概率习题答案文档格式.docx
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23,0<
4
P{X=1FY=1}+P{X=1,Y=2）+P（X=1,Y=3）
二P（X=1,Y=1}+P{X=1，丫二2}+P{X=1，丫二3}=14+0+0=14.
习题3⑵
3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：
（2）P{1WXW2,3WYW4};
P{1WXW2,3WYW4}
二P（X=1，丫二3}+P（X=1，丫二4}+P{X二2,Y二3}+P{X二2,Y二4}二0+116+0+14二516.
试求:
（3）F（2,3）.
F（2,3）二P（1,1）+P（1,2）+P（1,3）+P（2,1）+P（2,2）+P（2,3）=14+0+0+116+14+0=916.
习题4
设X,Y为随机变量，且
P{XMO,YM0}=37,P{XM0}二P{Y20}二47,
求P（max（X,Y}>
0}.
解答:
P{max{X,Y}M0}=P（X,Y至少一个大于等于0）
二P{XMO}+P{Y20}—P{XMO,YM0}
二47+47-37二57.
（X,Y）只取下列数值中的值：
（0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）
且相应概率依次为16,13,112,512,请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.
（1）因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512二1,故所给的一组实数必是某二维随机变量（X,Y）的联合概率分布.因（X,Y）只取上述四组可能值，故事件：
{X二T,Y二0）,{X二0,Y二13,
{X二0,Y二1},{X二2,Y二13,{X=2rY=1）
均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：
01/31
-1
01/121/3
1/600
5/1200
（2）P{Y二0}二P{X=-1，丫二0}+P{X二0,Y二0}+P{X二2,Y二0}
=0+16+512=712,同样可求得
P（Y=13=112,P（Y=1}=13,
关于的Y边缘分布见下表：
Y
pk
7/121/121/3
习题6
设随机向量（X,Y）服从二维正态分布N（0,0.102,102,0）,其概率密度为
f（x,y）=1200nex2+y2200,求P{XWY}.
由于P{XWY}+P{X>
Y}=,且由正态分布图形的对称性，知
P{XWY}=P{X>
Y},
故P{XWY}=2.
习题7
设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）二{k（6-x-y）,0<
x<
2,2<
y<
40,其它，
（1）确定常数&
（2）求P（X<
1fY<
3};
⑶求P（X<
）;
⑷求P{X+YW4}.
如图所示
⑴由J*-00+00J-oo+oof（x,y）dxdy=1,确定常数k.
J*02J*24k（6-x-y）dydx=kJ02（6-2x）dx二8kh,
所以k=18.
（2）P（X<
1rY<
3}=J*01dxJ2318（6-x-y）dy=38.
（3）P{X<
}=fJ2418（6-x-y）dy二2732.
（4）P{X+YW4}二J02dxJ24-x18（6-x-y）dy二23.
习题8
已知X和Y的联合密度为
f（x,y）二{cxy,0WxW1,0WyW10,其它,
试求：
（1）常数c;
（2）X和Y的联合分布函数F（x,y）.
（1）由于1=J-oo+ooJ*-oo+oof（x,y）dxdy二cj*01J*01xydxdy=c4,c二4.
⑵当xWO或yWO时，显然F（x,y）二0;
当x>
1,y>
1时，显然F（x,y）=1;
设0有
F（x,y）=f_ooxJ-°
°
yf（urv）dudv二4JOxuduJ*Oyvdv=x2y2.
设0WxW1,y>
1,有
F（x,y）二P｛X,YWy｝二4JOxuduJ*01ydy二x2.
最后，设x>
1,0WyW1,有
F（x,y）二P｛XW1,YWy｝二4J01xdxJ*Oyvdv二y2.
函数F（x,y）在平面各区域的表达式
F（x,y）二｛0,xWO或
yW0x2,0WxW1,y>
1x2y2,0WxW1,OWyW,x>
习题9
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
f（X,y）二{（2-x）,0WxW1,xWyWIO,其它,求边缘概率密度fY（y）.
fX（x）=J-oo+oof（x,y）dy
=｛J（2-x）dy,OWxWIO,其它二｛（2-x）,OWxGO,其它.
fY（y）=J-oo+oof（x,y）dx
=｛J（2-x）dx,OWyW10,其它二｛（4y-y2）,0Wy0,其它.
