＝m，f

（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，显然f（0）>f

（2）>f（－2），∴m＝3，最小值为f（－2）＝－37.故选A．

6．若函数f（x）＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f（x）在R上的极小值为（　A　）

A．2b－　　　B．b－

C．0　　　D．b2－b3

解析　f′（x）＝x2－（2＋b）x＋2b＝（x－b）（x－2）．

∵函数f（x）在区间[－3,1]上不是单调函数，

∴－30，得x2.

由f′（x）<0，得b

（2）＝2b－.故选A．

二、填空题

7．已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__.

解析　f′（x）＝3x2－12，令f′（x）＝0，则x＝2和x＝－2为其两个极值点，f（3）＝－1，f（－3）＝17，f

（2）＝－8，f（－2）＝24，∴M＝24，m＝－8，M－m＝32.

8．已知函数y＝f（x）＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f（x）的极大值与极小值之差为__4__.

解析　∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3b，

∴⇒

∴f′（x）＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，

∴f（x）极大值－f（x）极小值＝f（0）－f

（2）＝4.

9．已知函数f（x）的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.

x

－1

0

2

4

5

f（x）

1

2

0

2

1