高考数学第一轮复习 函数的值域与最值学案.docx
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高考数学第一轮复习函数的值域与最值学案
2019年高考数学第一轮复习函数的值域与最值学案
（一）知识归纳
1．函数，其中集合A是函数的定义域。
与的值对应的y的值称函数值，函数值的集合称函数的值域.
2．最大值定义：
设函数的定义域为,如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得。
称是函数的最大值。
你能说出最小值定义吗？
3．一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
且值域为。
4.请你说出常见函数：
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正、余弦函数、正、余切函数的值域。
（二）学习要点
求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法。
1.分析观察法
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。
2.反函数法、分离常数法
对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数（仅求的表达式）的定义域从而得到原函数的值域。
3.换元法
（1）代数换元对形如的函数常设来求值域；
（2）三角换元法对形如的函数常用“三角换元”，如令来求值域。
注意:
（1）新元的取值范围，
（2）三角换元法中，角的取值范围要尽量小。
4.配方法
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。
5.判别式法
对形如的函数常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。
注意：
①定义域为R，②要对方程的二次项系数进行讨论。
6.利用函数的有界性
对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
7.基本不等式法
对形如（或可转化为），可利用求得最值。
注意“一正、二定、三等”
8．利用函数单调性求值域
对形如（或可转化为），考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域。
9．数形结合法
若函数的解析式的几何意义比较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。
10．导数法
（三）练习题
1．求下列函数的值域
（1）
（2）（3）（4）
2．已知，求的最值。
3．求下列函数的值域
（1）
（2）（3）
4.如何求函数的最值？
呢？
5．求下列函数的值域
（1）
（2）（3）（4）
6.已知函数=，则［（）］的值是（）
A.9B.C.-9D.-
7.若集合,，则等于
A．{0}B．C．SD．T
8.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（）
A.B.C.D.
9.定义在R上的函数的值域为［，b］,则的值域为（）
A.［,b］B.［+1,b+1］C.［－1,b－1］D.无法确定
10.函数y=的定义域是（-，1）[2,5]，则其值域是（）
A.（-,0）[,2]B.（-,2）C.（-,）[2,+]D.（0,+）
11.函数的值域为R，则实数k的取值范围是（）
A．B．或C．D．或
12.已知函数的最小值是（）
A．2B．C．D．
13.函数（）
A.最小值为0，最大值为4B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4D.没有最大值，也没有最小值
14.已知的最大值为2，的最大值为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．以上三种均有可能
15.已知、b的等差中项是的最小值（）
A．3B．4C．5D．6
16.已知,,则（=（）
A．15B．1C．3D．30
17.设函数，则的值为（）
A.B.bC.、b中较小的数D.、b中较大的数
18．函数的最小值为（）
A．190B．171C．90D．45
19.定义在R上的函数满足关系式:
则的值等于________
20.已知函数对一切实数,均满足，且．则
21.设（>0）的值域为[-1，4]，则,b的值为_________
22.函数的最大值是
23．已知a,b为常数，若则
24.求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）
25.已知函数的值域为［1，3］，求实数b、c的值。
26．设函数，
（1）若定义域为[0，3]，求的值域；
（2）若定义域为时，的值域为，求的值.
（四）函数的值域与最值参考答案
（三）例题讲评
1．
2．
，最大值18；最小值
3．；；；
4．，当且仅当
时取等号；即时，y的最小值是2。
没有最大值。
另外方法同上，即时，y的最大值是。
没有最小值。
说明：
本题不能用判别式法。
因为。
若用判别式法得，当时，
求得，不合。
5．；
（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。
）
题号
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
B
C
B
A
A
B
D
C
C
C
A
C
C
提示：
令，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。
故最值不变。
提示：
由，
19.7；20.4012；21.=4,b=3；22.4；23.2。
23.提示：
用赋值法或令
三、解答题
24．[解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.
（1）函数的定义域为，
令，
即或，
∴函数的值域为；
（注）这里运用了不等式性质：
；
[解法二]原函数等价于，
当时，得－4=0，矛盾，，
，
，
解得函数的值域为.
（2）函数的定义域为.作换元，令，
上为增函数，
，∴函数的值域为；
[解法二]令，∴原函数，
∵在定义域内都是减函数，
∴原函数在定义域是减函数，，
而当时，，∴函数的值域为.
（3）函数的定义域为，
，
由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；
[解法二]令，，
，
即函数的值域为[0，1]
25．由y=得（2－y）x2+bx+c－y=0,（*）
当y－2≠0,由x∈R,有Δ=b2－4（2－y）·（c－y）≥0
即4y2－4（2+c）y+8c－b2≤0，由已知得2+c=1+3且=1×3
∴b=±2,c=2又b<0,∴b=－2,c=2,而y－2=0,b=－2,c=2代入（*）式得x=0
∴b=－2,c=2为所求
26．解：
，∴对称轴为，
（1），∴的值域为，即；
（2）对称轴，
，
∵区间的中点为，
①当时，
，
不合）；
②当时，，
不合）；
综上，.
（三）例题讲评
1．
2．
，最大值18；最小值
3．；；；
4．，当且仅当
时取等号；即时，y的最小值是2。
没有最大值。
另外方法同上，即时，y的最大值是。
没有最小值。
说明：
本题不能用判别式法。
因为。
若用判别式法得，当时，
求得，不合。
5．；
（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。
）
题号
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
答案
B
C
B
A
A
B
D
C
C
C
A
C
C
提示：
令，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。
故最值不变。
提示：
由，
19.7；20.4012；21.=4,b=3；22.4；23.2。
23.提示：
用赋值法或令
三、解答题
24．[解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.
（1）函数的定义域为，
令，
即或，
∴函数的值域为；
（注）这里运用了不等式性质：
；
[解法二]原函数等价于，
当时，得－4=0，矛盾，，
，
，
解得函数的值域为.
（2）函数的定义域为.作换元，令，
上为增函数，
，∴函数的值域为；
[解法二]令，∴原函数，
∵在定义域内都是减函数，
∴原函数在定义域是减函数，，
而当时，，∴函数的值域为.
（3）函数的定义域为，
，
由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；
[解法二]令，，
，
即函数的值域为[0，1]
25．由y=得（2－y）x2+bx+c－y=0,（*）
当y－2≠0,由x∈R,有Δ=b2－4（2－y）·（c－y）≥0
即4y2－4（2+c）y+8c－b2≤0，由已知得2+c=1+3且=1×3
∴b=±2,c=2又b<0,∴b=－2,c=2,而y－2=0,b=－2,c=2代入（*）式得x=0
∴b=－2,c=2为所求
26．解：
，∴对称轴为，
（1），∴的值域为，即；
（2）对称轴，
，
∵区间的中点为，
①当时，
，
不合）；
②当时，，
不合）；
综上，.
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