习题10
设（X,Y）在曲线y二x2,y二X所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.
解答=
区域G的面积A二J01（x-x2）dx二16,由题设知（X,Y）的联合分布密度为
f（x,y）={6,0WxW1,x2WyWxO,其它,从而fX（x）=J-oo+oof（x,y）dy=6Jx2xdy=6（x-x2）,0WxW1,即
fX（x）=（6（x-x2）,OWx0,其它,fY（y）=J*-oo+oof（Xfy）dx=6J*yydx二6（y-y）,0WyW1,即fY（y）=（6（y-y）,OWy0,其它.
条件分布与随机变■的独立性习题1
二维随机变量（X,Y）的分布律为
01
7/157/307/301/15
（1）求Y的边缘分布律；
（2）求P{Y二0|X二0},P{Y=1|X二0};
（3）判定X与Y是否独立？
（1）由（x,y）的分布律知，y只取0及1两个值.
P{y二0}二P{x二0,y二0}+P{x=1,y=0}二715+730二
P{y=1）=Ei=01P（x=i,y=1}=130+115=
（2）P（y=0|x二0}二P{x二0,y二0}P{x二0}二23,
P（y=1|x二0}二13.
（3）已知P{x二0,y二0}二715,由
（1）知P{y二0}二，类似可得
P（x=0}=
因为P{x=0,y=0}#=P{x=0}・P{y=0},所以x与y不独立.
习题2
将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为
55
010.010.010
求边缘分布律；
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
（1）边缘分布律为
X
对应X的值，将每行的概率相加,可得P{X二i}・
当Y二51时,X的条件分布律为
P{X二k|Y=51}=P{X=kty=51}P（Y=51J=pkFrk=51152,53,54,55.
列表如下:
k
P{X=k|Y二51}
6/287/285/285/285/28
习题3
已知（X,Y）的分布律如下表所示，试求:
（1）在Yh的条件下.X的条件分布律；
（2）在X二2的条件下,Y的条件分布律.
012
1/41/8001/301/601/8
由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为
3/81/37/24
5/1211/241/8
故
（1）在Y二1条件下，X的条件分布律为
X|（Y=1）
3/118/110
（2）在X二2的条件下，Y的条件分布律为
Y|（X二2）
4/703/7
已知（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）={3x,0<
1,0<
x0,其它，求:
（1）边缘概率密度函数；
（2）条件概率密度函数.
（1）fX（x）=J-oo+oof（x.y）dy二｛3x2,0<
10,其它.
fY（y）=J-oo+oof（x,y）dx=（32（1-y2）,0<
（2）对VyG（0,1）,
fX|Y（x|y）=f（x,y）fY（y）=｛2x1-y2,y<
1r0,其它,对VxG（0,1）,
fYIx（y|x）二f（x,y）fX（x）二｛1x,（Ky〈x0・其它.
习题5
X与Y相互独立，其概率分布如表（a）及表（b）所示，求（X,Y）的联合概率分布,p{X+Y=1}rP{X+Y=#0}・
-2-101/2
pi
1/41/31/121/3
表（a）
-1/213
1/21/41/4
表⑹
由X与Y相互独立知
P{X二xi,Y二yi}二P{X二xi]P（Y=yj）,
从而（X,Y）的联合概率分布为
-1/2
-2-
P{X=-2JP{Y=-1/2）P（X=-1}P{
P{X=-2JP{Y=1}P{X=-1}
P{X=-2）P{Y=3）P{X=-1}
101
Y=-1/2）P（X=0）P{Y=-1/2）P（X
P{Y=1）P（X=0）P（Y=1）P（
P{Y二3}P{X二0}P（Y=3）P{
/2
二1/2}P{Y二-1/2}
X=1/2）P（Y=1）
X=1/2}P{Y=3}
亦即表
1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
P{X+y=1}=P{X二-2,y二3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P（X+Y=#0）=1-P（X+Y=0}
=1-P{X=-1,Y=1）-P（X=12,Y=-12=1-112-16=34.
某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:
55-8:
00,而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为
fY（y）=（2（5-y）25,OWyW50,其它，
求此人能及时上火车站的概率.
