专题33 利用导数研究函数的最值极值届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版Word文档格式.docx

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（2）由导函数y＝f′（x）的图象可以看出y＝f′（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.

角度2　已知函数求极值

【例1－2】（2019·

天津和平区模拟）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.

（1）当a＝

时，求f（x）的极值；

（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.

【规律方法】　运用导数求可导函数y＝f（x）的极值的一般步骤：

（1）先求函数y＝f（x）的定义域，再求其导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）检查导数f′（x）在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.特别注意：

导数为零的点不一定是极值点.

角度3　已知函数的极（最）值求参数的取值

【例1－3】（2019·

泰安检测）已知函数f（x）＝lnx.

（1）求f（x）图象的过点P（0，－1）的切线方程；

（2）若函数g（x）＝f（x）－mx＋

存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.

【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：

（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

【训练1】

（1）（2017·

全国Ⅱ卷）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）·

ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1

（2）（2018·

北京卷）设函数f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex.

①若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行，求a；

②若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.

考点二　利用导数求函数的最值

【例2】（2019·

广东五校联考）已知函数f（x）＝ax＋lnx，其中a为常数.

（1）当a＝－1时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为－3，求a的值.

【规律方法】　1.利用导数求函数f（x）在[a，b]上的最值的一般步骤：

（1）求函数在（a，b）内的极值；

（2）求函数在区间端点处的函数值f（a），f（b）；

（3）将函数f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【训练2】（2019·

合肥质检）已知函数f（x）＝excosx－x.

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间

上的最大值和最小值.

考点三　利用导数求解最优化问题

【例3】（2018·

衡水中学质检）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为

＋1（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为

（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）.

（1）求y关于v的函数关系式；

（2）若c≤v≤15（c>

0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.

【规律方法】

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

（1）设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f（x），并确定其定义域；

（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

（4）回归实际问题作答.

2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

【训练3】（2017·

全国Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为______.

【反思与感悟】

1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.

2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；

函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；

函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.

3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.

【易错防范】

1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.

2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.

3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围（如定义域），导致出现了增解.

【分层训练】

【基础巩固题组】

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A.（－1，3）为函数y＝f（x）的递增区间

B.（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间

C.函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值

D.函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值

2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则（　　）

A.a<

－1B.a>

－1

C.a>

－

D.a<

3.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f

（2）等于（　　）

A.11或18B.11

C.18D.17或18

4.函数f（x）＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.无数

5.（2019·

青岛二模）已知函数f（x）＝2ef′（e）lnx－

（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（　　）

A.2e－1B.－

C.1D.2ln2

二、填空题

6.函数f（x）＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是________.

7.已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f（m）的最小值是________.

8.若函数f（x）＝

x2＋x＋1在区间

上有极值点，则实数a的取值范围是________.

三、解答题

9.设函数f（x）＝alnx－bx2（x>

0），若函数f（x）在x＝1处与直线y＝－

相切.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）在

上的最大值.

10.（2018·

天津卷选编）设函数f（x）＝（x－t1）（x－t2）（x－t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.

（1）若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若d＝3，求f（x）的极值.

【能力提升题组】

20分钟）

11.（2019·

郑州质检）若函数y＝f（x）存在n－1（n∈N*）个极值点，则称y＝f（x）为n折函数，例如f（x）＝x2为2折函数.已知函数f（x）＝（x＋1）ex－x（x＋2）2，则f（x）为（　　）

A.2折函数B.3折函数

C.4折函数D.5折函数

12.若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内存在最小值，则实数k的取值范围是________.

13.（2019·

杭州质检）传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.

14.设f（x）＝xlnx－ax2＋（2a－1）x（常数a>

0）.

（1）令g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；

（2）已知f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.

【新高考创新预测】

15.（试题创新）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3＋bx2＋4a≤4x2恒成立，则a＋b的取值范围是（　　）

A.[－4，8]B.[－2，8]

C.[0，6]D.[4，12]