勾股定理知识归纳Word格式.docx

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　　２.理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.

●重点难点

勾股定理的逆定理及其应用.

勾股定理的逆定理的证明及应用.

●知识概要

　　勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．

　　1.勾股定理的逆定理：

如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

　　２.如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．

　　３.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．

　　４.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．

●知识

（1）勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题.

（2）勾股数：

满足条件a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：

3，4，5；

5，12，13；

8，15，17；

7，24，25；

20，21，29；

9，40，

　　41；

…这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.

●中考考点

　　勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．

第二节、教材解读

一、勾股定理的容

　勾股定理的容是：

如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.

　因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；

二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.

二、正确判定一个三角形是否是直角三角形

　如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.

　这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.

　要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；

二是验证c2与a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°

；

若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.

三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用

　勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为

的线段等等.以求作长为

的线段为例，利用勾股定理作出长为

…的线段，如下左图所示．

　用同样的方法我们可以在数轴上画出表示

…的点，如下右图所示.

四、勾股定理逆定理的推导

勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？

　　下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，

　　（１）a＝６，b＝８，c＝１０；

　　（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；

　　（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．

　　我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：

　　如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２，那么这个三角形是直角三角形．

　　我们的猜测是否正确呢？

要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明．

　　【例题】已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．

　　【思考与分析】根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２，那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等，所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．

　　解：

我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ′＝９０°

，Ａ′Ｃ′＝b，Ｂ′Ｃ′＝a．

　　根据勾股定理：

Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．

　　又∵　△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２，

　　∴　ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．

　　又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c，

　　∴　△ＡＢＣ≌Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＳＳ）．

　　∴　△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°

．

　　【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.

第三节、错解剖析

一、勾股定理只能在直角三角形中运用

　　【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（ 

）.

　　　A.5　　　　B.10

　　　C.4　　　　D.大于1且小于7

　　常见错误：

A.

　　错误分析：

题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的围.

　　正确答案：

D.

　二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边

　　【例2】在Ｒt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB2= 

　　.

在Ｒt△ABC中，利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225.

没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225；

如果AB是直角边，因为BC>

AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2＝BC2－AC2＝63.

　　∴AB2为225或63.

225或63.

　　三、给定三角形要分形状运用勾股定理

　　【例3】在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．

根据勾股定理，

　　ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2

　　　＝１３2－１２2

　　　＝２５，

　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2

　　　＝１５2－１２2

　　　＝８１，

　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．

　　此时，△ＡＢＣ的周长为

　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．

△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.

应该分情况讨论，当△ＡＢＣ是锐角三角形时，解法如上.

　　当△ＡＢＣ是钝角三角形时，其图如下，

　　根据勾股定理，

　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，

　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.

　　此时，△ＡＢＣ的周长为：

　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．

　　故△ＡＢＣ的周长为42或32.

四、不能正确区分直角边和斜边

　　【例4】已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？

　　错解：

不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144.a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.

　　错解分析：

本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.

是.

　　【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.

　五、考虑不全面造成漏解

　　【例5】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.

∵a2c2－b2c2＝a4－b4

（1）

　　∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）

（2）

　　∴c2＝a2＋b2（3）　∴△ABC是直角三角形.

本题在由第

（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．

　　正解：

∵a2c2－b2c2＝a4－b4

　　∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）

（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2

　　∴△ABC是直角三角形.

（2）当a2－b2＝0时，a＝b

　　∴△ABC是等腰三角形.

　　【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：

在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.

　六、不能仅凭模糊记忆

　　【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（ 

）

　　　A.∠A为直角 

B.∠C为直角 

　　　C.∠B为直角 

D.不是直角三角形

选B

在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.

∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.

　　∴a边所对的角∠Ａ为直角.故选A.

　　【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.

七、考虑不全造成漏解

　【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

　错解：

第三边长为

　错解剖析：

因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.

　正解：

（1）当两直角边为3和4时，第三边长为

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为

.

八、理解流于形式，造成思维定势

　【例8】已知三角形的三边为

，c=1，这个三角形是直角三角形吗？

∵a2＝

，b2＝

，c2＝1，而a2＋b2≠c2，

∴该三角形不是直角三角形.

虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.

这个三角形是直角三角形．

九、混淆勾股定理与逆定理

　【例9】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°

方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

　错解:

甲船航行的距离为BM=8×

2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×

2＝30（海里）.

　∵

＝34（海里）且MP=34（海里）

　∴△MBP为直角三角形．

　∴∠MBP＝90°

　∴乙船是沿着南偏东30°

方向航行.

虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误.

　∵162＋302＝1156，342＝1156，

　∴BM2＋BP2＝MP2.

　∴△MBP为直角三角形.

　∴∠MBP＝90°

的方向航行的.

第四节、思维点拨

一、方程思想

　　【例1】如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.

　　【分析与解】由△ABF的面积为30cm2，

　　可得BF=12cm.

　　则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，

　　根据勾股定理可知AF=13cm.

　　再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.

　　所以FC=1cm.

　　可设DE=EF=x，则EC=5-x.

　　在Rt△EFC中，可得：

　　12+（5-x）2=x2.

　　解这个方程，得x=

　　所以S△AED=

×

13=16.9（cm2）.

　二、化归思想

　　【例2】如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（ 

　　【分析与解】求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.

　　如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷

2＝2π，B′S′的长为4÷

2＝2.

　　在Rt△AB′S′中，根据勾股定理，

　　得AS′=

　　所以动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为

.故选A.

　三、分类讨论思想

　　【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.

　　【分析与解】此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.

　　当BC边上的高AD在△ABC的部时，如图1.

