九年级数学一元二次方程导学案全部Word格式.docx

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1、2、3、

观察上述三个方程有什么共同特点？

一元二次方程的定义：

只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为

（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

。

　【达标】

1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?

（1）7x2－6x＝0

（2）2x2－5xy＋6y＝0（3）2x2-

x-1=0（4）

=0（5）x2＋2x－3＝1＋x2（6）ax2+bx+c=0

　2、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

方程

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

3x2=5x-1

（x+2）（x-1）=6

4-7x2=0

3、想一想：

⑴关于x的方程（k－3）x2＋2x－1＝0,当k　　时，是一元二次方程．

⑵当m时，方程（m-1）x∣m∣+1+2mx+3=0是关于x的一元二次方程？

拓展：

1、关于x的方程（k2－1）x2＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k时，是一元二次方程．

当k时，是一元一次方程．

2、关于x的方程（a2+2a+1）x2+6x-3=0是一元二次方程吗？

请说明原因。

3、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，

横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿

着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进

去了．你知道竹竿有多长吗？

请根据这一问题列出方程．

【评价】

规范：

成绩：

课题：

课题：

2.1花边有多宽

（二）

在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

，即：

；

。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。

上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？

你能求出各方程中的x吗？

【互助】

1.有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？

与同伴进行交流。

2.在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x（m），得到方程：

（1）x可能小于0吗?

说说你的理由．

（2）x可能大于4吗?

可能大于2．5吗?

说说你的理由，并与同伴进行交流．

（3）完成下表：

x

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2-13x+11

4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗?

还有其他求解方法吗?

与同伴进行交流．

3.上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x（m）满足方程

，把这个方程化为一般形式为

（1）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗?

（2）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?

为什么?

（3）底端滑动的距离可能是2m吗?

可能是3m吗?

（4）x的整数部分是几?

十分位是几?

（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗?

【达标】

1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。

您能求出这五个整数分别是多少吗？

课本P51

1.

2.

3.

规范：

2.2配方法

（一）

1、如果一个数的平方等于

，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。

一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

2、用字母表示完全平方公式。

3、用估算法求方程

的解？

你喜欢这种方法吗？

为什么？

1.

（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为；

若它的面积为75CM2，则其边长应为。

（口答）

（2）如果一个正方形的边长增加

后，它的面积变为

，则原来的正方形的边长为。

若变化后的面积为

呢？

（小组合作交流）

（3）你会解下列一元二次方程吗？

（独立练习）

（4）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离

满足方程

你能仿照上面几个方程的解题过程,求出

的精确解吗?

你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?

（

2.做一做：

（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。

问题：

上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？

对于形如

的式子如何配成完全平方式？

　3.解决例题

（1）解方程：

x2+8x-9=0.

（2）解决梯子底部滑动问题：

配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成

形式

1.解下列方程

2如图，在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度。

　　　　　　　课题：

2.2配方法

（二）

配方法解一元二次方程的基本步骤.

1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

x2+2x+________=（x+______）2x2-4x+________=（x-______）2

x2+________+36=（x+______）2x2+10x+________=（x+______）2

x2-x+________=（x-______）2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

x2+6x+8=03x2+18x+24=0

探讨方程2的应如何去解呢？

例2解方程3x2+8x-3=0

做一做：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（S）满足关系:

h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？

【达标】

2.印度古算术中有这样一首诗：

“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；

其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。

告我总数有多少，两队猴子在一起？

大意是说：

一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？

请同学们解决这个问题.

　　课题：

2.2配方法（三）

你能举例说明什么是一元二次方程吗？

它有什么特点？

怎样用配方法解一元二次方程？

在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。

你觉得这个方案能实现吗？

若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？

（自己设计，画出草图,再合作交流、互相补充.）

1.在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？

2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？

能达到200m2吗？

（2）鸡场的面积能达到250m2吗？

如果能，请你给出设计方案；

如果不能，请说明理由．

3.如图,圆柱的高为15cm,全面积（也称表面积）为200πcm2,那么圆柱底面半径为多少？

　课题：

2.3公式法

【温故】

用配方法解下列方程：

（1）2x2+3=7x

（2）3x2+2x+1=0

提出问题：

解一元二次方程：

ax2+bx+c=0（a≠0）

练一练1、判断下列方程是否有解：

（1）2x2+3=7x

（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0

（4）9x2+6x+1=0（5）16x2+8x=3（6）2x2-9x+8=0

例解方程2x2+3=7x

1.用公式法解下列方程

（1）2x2-4x-1=0

（2）5x+2=3x2（3）2x2+7x=4

（4）x2-

x+2=0（5）（x-2）（3x-5）=0

2.列方程解应用题

1.已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?

2.一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

3.某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,

（１）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元？

（２）选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

2.4分解因式法

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程：

（1）x2-6x=7

（2）3x2+8x-3=0

1.一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？

如果能，这个数是几？

你是怎样求出来的？

2.解下列方程

（1）5x2=4x

（2）x-2=x（x-2）（3）（x+1）2-25=0

练习:

1.解下列方程：

（1）（x+2）（x-4）=0

（2）x2-4=0（3）4x（2x+1）=3（2x+1）

2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？

2.解下列方程

.

1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h（m），与时间t（s）满足关系：

h=15t-5t2小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2+3mx+（m+4）（m-1）=0有一个根为0，m=.

2.5为什么是0.618

（一）

1.记得黄金分割中的黄金分割点和黄金比吗？

是多少？

怎么求出来的？

1.学习了一元二次方程之后，能否从方程的角度来解决黄金比的问题吗？

1.数字问题

有这样一道阿拉伯古算题：

有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？

2.面积问题

如图，现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？

3.平均增长（或降低）率问题

一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少（精确到0.1％）？

1.在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。

求原正方形钢板的面积。

2.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？

拓展：

1.两个数的差等于4，积等于45，求这两个数。

2.一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。

3.甲公司前年交税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？

2.5为什么是0.618

（二）

请同学们回忆并回答利用方程解决实际问题的步骤和关键是什么？

4、数形结合问题

如图：

某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。

一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？

（结果精确到0.1海里）

5、利润问题

新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。

市场调研表明：

当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；

而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。

商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？

6探索与创新：

一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。

这次会议到会的人数是多少？

1.如图：

在Rt△ACB中，∠C=90°

，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，

几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？

2.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：

这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？

这时应进台灯多少个？

3.如图：

在△ABC中，∠B=90°

，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？

4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？