等腰三角形三线合一典型题型Word文档格式.docx

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DE=DF．

（2）已知：

如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．　求证：

BE=CF．

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A17B22C17或22D13

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°

，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）

A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。

例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形

例6、

（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。

（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为；

（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。

例7、下列说法：

①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；

②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；

③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。

正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（　　）

（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个

例9.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°

，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．2B．3C．

D．

例10.已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=

，CP=2，则△ABC的边长为（）

（A）

（B）

（C）4（D）

三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A=。

3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。

4、有一个内角为40°

的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°

呢

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105o，直线BD交AC于D，

把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，

如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（）

（A）40o（B）30o（C）25o（D）15o

6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（）

（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。

A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等

C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半

9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）

A、100°

B、75°

C、150°

D、75°

或100°

10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝…（）

A、1250B、1300C、900D、1200

11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（）个。

A、4个B、6个C、3个D、5个

12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝280，则∠B的度数是…………（）

A、600B、700C、760D、450

13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设甲虫P到

另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，

则d与h的大小关系是（）

【解题方法指导】

例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：

∠B＝2∠D

例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°

角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1.（2005年）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°

，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°

，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°

，求CD的长。

例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

【综合测试】

1.已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：

DB＝DC

2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：

BD＝CE

3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：

AD＝AE

4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：

DF＝EF

5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：

AD＝CE

6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°

，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°

，EC＝10，求AB的长。

例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°

，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：

AE＋AF是一个定值.

证明：

连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°

，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°

，

∴∠BAD＝45°

，∠CAD＝45°

，∴AD＝BD＝CD，

∵∠EDF＝90°

，∴∠EDA＋∠ADF＝90°

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°

，∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，

∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

思考：

四边形AEDF的面积是否也是定值呢？

为什么？

例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?

你能证明它吗？

线段BE⊥AC，理由如下：

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠FBD＋∠BFD＝90°

在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC，

∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°

∴∠BEC＝180°

－（∠FBD＋∠C）＝180°

－90°

＝90°

，即BE⊥AC.

例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC，M是AB上一点，求证：

.

过C作CD⊥AB于点D，

∵∠ACB＝90°

，AC＝BC，CD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝45°

，∠ACD＝∠BCD＝45°

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，

∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，

∵CD⊥AB，∴

∴

请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：

AO⊥BC.

延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，

∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC，即AO⊥BC.

例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：

CE＝DE.

过E作EF⊥CD于点F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°

，∴∠BEF＝30°

∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），

∴CD＝2CF，∴CF＝DF，

在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°

，EF＝EF，

∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.

例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：

PD＋PE是一个定值.

解：

连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，

由

得：

即，

（定值）.

说明：

本例的结论可用文字语言叙述为：

等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.

拓展：

如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？

连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）

即,

即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.

基础训练：

1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；

如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。

（3）等腰三角形的对称轴最多有条。

2、填空题：

（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）

A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8

C、周长为14，其中两边长分别是4，5D、周长为24，其中两边长分别是6，12

（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）

A、3B、2C、1.5D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。

4、已知：

如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，

求这个三角形的各边长。

（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（2）等腰三角形有一个角是120°

，那么其他两个角的度数是和。

（3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=。

（4）在等腰三角形中，设底角为x°

，顶角为y°

，则用含x的代数式表示y，得y=；

用含y的代数式表示x，得x=。

2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°

，那么底角等于（）

A、40°

B、100°

C、70°

D、40°

或70°

（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）

（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，

③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）

A、4B、3C、2D、1

3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°

，求∠BAD。

4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，

AB=AC，AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°

，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=。

（2）在一个三角形中，等角对；

等边对。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是。

（4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，

则图中等腰三角形共有个。

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°

，∠ADB=72°

DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（）

A、3B、4C、5D、6

3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。

5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。