XX届高考数学第一轮基础知识学习总结要点考试复习学习要点两个基本计数原理Word格式.docx
《XX届高考数学第一轮基础知识学习总结要点考试复习学习要点两个基本计数原理Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《XX届高考数学第一轮基础知识学习总结要点考试复习学习要点两个基本计数原理Word格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：
+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.
例2
已知集合m={-3,-2,-1,0,1,2},P表示平面上的点,问:
P可表示平面上多少个不同的点?
P可表示平面上多少个第二象限的点?
P可表示多少个不在直线y=x上的点?
（1）确定平面上的点P可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法.
根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×
6=36.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；
第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.
由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×
2=6.
（3）点P（a,b）在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合m中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.
由
（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.
例3
（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
（1）分四类：
第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；
第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；
第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；
第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.
所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.
4分
（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法
N=7×
9×
10=5040（种）.
8分
（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×
8种不同的选法；
从一、三班学生中各选1人，有7×
9种不同的选法；
从一、四班学生中各选1人，有7×
10种不同的选法；
从二、三班学生中各选1人，有8×
从二、四班学生中各选1人，有8×
从三、四班学生中各选1人，有9×
10种不同的选法，
所以共有不同的选法
8+7×
9+7×
10+8×
9+8×
10+9×
10=431（种）.
6分
.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?
当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.
当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.
当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.
……
当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.
当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.
当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.
由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.
2.某体育彩票规定：
从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？
先分三步选号，再计算总钱数.
按号段选号，分成三步.
第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；
第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；
第三步从30至36中选1个号，有7种选法.
由分步计数原理可知，满足要求的号共有
5×
10×
7=1050,
故至少要花1050×
2=2100.
3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
（1）分三类：
第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；
第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；
第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.
（2）每种选法分三步：
第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；
第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；
第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×
7×
8=336种不同的选法.
（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×
7种不同方法；
第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×
8种不同方法；
第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×
8种不同的方法，故共有6×
7+6×
8=146种不同选法.
一、填空题
.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有
32
2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×
×
0000”到“×
9999”共10000个号码，公司规定：
凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有
个.
5904
3.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有
8
4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、c、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有
80
5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有
48
6.（XX&
#8226;
全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×
3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有
7.在XX年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
2880
8.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n），在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n）为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n）的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是
.
300
二、解答题
9.
（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：
3×
3=81种报名方法.
（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，
于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：
4×
4=43=64种可能的情况.
0.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
完成该件事可分步进行.
涂区域1，有5种颜色可选.
涂区域2，有4种颜色可选.
涂区域3，可先分类：
若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.
所以共有5×
（1×
4+3×
3）=260种涂色方法.
1.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|oP|≥5.求这样的点P的个数.
按点P的坐标a将其分为6类:
若a=1,则b=5或6,有2个点;
若a=2,则b=5或6,有2个点;
若a=3,则b=5或6或4,有3个点;
若a=4,则b=3或5或6,有3个点;
若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;
若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;
∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.
2.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？
设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步计数原理共有1×
2×
2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.
故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.
同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.
所以符合要求的种植方法共有
=3×
=42.
10.2
排列与组合
1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有
54
2.（XX&
福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有
4
3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有
种.（用式子表示）
A
4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是
（用式子表示）.
-
5.（XX&
天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
种（用数字作答）.
390
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.
（1）方法一
要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步计数原理，共有站法：
A&
A=480（种）.
由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，根据分步计数原理，共有站法：
方法三
若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：
A-2A=480（种）.
（2）方法一
先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步计数原理，共有A&
A=240（种）站法.
先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有A&
A=240（种）.
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法；
第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A种站法，故共有站法为A&
也可用“间接法”，6个人全排列有A种站法，由
（2）知甲、乙相邻有A&
A=240种站法，所以不相邻的站法有A-A&
A=720-240=480（种）.
（4）方法一
先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A&
（3A）=144（种）站法.
先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有A&
A=144（种）站法.
（5）方法一
首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步计数原理，共有A&
A=48（种）站法.
首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A种站法，由分步计数原理共有A&
（6）方法一
甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A-2A+A=504（种）站法.
以元素甲分类可分为两类：
①甲站右端有A种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A&
A
种，故共有A+A&
A=504（种）站法.
（16分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
（1）第一步：
选3名男运动员，有c种选法.
第二步：
选2名女运动员，有c种选法.
共有c&
c=120种选法.
至少1名女运动员包括以下几种情况：
女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类计数原理可得总选法数为
cc+cc+cc+cc=246种.
“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
从10人中任选5人有c种选法，其中全是男运动员的选法有c种.
所以“至少有1名女运动员”的选法为c-c=246种.
（3）方法一
可分类求解：
“只有男队长”的选法为c；
“只有女队长”的选法为c；
“男、女队长都入选”的选法为c；
所以共有2c+c=196种选法.
2分
间接法：
从10人中任选5人有c种选法.
其中不选队长的方法有c种.所以“至少1名队长”的选法为c-c=196种.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有c种选法.不选女队长时，必选男队长，共有c种选法.其中不含女运动员的选法有c种，所以不选女队长时的选法共有c-c种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有
c+c-c=191种.
4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？
”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另
外2个盒子内，由分步计数原理，共有ccc×
A=144种.
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.
（3）确定2个空盒有c种方法.
4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有ccA种方法；
第二类有序均匀分组有&
A种方法.
故共有c奇数；
偶数；
大于3125的数.
先排个位，再排首位，共有A&
A=144（个）.
以0结尾的四位偶数有A个，以2或4结尾的四位偶数有A&
A个，则共有A+A&
A=156（个）.
要比3125大，4、5作千位时有2A个，3作千位，2、4、5作百位时有3A个，3作千位，1作百位时有2A个，所以共有2A+3A+2A=162（个）.
2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
（1）只需从其他18人中选3人即可，
共有c=816（种）.
（2）只需从其他18人中选5人即可，共有c=8568（种）.
（3）分两类：
甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有cc+c=6936（种）.
（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：
一内四外；
二内三外；
三内二外；
四内一外，所以共有cc+cc+cc+cc=14656（种）.
（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得c-（c+c）=14656有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有
248
安徽理）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是
cA
7.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定
个平面，任取四点，最多可确定
个四面体.（用数字作答）
72120
8.（XX&
浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是
.（用数字作答）
40
9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
可先分组再分配，据题意分两类，一类：
先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有cA种方案；
另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A种方案.由分类计数原理可知共有cA+A=60种方案.
0.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生；
（2）两队长当选；
（3）至少有一名队长当选；
（4）至多有两名女生当选.
（1）一名女生，四名男生，故共有c&
c=350（种）.
（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，
故共有c&
c=165（种）.
（3）至少有一名队长含有两类：
有一名队长和两名队长.
故共有：
c&
c+c&
c=825（种）.
或采用间接法：
c-c=825（种）.
（4）至多有两名女生含有三类：
有两名女生、只有一名女生、没有女生.
故选法为c&
c+c=966（种）.
1.已知平面∥，在内有4个点，在内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
（1）所作出的平面有三类：
①内1点，内2点确定的平面，有c&
c个；
②内2点，内1点确定的平面，有c&
③，本身.
∴所作的平面最多有c&
c+2=98（个）.
（2）所作的三棱锥有三类：
①内1点，内3点确定的三棱锥，有c&
②内2点，内2点确定的三棱锥，有c&
内3点，内1点确定的三棱锥，有c&
c个.
∴最多可作出的三棱锥有：
c=194（个）.
（3）∵当等底面积、等高
升级会员 