选编数学选修21常考题.docx

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选编数学选修21常考题

选编数学选修2-1常考题

单选题（共5道）

1、曲线y=x（x2+1）切线斜率的取值范围是（　　）

A（1，+∞）

B[4，+∞）

C[1，+∞）

D（-∞，+∞）

2、△ABC的顶点在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°．若AB=3，BC=，AC=5，则AC与α所成的角为（　　）

A60°

B45°

C30°

D15°

3、过曲线y＝x3＋x－2上一点P0处的切线平行于直线y＝4x，则点P0的一个坐标是（　　）

A（0，－2）

B（1，1）

C（1，4）

D（－1，－4）

4、已知函数f（x）的图象过点（0，－5），它的导数f/（x）＝4x3－4x，则当f（x）取得最大值－5时，x的值应为

A－1

B0

C1

D±1

5、方程+=1表示的图形是（　　）

A一条直线

B两条平行线段

C一个正方形

D一个正方形（除去四个顶点）

简答题（共5道）

6、如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，

⑴求证：

BG⊥平面PAD；

⑵求PB与面ABCD所成角．

7、已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高线DO为折痕，将平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，点H为棱AC的中点．

（1）求直线OC与直线AB所成的余弦值；

（2）求平面ADO与平面ACB所成的锐二面角的余弦值；

（3）在平面ADO内找一点G，使得GH⊥平面ACB．

8、设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（，0），

（1）求证：

三点A、M、B共线；

（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程。

9、如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点．

（1）在线段上确定一点，使平面，并给出证明；

（2）证明平面平面，并求出到平面的距离.

10、如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上．

（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：

BM∥平面ADEF；

（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积．

填空题（共5道）

11、已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是______．

12、若是三条互不相同的空间直线，是两个不重合的平面，

则下列命题中为真命题的是（填所有正确答案的序号）．

①若则；②若则；

③若则；④若则

13、在三棱锥中，三条棱、、两两互相垂直，且＝＝，是边的中点，则与平面所成的角的大小是（用反三角函数表示）；

14、.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是__________．

15、直线是曲线的一条切线，则实数b=（）．

-------------------------------------

1-答案：

tc

解：

y=x（x2+1）=x3+x的导数为y′=3x2+1≥1，故直线l的斜率 k≥1，故选C．

2-答案：

tc

解：

如图，D是A在面内的射影，E是C在面内的射影过A作AF⊥BC于F，则面ADEC与面α垂直，故AC在面内的射影即DE，直线AC与面α的夹角即AC与DE所成的锐角由作图知，∠CAF的大小即即线面角的大小，由已知及作图，AB=3，BC=4，∠ABD=30°，∠CBE=45°∴AD=，CE=4，由作图知CF=，又AC=5，在直角三角形AFC中，sin∠CAF==，∴∠CAF=30°，即AC与面α所成的角是30°．故应选C．

3-答案：

D

4-答案：

B

5-答案：

tc

解：

x＞0，y＞0，方程+=1为x+y=1；x＞0，y＜0，方程+=1为x-y=1；x＜0，y＞0，方程+=1为-x+y=1；x＜0，y＜0，方程+=1为-x+-y=1；∴方程+=1表示的图形是一个正方形（除去四个顶点）．故选：

D．

-------------------------------------

1-答案：

⑴连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,故△ABD为正三角形,又G为ＡD的中点，所以，ＢG⊥ＡＤ．△PAD为正三角形，G为AD的中点,所以，PG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，ＰG⊥面ABD，故PG⊥BG所以，ＢG⊥平面PAD.

（2）易知△PBG为等腰直角三角形，可知PB与面ABCD所成角为45。

略

2-答案：

（1）以O为原点，OD、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴建立直角空间坐标系．则C（1，1，0），A（0，0，1），B（0，2，0），H（，，

）…（3分）∴=（1，1，0），=（0，2，-1）∴cos＜，＞=…（5分）直线OC与直线AB所成的余弦值为；

（2）设=（x，y，z）是平面ACB的一个法向量，又=（1，1，-1），=（0，2，-1）∴不妨取y=1，则=（1，1，2）…（7分）又平面ADO的一个法向量为=（0，2，0）∴cos＜，＞=，即为所求…（10分）

（3）设G（x，0，z），则=（x-，-，z-

），…（12分）要使GH⊥平面ACB，则∥，所以则G（0，0，-

）…（15分）

3-答案：

解：

（1）设，由已知得到，且，设切线PA的方程为：

，由得，从而，解得，因此PA的方程为：

，同理PB的方程为：

，又在PA、PB上，所以，即点都在直线上，又也在直线上，所以三点A、M、B共线。

（2）垂线AN的方程为：

，由得垂足，设重心G（x，y），所以，解得，由，可得，即为重心G所在曲线方程。

4-答案：

（1）为线段中点时，平面；

（2）到的距离为.试题分析：

（1）为线段中点，连接，可得出，所以为平面四边形，先证平面，所以，又三角形为等腰直角三角形，为斜边中点，所以．即可得结论平面；

（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而推出面面垂直.取所以中点所以，证明即为，因为，在平面内，作,垂足为，则,即为到的距离，在三角形中，为中点，,即到的距离为   （12分）试题解析：

（1）为线段中点时，平面.取中点，连接，由于，所以为平面四边形，由平面，得，又，，所以平面，所以，又三角形为等腰直角三角形，为斜边中点，所以，，所以平面.   （5分）

（2）因为所以.又,所以,所以.取所以中点所以，连接所以,则,即为，在平面内，作,垂足为，则,即为到的距离，在三角形中，为中点，,即到的距离为   （12分）线面垂直面面垂直的等价转化方法；点到平面的距离，可先做垂线，在解三角形.

5-答案：

（I）证明：

以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．∴--------（2分）又是平面ADEF的一个法向量．∵，∴∴BM∥平面ADEF------（4分）

（II）解：

设M（x，y，z），则，又，设，则x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）设是平面BDM的一个法向量，则取x1=1得 即  又由题设，是平面ABF的一个法向量，------（8分）∴|cos＜，|==，∴λ=--（10分）即点M为EC中点，此时，S△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，∴VM-BDE=----------（12分）

（I）证明：

以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．∴--------（2分）又是平面ADEF的一个法向量．∵，∴∴BM∥平面ADEF------（4分）

（II）解：

设M（x，y，z），则，又，设，则x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）设是平面BDM的一个法向量，则取x1=1得 即  又由题设，是平面ABF的一个法向量，------（8分）∴|cos＜，|==，∴λ=--（10分）即点M为EC中点，此时，S△DEM=2，AD为三棱锥B-DEM的高，∴VM-BDE=----------（12分）

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1-答案：

解：

∵向量=（1，1，0），=（-1，0，2），∴k+=（k-1，k，2），2=（3，2，-2）∵k+与2互相垂直，则（k+）•

（2）=3（k-1）+2k-4=5k-7=0解得k=故答案为：

2-答案：

④试题分析：

①由得只平行于过的平面与平面的交线，即不可能与内任意直线平行，所以①错；②由且当垂直于交线时，才有所以②错；③由且当共面时，才有，所以③错；④由得平行于内一直线，设为又所以而所以，因此④对.

3-答案：

在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，设，则，，O点在底面的射影为底面△ABC的中心，=，又，与平面所成角的正切是，所以二面角大小是.

4-答案：

略

5-答案：

b=ln2-1