初中50道经典几何题Word下载.docx
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，408=40。
求4（力。
解：
设QBC交于点F,过£
＞作DG//AB
交/沙于点G,AG交47）于II.贝ijA
△力/苏'
是等腰三角形，力、3、G、/）四点共恻。
ZI11G=ZDBG=^,AZB^G=60°
NBDG=NB/IG=6O°
乙1GD=N/1BD=60°
.・.△（;
/〃）是等边三角形。
是a等边三角形AZ/iZZC=80°
/CHG=W°
AZHGC=W°
，：
.HC=G（\•••△HCD会△GCD，N〃DC=30°
AZz/CD=80°
o
第六题:
已知，ZABC=30°
ZA/Xr=60°
力。
=/）C。
AB1+BC2=Bl）1
以/〃3为边向外作正三角形则BCA.BE,BE1+BC2=CE2易证〃，丝BD=CE千足AB?
+BC'
2=B1）2°
第七题:
如图,PC切0。
于C,力C为例的立径，r为。
的割线，AE、与直线PO相交于〃、/Jo求证：
四边形X执7）为平行四边形证明:
过「作“LLPO于G,
则由N»
EC=NPGC=9O°
得
E、B、G、C四点共圆
同理尸、D、G、C四点共圆
/V是。
0切线，P（C=PE・PF
在HT^PCO中，PC2=PGPO
:
・PEPF=PGP（）、
・E、G、O、尸四点共圆。
AZOGF/OEF,/BGE=NOEF.AZ
OGI-/BGE
乂CG_LPO得NEGC=NFGC,NEGF=NEOF=2NE4F,:
・NEGC=NFGC=/EAF
又/EGC=NEBC,/FGC=/FDC,；
•/EBC=/FDC=/E/F
工/尸〃苗C,4E〃CQ,，四边形//BCD是平行四边形。
第八题：
在AJZ?
「中，AB=AC,4=80。
，4）3（、=10。
NO（N=20°
AB=OB
延长CO交46于Q,以OC为边作正三角
形OCE（如图）易知力C=DC，BD=OD.OC=/iD△//CE^AC7/Dt/\/1（：
0且△/也O,
ZC/fO=-ZC//E=io°
2
.•.ZBJO=7o°
N/〃0=40°
，N/，Oj/=7O°
•:
•/IB=QBc
第九题:
正方形力HC/J中，N04D=NO/14=15。
，求证：
AOHC为正三角形。
以3c为边作正三角形5C0'
（如图），则/〃3=0'
B,Z/IBCX=30°
•NR/1O'
=75°
ZZ1<
X=15°
同理N㈤0'
=15°
于是△/DO'
0△/DO
，。
与0,重合
△。
/3（'
是正三角形Q
第十题:
己知：
正方形4段7）中，E、F为AD、QC的中点，连接BE、AI\相交于点〃，连
接PC°
PC=BC简证：
易知
BELAFt：
.B>
（'
、F、。
四点共圆/BPC=/BFCZPBC=ZBE/1而/跖月=N37T/.ZBPC=/PBC：
.PC=B（\
第十一题:
如图，A/K火与"
£
都是等腰自角三角形，乙41）*=乙4（方=9伊,ZC7）F=45°
-DF交BEfF,求证：
ZCI1）=90°
.E-A+AE=7+x—1+（v—x—1）/=x+y—1+（y-x）z
."
=D+DF=x+yi+——（-x-yi）—（\+/）=-（x+y）+-（y-x）i,:
E+B=x+y+（y-x）i=2/「
，厂是E"
中点，，△（'
）厂是等腰直角三角形，Z（TO=9O°
第十二题:
A/1水‘中，/CBA=2/CAB,N（'
"
的角平分线8。
与N（的角平分线4）相
交于点。
，且=力。
4（3=60。
作N/〃m的平分线交/C于心易得四边形/IBDE是等腰梯形/1D=BE,BC=BE
/C=NCEIi=3Z/1BE
ZCBE=SZ/1BE
.•.△加尤为等边三角形
ZJCB=60qo
第十三题:
在中，AC=B（\ZC=100°
4）平分求证：
AD+CD=AB简证:
作BE使得N4BE=80。
交直线月C于E,AD延长线与BE交于点尸
则4C是N/〃花的平分线，N（FB=W°
N/〃步=60°
ZCDF=120°
tC、IX*、E四点共圆ZDFC=ZDEC=/DEF=NDCFCI）=Dl\z/D+CD=AF=AB.
第十四题:
灰,中，4y二伙’，〃是的中点，过。
作故于*，连接力”，取/比中点尸，连接出，求证：
AEtB厂
筒证：
Rt
△BDE^>
Hl△DCE,HDDC=
DECE
ZB（L1=ZB111=90q,AELBF.
