学年浙教版八年级下数学培优矩形与菱形Word格式.docx

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求证:

PA=PQ.

【变式题组】

01.如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE与F,连接DE.求证:

DF=DC.

02.如图,矩形ABCD中,DP平分∠ADC交BC于点P,将一个直角三角板的直角顶点放在P点处,且使它的一条直角边过A点,另一条直角边交CD于E.找出图中与PA相等的线段.并说明理由.

 

03.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°

,求∠BOE的度数.

【例2】已知:

如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,AE>DE,BE=BC,点O是线段CE的中点.

⑴试说明CE平分∠BED;

⑵若AB=3,BC=5,求BO的长;

⑶在直线AD上是否存在点F,使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形?

如果存在,试画出点F的位置,并作适当的说明;

如果不存在,请说明理由.

01.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y=

的图像上,菱形的面积为_________.

02.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°

,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:

⑴如图1,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连接DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积;

⑵如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.

【例3如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,则PE+PF=__________.

01.⑴观察与发现:

讲矩形纸片AOCB折叠,使点C与点A重合,点B落在点B'处(如图1),折痕为EF.小明发现△AEF为等腰三角形,你同意吗?

请说明理由.

⑵实验与应用:

以点O为坐标原点,分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,若顶点B的坐标为(9,3),请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式.

02.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B'的位置,AB'与CD交于点E.

⑴试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;

⑵若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.

【例4】如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;

⑴延长MP交CN于点E(如图2).①求证:

△BPM≌△CPE;

②求证:

PM=PN;

⑵若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其他条件不变,此时PM=PN还成立吗?

若成立,请给予证明;

若不成立,请说明理由;

⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其他条件不变.请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?

不必说明理由.

01.如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a.将△ABO沿BO对折于△A’BO,M为BC上一动点,则A’M的最小值为________.

02.如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.

⑴猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;

⑵当点P在线段AB的上方时,如图2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变,⑴中的结论还成立吗?

说明理由.

⑶如果⑵中,∠APC=∠BPD=90°

,其他条件不变,先补全图3,再判定四边形EFGH的形状,并说明理由.

03如图所示,一根长为2a的木棍(AB),斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.

⑴请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由;

⑵在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?

简述理由,并求出面积的最大值.

演练巩固反馈提高

01.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°

,AB=

,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则BC的长为()

A.

B.2C.3D.

02.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°

,OC=

,则点B的坐标为()

A.(

,1)B.(1,

)C.(

+1,1)D.(1,

+1)

03.如图,在△ABC中,AB>AC,D、E分别是AB、AC上的点,△ADE沿线段DE翻折,使点A落在边BC上,记为A’,若四边形ADA’E是菱形,则下列说法正确的是()

A.DE是△ABC的中位线B.AA’是BC边上的中线

C.AA’是BC边上的高D.AA’是△ABC的角平分线

04.如图,菱形ABCD中,∠B=60°

,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为()

B.

C.

D.3

05.一次数学课上,老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较这两种折法中,菱形面积较大的是()

A.甲B.乙C.甲乙相等D.无法判断

06.在矩形ABCD中,AB=1,AD=

,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:

①AF=FH;

②BO=BF;

③CA=CH;

④BE=3ED,正确的结论为_________________.

07.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F,连接CE,则CE的长为__________.

08.如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF=____________.

09.红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成60°

角重叠在一起(如图),则重叠四边形的面积为_______cm.

10.如图,一张长方形纸片ABCD,其长AD为a,宽AB为b(a>b),在BC边上选取一点M,将△ABM沿AM翻折后B至B’的位置,若B’为长方形纸片ABCD的对称中心,则

的值是__________.

11.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离).若AB=40cm,当∠ADC从60°

变为120°

时,千斤顶升高了多少?

=1.414,

=1.732,结果保留整数)

12.如图所示,四边形OABC是矩形,点D在OC边上,以AD为折痕,将△OAD向上翻折,点O恰好落在BC边上的点E处,若△ECD的周长为2,△EBA的周长为6.

⑴矩形OABC的周长为_______;

⑵若点A坐标为(

,0),求线段AD所在直线的解析式.

13.如图,△ABC中,∠ACB=90°

,AC=BC,ME⊥AC,MF⊥BC,D是AB的中点.求证:

△DEF是等腰直角三角形.

14.如图,矩形ABCD中,AC=2AB,O为AC的中点,延长AB到E,使BE=AB,连接EO并延长交BC于F,交AD于M.求证:

四边形AFCM是菱形.

15.如图,矩形ABCD,E是CB延长线上一点,且CE=CA,F是AE的中点.求证:

DF⊥BF.

16.如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°

<α<90°

).

⑴求证:

∠EAP=∠EPA;

⑵□APCD是否为矩形?

请说明理由;

⑶如图2,F为BC的中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.

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