等腰三角形三线合一典型题型Word文档格式.docx

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等腰三角形三线合一典型题型Word文档格式.docx

DE=DF.

 

(2)已知:

如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证:

BE=CF.

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?

若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为()

A17B22C17或22D13

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=

∠ABC,∠2=

∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?

若∠1=

∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?

若∠1=

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°

,且BQ=BP,连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA:

PB:

PC=3:

4:

5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.

例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为()

A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高,AB=AC,△ABC周长为20cm,△ADC的周长为14cm,求AD的长。

例3、如图,已知BC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,求△OEF的周长。

例4、如图,已知等边△ABC中,D为AC上中点,延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是()

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形

例6、

(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。

(2)直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为;

(3)若直角三角形三边为1,2,c,则c=。

例7、下列说法:

①若在△ABC中a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;

②若△ABC是直角三角形,∠C=900,则a2+b2=c2;

③若在△ABC中,a2+b2=c2,则∠C=900;

④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。

正确的有(把你认为正确的序号填在横线上)。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有(  )

(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个

例9.四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°

,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=(  )

A.2B.3C.

D.

例10.已知△ABC为正三角形,P为其内一点,且AP=4,BP=

,CP=2,则△ABC的边长为()

(A)

(B)

(C)4(D)

三.巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。

2、在△ABC中,AB=AC,∠B=400,则∠A=。

3、等腰三角形的一个内角是700,则它的顶角为。

4、有一个内角为40°

的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°

5、如图,在Rt△ABC中,∠C=105o,直线BD交AC于D,

把直角三角形沿着直线BD翻折,点C恰好落在斜边AB上,

如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于()

(A)40o(B)30o(C)25o(D)15o

6、若△ABC三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC的形状为()

(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………()。

A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等

C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()

A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半

9、在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()

A、100°

B、75°

C、150°

D、75°

或100°

10、如图,P、Q是△ABC边BC上的两点,且QC=AP=AQ=BP=PQ,则∠BAC=…()

A、1250B、1300C、900D、1200

11、如图,△ABC中,AB=AC,BD、CE为中线,图中共有等腰三角形()个。

A、4个B、6个C、3个D、5个

12、如图,AB=AC,AE=EC,∠ACE=280,则∠B的度数是…………()

A、600B、700C、760D、450

13、如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上(端点A、C除外),设甲虫P到

另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,

则d与h的大小关系是()

【解题方法指导】

例1.已知,如图,AB=AC=CD,求证:

∠B=2∠D

例2.已知,如图,△ABC是等边三角形,AD//BC,AD⊥BD,BC=6,求AD的长。

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°

角的直角三角形是应用非常广泛的图形,因此,在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现,而且经常把它们结合在一道题中加以应用,虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析,找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1.(2005年)

如图,等腰三角形ABC的顶角为120°

,腰长为10,则底边上的高AD=________。

例2.已知,如图,△ABC中,∠C=90°

,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,∠A=30°

,求CD的长。

例3.已知,如图,△ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AE=CD,又BD与CE交于点F,试求∠BFE的度数。

【综合测试】

1.已知,如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:

DB=DC

2.已知,如图,D、E是BC上两点,AB=AC,AD=AE,求证:

BD=CE

3.已知,如图,△ABC中,DE//BC,AB=AC,求证:

AD=AE

4.已知,如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BD=CE,求证:

DF=EF

5.已知,如图,D是BC上一点,△ABC、△BDE都是等边三角形,求证:

AD=CE

6.已知,如图,△ABC中,∠B=90°

,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又∠C=15°

,EC=10,求AB的长。

例6、如图11,在△ABC中,∠A=90°

,AB=AC,D为BC边中点,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,求证:

AE+AF是一个定值.

证明:

连接AD,

∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC,

∵∠BAC=90°

,AB=AC,∴∠B=∠C=45°

∴∠BAD=45°

,∠CAD=45°

,∴AD=BD=CD,

∵∠EDF=90°

,∴∠EDA+∠ADF=90°

又由AD⊥BC得∠BDE+∠ADE=90°

,∴∠BDE=∠ADF,

在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF,

∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB(定值).