　　由勾股定理，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，

　　则BD=9.

　　CD2=AC2-AD2=202-122=256，

　　则CD=16.

　　所以BC=9+16=25.

　　当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2.

　　同样由勾股定理可得BD=9，CD=16.

　　这时BC=16-9=7.

　　综上可得BC边的长为25或7.

【例4】如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，BC＝１4，ＡＣ＝１３．求△ＡＢＣ的面积.

　　【思考与分析】要求△ＡＢＣ的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ，然后利用勾股定理求出高ＡＤ，进而求出△ＡＢＣ的面积.

　　解法一：

过点A作ＡＤ⊥ＢＣ于D，

　　则∠ADB=∠ADC=90°

　　设DC=x，则ＢＤ＝14－x．

　　在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：

ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-（14－x）２．　①

　　在Ｒt△ＡＤＣ中，由勾股定理得：

ＡＤ２＝１３２－x２.　②　　由①＝②，解得x=5.

　　所以ＡＤ２＝１３２－x２＝169－25＝144，故ＡＤ＝１２．

　　所以Ｓ△ＡＢＣ＝

ＢＣ·

ＡＤ＝

１２×

１４＝８４．

　　解法二：

设AD＝x，则在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：

BＤ２＝ＡＢ２-AＤ２＝１５２-x２．

CＤ２＝１３２－x２，

　　再根据题意，知BC=BD+DC，

四、勾股定理是直角三角形的一个重要性质，这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典．下面就让我们通过一道例题来体会一下.

　　【例5】已知：

在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.则△ABC是等腰三角形吗？

　　【思考与分析】先画出图形，如图，求出BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，说明AD⊥BC，然后在△ADC中，利用勾股定理求出AC，从而得到AB=AC.

由AD是BC边上的中线，

　　得BD=CD=

BC=

10=5（cm）.（由形到数）

　　在△ABD中，有AD2+DB2=122+52=132=AB2，

　　所以△ABD是直角三角形，

　　其中∠ADB=90°

，

　　∠ADC=90°

.（由数到形）

　　在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，

　　又因为AC>

0，所以AC=13（cm）.（由形到数）

　　即AB=AC. 

故△ABC是等腰三角形.（由数到形）

　　【反思】此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.

【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ 

　A.2m

　B.2.5m

　C.2.25m

　D.3m

　【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.

　解：

如上图所示，在Rt△ABD中，

　设河水的深度BF=xm，

　则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，

　BD=1.5m．

　根据勾股定理，列方程：

　（0.5+x）2=1.52+x2，

　解得x=2.

　所以河水的深度为2m.

　故答案选A.

【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：

　另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.

第五节、竞赛数学

【例１】等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上任一点，求证：

ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·

ＤＣ

　　【思考与分析】本题要证明的等式中含有线段的平方，故可以考虑运用勾股定理，但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形，那么就需要我们首先构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，我们作ＡＰ⊥ＢＣ，则ＢＰ＝ＰＣ，那么ＢＤ·

ＤＣ＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＰ２－ＰＤ２，又因为Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ有公共边ＡＰ，由勾股定理得ＡＢ２－ＢＰ２＝ＡＤ２－ＰＤ２，所以ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＤ·

ＤＣ．

　　证明：

（１）若Ｄ不是ＢＣ的中点时，作ＡＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，如图1．

　　∵　等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，

　　∴　ＢＰ＝ＰＣ．

　　在Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ中，由勾股定理得：

　　两式相减得：

　　ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＢＰ－ＰＤ）＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＤ·

ＤＣ，

　　即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·

　　（２）若Ｄ是ＢＣ的中点，如图2．

　　∴　ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．

　　在Ｒt△ＡＤＢ中ＡＢ２＝ＡＤ２＋ＢＤ２，

　　∴ 

ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ２＝ＢＤ·

ＢＤ＝ＢＤ·

　　【例２】如图3，在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，ＡＥ为ＢＣ边上的中线，ＡＦ为ＢＣ边上的高.

　　求证：

ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·

ＥＦ.

　　【思考与分析】等式左边＝ＡＢ２－ＡＣ２，根据题中给出的条件ＡＦ为ＢＣ边上的高，而Ｒt△ＡＢＦ和Ｒt△ＡＣＦ中包含这三边，我们可以得到ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２，ＡＣ２－ＣＦ２＝ＡＦ２这两个等式，这时我们就可以发现两式相减得到ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ），再根据ＡＥ为ＢＣ边上的中线，继续化简可证得结论．

∵　ＡＦ为ＢＣ边上的高，

　　∴　根据勾股定理有ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２＝ＡＣ２－ＣＦ２，

　　∴　ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ）

　　　　　　　＝ＢＣ·

（ＢＦ－ＣＦ）

　　又∵　ＡＥ为ＢＣ边上的中线，

　　∴　ＢＥ＝ＥＣ

　　∴　ＢＦ－ＣＦ＝（ＢＥ＋ＥＦ）－（ＥＣ－ＥＦ）

＝２ＥＦ

　　∴　ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·

【例3】如图所示，已知△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°

，ＡＣ＝ＢＣ，Ｐ是△ＡＢＣ一点，且ＰＡ＝３，ＰＢ＝１，ＰＣ＝２，求∠ＢＰＣ的度数．

　　【思考与分析１】∠ＢＰＣ在△ＰBＣ中，虽然我们已经知道ＰＢ、ＰＣ的长，但可以发现直接利用条件求它还是比较困难．既然直接求解比较困难，那么我们是否可以考虑将∠ＢＰＣ进行分割，转化成特殊角后再进行求解呢？

我们作ＣE⊥