动态规划状态转移方程文档格式.docx
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11.树型动态规划1
-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)
=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
12.树型动态规划2
-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)
F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}
13.计数问题1
-----砝码称重
constw:
array[1..n]ofshortint=(1,2,3,5,10,20);
//不同砝码的重量
vara:
array[1..n]ofinteger;
//不同砝码的个数
f[0]:
=1;
总重量个数(Ans)
f[1]:
=0;
第一种重量0;
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<
=i<
=n;
1<
=j<
=f[0];
=k<
=a[i];
)
14.递推天地1
------核电站问题
f[-1]:
f[0]:
f[i]:
=2*f[i-1]-f[i-1-m]
15.递推天地2
------数的划分
=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
16.最大子矩阵1
-----一最大01子矩阵
=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:
=maxvalue(f);
17.判定性问题1
-----能否被4整除
g[1,0]:
=true;
g[1,1]:
=false;
g[1,2]:
g[1,3]:
g[i,j]:
=g[i-1,k]and((k+a[i,p])mod4=j)
18.判定性问题2
-----能否被k整除
f[I,j±
n[i]modk]:
=f[i-1,j];
-k<
=k;
=n
20.线型动态规划2
-----方块消除游戏
f[i,i-1,0]:
=0
f[i,j,k]:
=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
=f[1,m,0]
21.线型动态规划3
-----最长公共子串,LCS问题
f[i,j]={0(i=0)&
(j=0);
f[i-1,j-1]+1(i>
0,j>
0,x[i]=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}}(i>
0,x[i]<
>
y[j]);
let(n>
m);
(n=length(a);
m:
=length(b));
fori:
=1tondo
begin
x:
=-1;
p:
forj:
=1tomdo
ifa[i]=b[j]then
begin
=p;
whileflag[j,x]and(f[j,x]<
a[i])doinc(x);
p:
=x;
f[j,x]:
flag[j,x]:
end
else
if(x<
-1)andflag[j-1,x]and((notflag[j,x])or(f[j-1,x]<
f[j,x]))then
f[j,x]:
=f[j-1,x];
flag[j,x]:
endelsex:
end;
ok:
=mdownto1do
ifflag[m,i]thenbeginwriteln(i);
ok:
break;
end;
ifnotokthenwriteln(0);
22.最大子矩阵2
-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)
枚举行的起始,压缩进数列,求最大字段和,遇0则清零
f[i]:
=max(f[i-1]+a[i],a[i])
readln(n,m);
fori:
=1tondoforj:
=1tomdoread(a[i,j]);
ans:
=-maxlongint;
fillchar(b,sizeof(b),0);
fillchar(u,sizeof(u),0);
=itondo
max:
fork:
begin
if(a[j,k]<
0)and(notu[k])then
inc(b[k],a[j,k]);
inc(max,b[k])
end
else
u[k]:
end;
ifmax>
ansthenans:
=max;
end;
23.资源问题4
-----装箱问题(判定性01背包)
f[j]:
=(f[j]orf[j-v[i]]);
注:
这里将数字三角形的意义扩大
凡状态转移为图形,跟其上面阶段和前面状态有关都叫数字三角形:
24.数字三角形1
-----朴素の数字三角形
=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);
25.数字三角形2
-----晴天小猪历险记之Hill
同一阶段上暴力动态规划
f[i,j]:
=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]
26.双向动态规划1
数字三角形3
-----小胖办证
=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])
27.数字三角形4
-----过河卒
//边界初始化
=f[i-1,j]+f[i,j-1];
28.数字三角形5
-----朴素的打砖块
=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);
29.数字三角形6
-----优化的打砖块
f[I,j,k]:
=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
30.线性动态规划3
-----打鼹鼠’
=f[j]+1;
(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<
=t[i]-t[j])
31.树形动态规划3
-----贪吃的九头龙
32.状态压缩动态规划1
-----炮兵阵地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If(map[i]andplan[k]=0)and
((plan[P]orplan[q])andplan[k]=0)
