精选五套中考模拟卷乌鲁木齐市中考数学复习难题突破专题二K字型相似研究Word格式文档下载.docx
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（2）①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；
②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．
“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．
专题训练
1．[2019·
常州]如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）
图Z2－6
2．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB＝8，则EF＝________．
图Z2－7
3．[2019·
攀枝花]如图Z2－8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则＝________．
图Z2－8
4．如图Z2－9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE＝________．
图Z2－9
5．如图Z2－10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°
，∠B＝120°
，AD＝，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________．
图Z2－10
6．[2019·
绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，则MD＋的最小值为________．
图Z2－11
7．如图Z2－12，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°
，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．
图Z2－12
8．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
（1）求证：
AC·
CD＝CP·
BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
图Z2－13
9．[2019·
天水]△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°
，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE.
（2）如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：
△BPE∽△CEQ；
并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．
图Z2－14
10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°
，P为BC的中点，小明拿着含有30°
角的透明直角三角板，使30°
角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．
（1）如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.
（2）操作：
将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.
①探究1：
△BPE与△CFP相似吗？
请说明理由；
②探究2：
△BPE与△PFE相似吗？
请说明理由．
图Z2－15
参考答案
例1 【例题分层分析】
（1）证明两个三角形相似常用的判定方法有：
两角对应相等的两个三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
三边对应成比例的两个三角形相似等．
（2）根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.
证明过程略．
应用
【例题分层分析】
（1）根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以＝.
（2）设P（x，0），因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以＝，解得x＝2，从而得到点P的坐标为（2，0）．
[答案]（2，0） [解析]∵PA⊥PB，
∴∠APO＋∠BPC＝90°
.∵AO⊥x轴，
∴∠APO＋∠PAO＝90°
，∴∠PAO＝∠BPC.
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP＝∠POA＝90°
，
∴△BCP∽△POA，∴＝.
∵点A（0，4），B（4，1），∴AO＝4，BC＝1，OC＝4.
设P（x，0），则OP＝x，PC＝4－x，
∴＝，解得x＝2，∴点P的坐标为（2，0）．
例2 【例题分层分析】
（1）两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．
（2）∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，
由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.
又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，
∴∠E＝∠CDF.
∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，
又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，
∴∠E＝∠FDC.
又∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD.
应用1
（1）过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为（4，4）．
（2）由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，
所以＝，
设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝AB＝2，AP＝7－x，
所以＝，解得x＝2或x＝5，
所以点P的坐标为（2，0）或（5，0）．
解：
（1）过点B作BQ⊥x轴于点Q.
∵AB＝OC，
∴AQ＝（7－1）÷
2＝3，
在Rt△BQA中，BA＝5，
由勾股定理，得BQ＝＝4，
∴点B的坐标为（4，4）．
（2）∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，
即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，
而∠CPD＝∠OAB＝∠COP，
∴∠OCP＝∠APD，
∴△OCP∽△APD，
∴＝.
∵＝，∴AD＝2.
设OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，
∴＝，
解得x＝2或x＝5，
∴点P的坐标为（2，0）或（5，0）．
应用2
（1）直线y＝kx的函数表达式为y＝2x，OA＝＝3.
（2）①点F的坐标为（，0），点B的坐标为（6，2），
AB＝5.
②根据“K”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED，设OE＝a，则AE＝3－a（0＜a＜3），
由△ABE∽△OED得＝，
∴＝，∴a2－3a＋5m＝0，
依题意知m>
0，
∴当Δ＝0，即（－3）2－20m＝0，m＝时，符合条件的点E有1个；
当Δ＞0，即（－3）2－20m＞0，0＜m＜时，符合条件的点E有2个．
（1）把点A（3，6）的坐标代入y＝kx，得6＝3k，
∴k＝2，∴y＝2x，OA＝＝3.
（2）如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R.
∵∠AOD＝∠BAE，
∴AF＝OF，
∴OC＝AC＝OA＝.
∵∠ARO＝∠FCO＝90°
，∠AOR＝∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴＝＝＝，∴OF＝×
＝，
∴点F的坐标为.
设直线AF的函数表达式为y＝ax＋b（a≠0），把点A（3，6），F的坐标代入，解得a＝－，b＝10，∴y＝－x＋10，
由解得（舍去），
∴B（6，2），∴AB＝5.
∵∠BAE＝∠BED，
∠ABE＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED，
∴∠ABE＝∠DEO.
∵∠BAE＝∠EOD，∴△ABE∽△OED.
设OE＝a，则AE＝3－a（0＜a＜3），
即＝，∴a2－3a＋5m＝0.
依题意得m>
专题训练
1．A 2.5 3.
4．2或12或 [解析]两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE的值即可．
5．
（1）6
（2）2或5 [解析]
（1）过点E作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG＝3，从而得出∠DEG＝60°
，由∠DEF＝120°
，得∠FEG＝60°
，由tan∠FEG＝，即可求出GF的长，进而得出DF的长．
（2）过点B作BH⊥DC，延长AB，过点C作CM⊥AB于点M，则BH＝AD＝，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE＝x，则BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EC的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．
6．2 [解析]先求出AD＝2，BD＝4，由“K”字型相似可得△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，求出MA·
DN＝4MD，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
7．解：
（1）当点F和B重合时，
∵EF⊥DE，∴DE⊥BC.
∵∠B＝90°
，∴AB⊥BC，
∴AB∥DE.∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝EF＝9，
∴CE＝BC－EF＝12－9＝3.