由题意知X的密度函数为
fX（x）二｛15,0WxW50,其它,因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：
fXY（x,y）二｛2（5-y）125,0WyW5,0WxW50,其它,故此人能及时上火车的概率为
P（Y>
X）二j05Jx52（5-y）125dydx=13.
设随机变量X与Y都服从N（OJ）分布，且X与Y相互独立，求（X,Y）的联合概率密度函数.
由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是
fX（x）=12ne-x22,fY（y）=12ne-y22
因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的联合概率密度函数是
f（x,y）=12ne-12（x+y）2.
设随机变量X的概率密度
f（x）=12e-|x|（-oo<
+oo）f
问：
X与|X|是否相互独立？
若X与|X丨相互独立，贝wa>
0,各有
P{XWa,|X|Wa}二P{XWa}•P（|X|Wa},
而事件{|X|Wa}u{XWa},故由上式有
P（IX|Wa}=P{XWa}•P{|X|Wa},
=P{|X|Wa}（—P{XWa}）二0
=>
P{|X^a|}=0或1二P{XWa}・（Va>
0）
但当a>
0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与|X丨不独立.
设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）±
服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）={12e-y2,y>
00,yWO,
（1）求X与Y的联合概率密度；
（2）设有a的二次方程a2+2Xa+Y二0,求它有实根的概率.
（1）由题设易知
fX（x）={1,0<
10,其它,
又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为
f（x,y）=fX（x）•fY（y）={12e-y2,0<
1,y>
00,其它；
⑵因{a有实根}二{判别式△2二4X2-4Y$0}二{X22Y},故如图所示得到：
P{a有实根}=P{X2NY}二JSx2>
yf（x,y）dxdy二J*OldxJ0x212e-y2dy=-J01e-x22dx=1-[J*-°
1e-x22dx-J*-°
0e-x22dx]
=1-2n[12nJ-oo1e-x22dx-12nJ*-o°
0e-x22dx]
=1-2n[①
（1）-0（0）,
又①⑴二，①（0）二，于是<
D
（1）-<
D（0）=所以
Pfa有实根]=1-2n[<
D（0）]^X=
二维随机变■函数的分布
习题1
设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U二max{X,Y}和V二min{X,Y}的联合分布.
由于UNV,可见P{U=iTV=j）=O（i<
j）.此外,有
P{U二V二i}二P{X二Y二i}=1/9（i=1,2,3）,
P{U=irV=j}=P{X二i,Y二j}+P{X二jtY=i）=2/9（i>
j）r
于是，随机变量U和V的联合概率分布为
v\概率\u
2/9
设（X,Y）的分布律为
-112
-12
1/101/53/101/51/101/10
（1）Z二X+Y;
（2）Z二XY;
（3）Z二X/Y;
（4）Z二max｛X,Y｝的分布律.
与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则•注意，z的相同值的概率要合并.
概率
（X,Y）X+YXYX/Ymax（x,Y）
（-1,-1）（-1J）（-1,2）（2,-1）（2,1）（2,2）-2011341-1-2-2241-1-1/2-2
于是
（1）
X+Y
-20134
1/101/51/21/101/10
XY
1/21/51/101/101/10
X/Y
-2-1-1/212
1/51/53/101/51/10
max（X,Y）
1/101/57/10
设二维随机向量（X,Y）服从矩形区域D二｛（x,y|0WxW2,0WyW1｝的均匀分布,且
求U与V的联合概率分布.
依题（U,V）的概率分布为
P{U二0,V二0}二P{XWY,XW2Y}二P{XWY}
二JO1dxJx112dy二14,
P{U二0,V二1}=P{XWY,X>
2Y}=0,
P{U二1,V=0}二P（X>
Y,XW2Y}二P{Y<
XW2Y}
=J*01dyJ*y2y12dx=14,
P{U=1,VP1
=1-P{U二0,V二0}-P{U二0,Vh}-P{U=1,V=0）=1/2,
即
u\v
1/401/41/2
设（X,Y）的联合分布密度为
f（x,y）=12ne-x2+y22,Z二X2+Y2,
求Z的分布密度.