33.递推天地3
-----情书抄写员
=f[i-1]+k*f[i-2]
34.递推天地4
-----错位排列
=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:
=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);
35.递推天地5
-----直线分平面最大区域数
=f[n-1]+n
:
=n*(n+1)div2+1;
36.递推天地6
-----折线分平面最大区域数
=(n-1)(2*n-1)+2*n;
37.递推天地7
-----封闭曲线分平面最大区域数
=f[n-1]+2*(n-1)
=sqr(n)-n+2;
38递推天地8
-----凸多边形分三角形方法数
=C(2*n-2,n-1)divn;
对于k边形
f[k]:
=C(2*k-4,k-2)div(k-1);
//(k>
=3)
39递推天地9
-----Catalan数列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
=C(2k,k)div(k+1);
40递推天地10
-----彩灯布置
排列组合中的环形染色问题
=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1);
(f[1]:
=m;
f[2]:
=m(m-1);
41线性动态规划4
-----找数
线性扫描
sum:
=f[i]+g[j];
(ifsum=Aimthengetout;
ifsum<
Aimtheninc(i)elseinc(j);
42线性动态规划5
-----隐形的翅膀
min:
=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};
ifw[i]/w[j]<
goldtheninc(i)elseinc(j);
43剖分问题5
-----最大奖励
=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t
44最短路1
-----Floyd
=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
ans[q[i,j,k]]:
=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45剖分问题6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:
=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);
functionGetS(l,n:
longint):
extended;
begin
if(n=0)or(n>
l)thenexit(WQ)
elsegetS:
=(lmodn)*k2*sqr(ldivn+1)+
(n-lmodn)*k2*sqr(ldivn)+
k1*sqr(l);
end;
ifx+S(x,k)>
=f[i,q,p]thenbreakelsef[i,q,p]:
=x+S(x,k);
inc(k);
46计数问题2
-----陨石的秘密(排列组合中的计数问题)
Ans[l1,l2,l3,D]:
=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:
=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);
47线性动态规划
------合唱队形
两次F[i]:
=max{f[j]+1}+枚举中央结点
48资源问题
------明明的预算方案:
加花的动态规划
f[i,j]:
=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);
49资源问题
-----化工场装箱员
50树形动态规划
-----聚会的快乐
f[i,2]:
=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:
=sigma(f[t[i]^.son,0]);
f[i,0]:
=sigma(f[t[i]^.son,3]);
51树形动态规划
-----皇宫看守
52递推天地
-----盒子与球
=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);
53双重动态规划
-----有限的基因序列
=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:
=(g[a,i,j]andg[b,i,j])or(g[c,i,j])
54最大子矩阵问题
-----居住空间
f[i,j,k]:
=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
f[i-1,j-1,k-1]))+1;
55线性动态规划
------日程安排
=max{f[j]}+P[I];
(e[j]<
s[i])
56递推天地
------组合数
C[I,j]:
=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:
=1
57树形动态规划
-----有向树k中值问题
F[I,r,k]:
=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}
58树形动态规划
-----CTSC2001选课
F[I,j]:
=w[i](ifi∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(ifl[i]<
0)
59线性动态规划
-----多重历史
=sigma{f[i-k,j-1]}(ifchecked)
60背包问题(+-1背包问题+回溯)
-----CEOI1998Substract
=f[i-1,j-a[i]]orf[i-1,j+a[i]]
61线性动态规划(字符串)
-----NOI2000古城之谜
f[i,1,1]:
=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:
=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}
62线性动态规划
-----最少单词个数
=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}
