高考文科数学全国新课标卷试题与答案word解析版.doc
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（全国卷I新课标）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（ ）．
A．B．C．D．
3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）．
A．B．C．D．
4．已知双曲线：
的离心率为，则的渐近线方程为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）．
A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q
6．设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）．
A．B．C．D．
7．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的s属于（ ）．
A．B．C．D．
8．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
9．函数在的图像大致为（ ）．
10．已知锐角的内角的对边分别为,,则b＝（ ）．
A．10B．9C．8D．5
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A．B．C．D．
12．已知函数若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两个单位向量a，b的夹角为，cab.若b·c，则.
14．设满足约束条件则的最大值为．
15．已知是球的直径AB上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为．
16．设当时，函数取得最大值，则.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
（1）证明：
AB⊥A1C；
（2）若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
20．（本小题满分12分）已知函数,曲线在点处的切
线方程为.
（1）求的值；
（2）讨论的单调性，并求的极大值．
21．（本小题满分12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
23．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．
24．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（全国卷I新课标）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：
A
解析：
∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，
∴A∩B＝{1,4}．
2．
答案：
B
解析：
＝.
3．
答案：
B
解析：
由题意知总事件数为6，且分别为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.
4．
答案：
C
解析：
∵，∴，即.
∵c2＝a2＋b2，∴.∴.
∵双曲线的渐近线方程为，
∴渐近线方程为.故选C.
5．
答案：
B
解析：
由20＝30知，p为假命题．令h（x）＝x3－1＋x2，
∵h（0）＝－1＜0，h
（1）＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在（0,1）内有解．
∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.
6．
答案：
D
解析：
＝3－2an，故选D.
7．
答案：
A
解析：
当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3）．
当1≤t≤3时，s＝4t－t2.
∵该函数的对称轴为t＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
∴smax＝4，smin＝3.
∴s∈[3,4]．
综上知s∈[－3,4]．故选A.
8．
答案：
C
解析：
利用|PF|＝，可得xP＝.
∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.
故选C.
9．
答案：
C
解析：
由f（x）＝（1－cosx）sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈时，f（x）＞0，排除A.
当x∈（0，π）时，f′（x）＝sin2x＋cosx（1－cosx）＝－2cos2x＋cosx＋1.
令f′（x）＝0，得.
故极值点为，可排除D，故选C.
10．
答案：
D
解析：
由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝.
∵A∈，∴cosA＝.
∵cosA＝，∴b＝5或（舍）．
故选D.
11．
答案：
A
解析：
该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V半圆柱＝π×22×4＝8π，
V长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．
答案：
D
解析：
可画出|f（x）|的图象如图所示．
当a＞0时，y＝ax与y＝|f（x）|恒有公共点，所以排除B，C；
当a≤0时，若x＞0，则|f（x）|≥ax恒成立．
若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，
由得x2－（a＋2）x＝0.
∵Δ＝（a＋2）2＝0，∴a＝－2.
∴a∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：
2
解析：
∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝.
∴b·c＝[ta＋（1－t）b]·b＝0，
即ta·b＋（1－t）b2＝0.
∴＋1－t＝0.
∴t＝2.
14．答案：
3
解析：
画出可行域如图所示．
画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A（3,3）时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.
15．答案：
解析：
如图，
设球O的半径为R，
则AH＝，
OH＝.
又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.
∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.
∴S球＝4πR2＝.
16．答案：
解析：
∵f（x）＝sinx－2cosx＝sin（x－φ），
其中sinφ＝，cosφ＝.
当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋（k∈Z），θ＝2kπ＋＋φ（k∈Z）．
∴cosθ＝＝－sinφ＝.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：
（1）设{an}的公差为d，则Sn＝.
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
（2）由
（1）知＝，
从而数列的前n项和为
＝.
18．
解：
（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得
＝（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）
＝2.3，
＝（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）
＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．
（1）证明：
取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，
所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
（2）解：
由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1＝.
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.
20．
解：
（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.
由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4.
故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
（2）由
（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，
f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·.
令f′（x）＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）＜0.
故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）
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