FZ（z）二P{ZWz}二P{X2+Y2Wz）.当z<
0时,FZ（z）=P（0）=0;
当zMO时,
FZ（z）二P{X2+Y2Wz2}=J*Jx2+y2Wz2f（x,y）dxdy
=12nJJx2+y2Wz2e-x2+y22dxdy二12ttJ02nd0JOze-p22pdp
二JOze-p22pdp=1-e-z22.
故z的分布函数为
FZ（z）=（1-e-z22,z^OO,z<
0.
Z的分布密度为
fZ（z）=（ze-z22,z>
00,zWO.
设随机变量（X,Y）的概率密度为f（xry）={12（x+y）e-（x+y）,x>
0,y>
00,其它,
（1）问X和Y是否相互独立？
（2）求Z二X+Y的概率密度.
（1）fX（x）=J*-oo+oof（x,y）dy
={J0+°
12（x+y）e-（x+y）dy,x>
00,xW0
\under21ine令
x+y二t（J*x+°
12te~tdt=12（x+1）e-x,x>
00,xWO,
由对称性知fY（y）=（12（y+1）e-y,y>
00,yWO,显然
f（x,y）*fX（x）fY（y）,x>
0,所以X与Y不独立.
（2）用卷积公式求fZ（z）=J-oo+oof（x,z-x）dx.
当（x>
0z-x>
0即（x>
0x<
z时，f（x,z-x）去0,所以
当zWO时,fZ（z）=0;
当z>
0时，fZ（z）=J0z12xe-xdx=12z2e-z.
于是，Z二X+Y的概率密度为
fZ（z）={12z2e-z,z>
设随机变量X,Y相互独立，若X服从（0,1）上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z二X+Y的概率密度.
据题意，X,Y的概率密度分布为
fX（x）={1r0<
10,其它，fY（y）=（e-y,y$00,y<
0,由卷积公式得Z二X+Y的概率密度为
fZ（z）=J-oo+oofx（x）fY（z-x）dx二J-oo+oofx（z-y）fY（y）dy
二JO+oofX（z-y）e-ydy.
由0<
z-y<
1得z-1<
z,可见：
当zW0时,有fX（z-y）=0,故fZ（z）=J0+oo0-e-ydy二0;
当z>
0时,
fZ（z）二JO+°
fX（z-y）e-ydy二Jmax（0,z-1）ze-ydy二e-max（0,z-1）-e-
z,
fZ（z）二{0,zW01-e-z,0<
z^1e1-z-e-z,z>
f（x,y）二（be-（x+y）,0<
+°
0,其它.
（D试确定常数b；
（2）求边缘概率密度fX（x）,fY（y）；
（3）求函数U=max{X,Y）的分布函数.
（1）由J-oo+ooJ*-oo+oof（xry）dxdy=1,确定常数b.
J01dxJO+°
be-xe-ydy=b（1-e-1）=1,
f（x,y）=（11-e-1e-（x+y）,0<
Or其
它.
（2）由边缘概率密度的定义得
fX（x）二{J0+°
11-e-1e-（x+y）dy=e~x1-e-x,0<
1,0,其它,fY（x）={f0111-e-1e-（x+y）dx=e-yF0<
+8,0,其它
（3）因为f（x,y）=fX（x）fY（y）,所以X与Y独立，故
FU（u）=P（max（X,Y）Wu}二P{XWu,YWu}=FX（u）FY（u）,其中FX（x）二j0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<
1,
所以FX（x）二{0,xWO,1-e-x1-e-1,0<
1,1,x^1.
同理FY（y）二{jOye-tdt=1-e-y,0<
0,yWO,
因此FU（u）二{0,u<
0,（1-e-u）21-e-1,0^u<
1,1-e-ufu^1.
设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为
（f>
1（x）={ae-axFx>
00,xWO,（j>
2（y）={Pe-py,y>
00,yWOt其中a>
0,B>
0,a工B,试求系统L的寿命Z的概率密度.
设Z二min{X,Y},则
F（z）二P{ZMz}二P{min（X,Y）Wz}
=1-P{min（X,Y）>
z}=1-P{XMz,YMz}
=1-[1P（X<
z）][1-P{Y<
z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]
由于
F1（z）二{jOzae-axdx=1-e-a乙zNOO,z<
0,
F2（z）={1-e-pz,zMOO,z<
故
F（z）=
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