63线型动态规划
-----APIO2007数据备份
状态压缩+剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划
=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);
64树形动态规划
-----APIO2007风铃
=f[l]+f[r]+{1(ifc[l]<
c[r])}
g[i]:
=1(d[l]<
d[r])0(d[l]=d[r])
g[l]=g[r]=1thenHalt;
65地图动态规划
-----NOI2005adv19910
F[t,i,j]:
=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];
66地图动态规划
-----优化的NOI2005adv19910
F[k,i,j]:
=max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<
=p<
=j;
67目标动态规划
-----CEOI98subtra
=f[I-1,j+a[i]]orf[i-1,j-a[i]]
68目标动态规划
-----Vijos1037搭建双塔问题
F[value,delta]:
=g[value+a[i],delta+a[i]]org[value,delta-a[i]]
69树形动态规划
-----有线电视网
f[i,p]:
=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
leaves[i]>
=p>
=l,1<
=q<
70地图动态规划
-----vijos某题
=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);
71最大子矩阵问题
-----最大字段和问题
=max(f[i-1]+b[i],b[i]);
f[1]:
=b[1]
72最大子矩阵问题
-----最大子立方体问题
枚举一组边i的起始,压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]
枚举另外一组边的其实,做最大子矩阵
73括号序列
-----线型动态规划
f[I,j]:
=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),
f[I+1,j+1]+1(s[j]=”(”or”[”],f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]”)
74棋盘切割
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}
75概率动态规划
-----聪聪和可可(NOI2005)
x:
=p[p[i,j],j]
=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1
76概率动态规划
-----血缘关系
我们正在研究妖怪家族的血缘关系。
每个妖怪都有相同数量的基因,但是不同的妖怪的基因可能是不同的。
我们希望知道任意给定的两个妖怪之间究竟有多少相同的基因。
由于基因数量相当庞大,直接检测是行不通的。
但是,我们知道妖怪家族的家谱,所以我们可以根据家谱来估算两个妖怪之间相同基因的数量。
妖怪之间的基因继承关系相当简单:
如果妖怪C是妖怪A和B的孩子,则C的任意一个基因只能是继承A或B的基因,继承A或B的概率各占50%。
所有基因可认为是相互独立的,每个基因的继承关系不受别的基因影响。
现在,我们来定义两个妖怪X和Y的基因相似程度。
例如,有一个家族,这个家族中有两个毫无关系(没有相同基因)的妖怪A和B,及它们的孩子C和D。
那么C和D相似程度是多少呢?
因为C和D的基因都来自A和B,从概率来说,各占50%。
所以,依概率计算C和D平均有50%的相同基因,C和D的基因相似程度为50%。
需要注意的是,如果A和B之间存在相同基因的话,C和D的基因相似程度就不再是50%了。
你的任务是写一个程序,对于给定的家谱以及成对出现的妖怪,计算它们之间的基因相似程度。
F[A,B]=(f[A0,B]+P[A1,B])/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0(I,j无相同基因)
77线性动态规划
-----决斗
F[I,j]=(f[I,j]andf[k,j])and(e[I,k]ore[j,k]),i<
k<
j
78线性动态规划
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])
79线性动态规划
-----积木游戏
F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])
80树形动态规划(双次记录)
-----NOI2003逃学的小孩
朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,kO(n^2)
每个节点记录最大的两个值,并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
当遍历到某个孩子节点的时候,只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。
如果是,就取次大,否则取最大值
81树形动态规划(完全二叉树)
-----NOI2006网络收费
F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中,有j个用户为A,在I的每个祖先u上,如果N[a]>
N[b]则标0否则标1,用二进制状态压缩进k中,在这种情况下的最小花费
F[I,j,k]:
=min{f[l,u,kand(s[i]<
<
(i-1))]+w1,f[r,j-u,kand(s[i]<
(i-1))]}
82树形动态规划
-----IOI2005河流
F[i]:
=max
83记忆化搜索
-----Vijos某题,忘了
F[pre,h,m]:
=sigma{SDP(I,h+1,M+i)}(pre<
=M+1)
84状态压缩动态规划
-----APIO2007动物园
f[I,k]:
=f[i-1,kandnot(1<
4)]+NewAddVal
85树形动态规划
-----访问术馆
f[i,j-c[i]×
2]:
=max(f[l[i],k],f[r[i]