（2）过点D作DM⊥BC于点M，
∴DM∥AB.
∵AD∥BC，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12－9＝3.
设AF＝CE＝a，则BF＝7－a，EM＝a－3，BE＝12－a，
可证△FBE∽△EMD，
∴＝，即＝，
解得a＝5或a＝17.
∵点F在线段AB上，
∴AF＝CE＜AB＝7，
∴CE＝5.
8．解：
（1）证明：
∵∠APC＝∠PAB＋∠B，
∠APD＝∠B，
∴∠DPC＝∠PAB，
又AB＝AC，∴∠ABP＝∠PCD，
∴△ABP∽△PCD，∴＝，
∴＝，∴AC·
BP.
（2）∵PD∥AB，
∴∠DPC＝∠B，∴∠PAB＝∠B，
又∠B＝∠C，∴∠PAB＝∠C.
又∠PBA＝∠ABC，
∴△PBA∽△ABC，∴＝，
∴BP＝＝＝.
9．解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°
，AB＝AC，
∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BPE和△CQE中，∵
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，
即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°
＝∠EQC＋45°
∴∠BEP＝∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，∴＝，
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，
∴BE＝CE＝3，∴BC＝6.
10．解：
（1）∵在△ABC中，∠BAC＝120°
∴∠B＝∠C＝30°
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°
∴∠BPE＋∠BEP＝150°
又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°
，∠EPF＝30°
∴∠BPE＋∠CPF＝150°
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）①△BPE∽△CFP，理由同
（1）．
②△BPE与△PFE相似．
理由：
由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，
而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.
又∵∠EBP＝∠EPF，
∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．若＝，则的值为
A．B．C．D．
2．把函数y＝2x2的图像先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图像，则新函数的表达式是
A．y＝2（x－3）2＋2B．y＝2（x＋3）2－2C．y＝2（x＋3）2＋2D．y＝2（x－3）2－2
3．小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
D
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是
A．＝B．＝
C．＝D．＝
5．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，x与y的部分对应值如下表：
x
…
－2
2
3
y
8
则下列说法：
①该二次函数的图像经过原点；
②该二次函数的图像开口向下；
③该二次函数的图像经过点（－1，3）；
④当x＞0时，y随着x的增大而增大；
⑤方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的是
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤
6．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为a，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是
②
A．a
B．a
C．2a
D．3a
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．计算：
sin60°
＝▲．
8．一元二次方程x2＋3x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2＝▲．
9．二次函数y＝x2－2x＋2的图像的顶点坐标为▲．
A
10．如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DF＝4，那么DE＝▲．
（第12题）
（第10题）
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°
，则∠ABD＝▲°
．
12．如图，⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝20°
，则的长为▲．
（第16题）
13．如图，△ABC中，∠BAC＝90°
，AD⊥BC，垂足为D，若AB＝4，AC＝3，则cos∠BAD的值为▲．
14．已知二次函数y＝x2－2mx＋1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是▲．
15．我们规定：
一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线的比值，叫做这个正n边形的“特征值”，记为an，那么a6＝▲．
16．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，AC＝3，则AF＝▲．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2－2x－4＝0；
（2）（x－2）2－x＋2＝0．
18．（7分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．
（1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为▲；
（2）抽取两名同学，求甲在其中的概率．
19．（8分）我市某中学举行十佳歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
95
（1）根据所给信息填空：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
▲
高中部
80
160
（2）你觉得高中部和初中部的决赛成绩哪个更好？
说明理由．
20．（8分）已知二次函数的图像如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将该二次函数图像向上平移▲个单位长度后恰好过点（－2，0）；
（3）观察图像，当－2＜x＜1时，y的取值范围为▲．
21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证CE平分∠AEB；
（第21题）
（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（第22题）
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证CG·
AB＝CB·
DG．
23．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB＝4km．从A测得灯塔C在北偏东53°
方向上，从B测得灯塔C在北偏西45°
方向上，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．
（第23题）
（参考数据：
sin37°
≈0.60，cos37°
≈0.80，tan37°
≈0.75，sin53°
≈0.80，cos53°
≈0.60，tan53°
≈1.33）
24．（8分）在△ABC中，以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D，AC＝12，BC＝5．
（1）如图①，若⊙O经过AB上的点E，BC＝BE，求证AB与⊙O相切；
（2）如图②，若⊙O与AB相交于点F和点G，∠FOG＝120°
，求⊙O的半径．
（第24题）
25．（9分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶．
（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为▲瓶；
（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为1200元；
（3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？
最大日均总利润为多少元？
26．（6分）在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°
27．（10分）已知二次函数y＝－x2＋2mx－m2＋4．
该二次函数的图像与x轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为C，
①求△ABC的面积；
②若点P为该二次函数图像上位于A、C之间的一点，则△PAC面积的最大值为▲，
此时点P的坐标为▲．
九年级数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
4
5
6
答案
B
C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．8．－29．（1，1）10．11．55
12．π13．14．m≤115．16．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：
x2－2x＝4
x2－2x＋1＝4＋1
（x－1）2＝5
x－1＝±
∴x1＝1＋，x2＝1－
（2）解：
（x－2）2－x＋2＝0
（x－2）（x－2－1）＝0
（x－2）（x－3）＝0
∴x1＝2，x2＝3．………8分
18.（本题7分）
（1）．
（2）解：
树状图或表格或列举
抽取两名同学，所有
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