思考:

四边形AEDF的面积是否也是定值呢?

为什么?

例4、如图9,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?

你能证明它吗?

线段BE⊥AC,理由如下:

∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°

∴∠FBD+∠BFD=90°

在Rt△BDF和Rt△ADC中,BF=AC,FD=CD,

∴Rt△BDF≌Rt△ADC,

∴∠BFD=∠C,∴∠FBD+∠C=90°

∴∠BEC=180°

-(∠FBD+∠C)=180°

-90°

=90°

,即BE⊥AC.

例5、如图10,在△ABC中,∠ACB=90°

,AC=BC,M是AB上一点,求证:

.

过C作CD⊥AB于点D,

∵∠ACB=90°

,AC=BC,CD⊥AB,

∴∠A=∠B=45°

,∠ACD=∠BCD=45°

∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,

∴AD=BD,BD=CD,即AD=BD=CD,

∵CD⊥AB,∴

请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,OB=OC,求证:

AO⊥BC.

延长AO交BC于点D,

∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△ABO≌△ACO,

∴∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD,

∴AD⊥BC,即AO⊥BC.

例2、如图6,在等边△ABC中,D、E分别在边BC、BA的延长线上,且AE=BD,求证:

CE=DE.

过E作EF⊥CD于点F,

∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°

,∴∠BEF=30°

∴BE=2BF,即BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF),

∴CD=2CF,∴CF=DF,

在△CEF和△DEF中,CF=DF,∠CFE=∠DFE=90°

,EF=EF,

∴△CEF≌△DEF,∴CE=DE.

例3、如图7,已知在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,求证:

PD+PE是一个定值.

解:

连接AP,过点C作CF⊥AB于点F,

得:

即,

(定值).

说明:

本例的结论可用文字语言叙述为:

等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.

拓展:

如果点P不是在边BC上,而是在BC的延长线上,其它条件保持不变,那么PD与PE之间又有怎样的关系呢?

连接AP,过点C作CF⊥AB于点F,(如图8)

即,

即,当点P在BC延长线上时,PD与PE之差为一定值.

基础训练:

1、填空题:

(1)等腰三角形中,如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是。

(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是;

如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。

(3)等腰三角形的对称轴最多有条。

2、填空题:

(1)如果△ABC是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是()

A、三条边长分别是5,5,11B、三条边长分别是4,4,8

C、周长为14,其中两边长分别是4,5D、周长为24,其中两边长分别是6,12

(2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为()

A、3B、2C、1.5D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍,周长为35cm,求等腰三角形各边的长。

4、已知:

如图,AD平分∠BAC,AB=AC,请你说明△DBC是等腰三角形。

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解,

求这个三角形的各边长。

(1)等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

(2)等腰三角形有一个角是120°

,那么其他两个角的度数是和。

(3)△ABC中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C=。

(4)在等腰三角形中,设底角为x°

,顶角为y°

,则用含x的代数式表示y,得y=;

用含y的代数式表示x,得x=。

2、选择题:

(1)等腰三角形的一个外角为140°

,那么底角等于()

A、40°

B、100°

C、70°

D、40°

或70°

(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()

(3)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()

(4)等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC,

③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是()

A、4B、3C、2D、1

3、如图,已知△ABC中,D在BC上,AB=AD=DC,∠C=20°

,求∠BAD。

4、如图,已知△ABC中,点D、E在BC上,

AB=AC,AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

(1)在△ABC中,∠A的相邻外角是110°

,要使△ABC是等腰三角形,则∠B=。

(2)在一个三角形中,等角对;

等边对。

(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是。

(4)如图,AB=AC,BD平分∠ABC,且∠C=2∠A,

则图中等腰三角形共有个。

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°

,∠ADB=72°

DE平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是()

A、3B、4C、5D、6

3、如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点O,且OB=OC,请说明AB=AC的理由。

4、如图,已知∠EAC是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC,请说明AB=AC的理由。

5、如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,请你说明AD是BC的中垂线。

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