第十五题：
A4水’中，4=24。
，N<
'
=30。
，D为水’上一点、,AB=。
），连接用）。
4RRC=BD・AC
以旗为边作正三角形（如图）由NC=30°
W0C=OBZB（）C=2ZBAC=48°
ZJOC=108°
Z0CD=S6°
OC=（）D,ZCOD=72°
Z7^00=24°
△m"
）色△。
/a），N/〃”）=30°
ah-HC=BD-AC.
第十六题:
与44—均为正方形,4、B,、J、D1分别为AA「BB「CC「DDt的中点°
4J人（；
/）,为正方形
■■■』
只要证明△血玛0是等腰直角三角形即可0
设8=0,C—B//=/»
B\=b,Ci=c（6,ceD）,则
A4-J.i+（c-b>
+b
-亍=-2—
b,=23
222「C+gc+1
（='
=
222
它♦/=（g=巴士
^-rfDi+（c-b）i+bbc-b+l.8/2=A2M=2=-2~
第十七题:
如图，在.\ABC三边上，向外做三角形B（T、CAQ,使N（'
/"
»
=NCNQ=45。
/用『=4（'
0=30。
，4初＜=/物〃=15°
“。
与〃〃垂直且相等。
简证:
以巴、为边作正三角形（如图）
则△（〃口是等腰直角三角形，
△QIRsApcb,AOBPs4/1BC
△ORWf股
1・RQ=RP,RQ1HP.
第十八题:
如图，已知/。
是OO的直径，。
是中点，力。
交。
于点EM.FM
是。
的切线，EM、/相交丁点用，连接。
〃。
DM上BC
如图，过0作G/LLQM,
△OGEsAmde,
・OGOE_OF_OH
•篇一曲一同一而
.OG=OH
HGD"
是平行四边形，D是AG中点:
.G、〃分别是/〃、”的中点
，（；
〃〃（•，D;
W±
/X\
第十九题:
如图，三角形力/*：
内接于。
，两条高3、交于点H,连接力。
、（）Hq若AH=2,BD=3,CD=\,求三角形力O”面积。
解:
设HD=b秘是BC中点,OF=d
由△拉〃）得
学=,，解得1=1
3x
z/n=s,illQB=0/1得
拒+/=&
3-d）2+l2得d=]
，01〃）「为正方形，（）11=1
三角形月OH面积为,x2x1=1o2
第二十题:
如图，ZDAC=2x,ZA（'
B=4x,ZAB（1=3x,AD=B（\求N/加/八
解；
延长AC至乙使C£
=4D,则/1D=DE,设N£
=f,则N£
1C=/kr-，,由/〃）=DE得6j-/=3/=3工，：
./lB=/lE9△力/〃）四△/〃"
C：
./H）=/lC9N/DC=小尤,A^.r4-4.r4-4.r=180°
jt=18°
即NA/〃）=18。
第二十一题:
在心中，44次'
=90。
为4、上一点，£
是力。
的中点，Zl=Z2o
^ADB=2ZAHD
il：
过/作SD平行线，交CE于人交C3于G,则
E1=FG=FB,易得△/〃〃注N/D£
=NFBE
ZCBE=/8G*=ZGUI'
ZFBA=ZABD
.ZJDB=2Z//BDo
第二十二题：
已知正方形力〃（7）,〃是CO上的一点，以功为0：
径的网。
交/〃、于E、”,射线/%'
、（7•,交于点M。
点M在。
上.
iilj'
Jl：
设"
与圆。
交于」V,DEDM=DA2=DC2/.△DM^A/XE
.Z1XE=ZDN€
B、31〉、E四点共画,
.NDCE=NFBE=NFNE：
.ZDNC=ZENE
.N、F、C三点共线,即DE、「尸的交点为N,M与N重合。
故点M在。
上。
第二十三题:
已知•点。
是A/IA。
内一定点，n/fADAC=ZDC=ZDBA=30°
o求证：
是正三角形。
证明：
显然当△"
C中D4=DB=DC时9
△4?
r是正三角形。
当△/〃/,中Q41）〃、DC有两个相等时,易证△/〃（是正三角形。
卜面证明中04、DB、DC互不相等是不可能的.
DA.DB、DC互不相等，不妨设D/最小，Q〃最大。
以D为例心，QC为半径作圆，则4在圆Q内部，〃在炭11）外部。
圆D上取点儿使得NCQ£
=1辿/.BC与陶Q交于点儿则△1/，/是正三角形口
ZDJC=ZDEC=M）a,有I）、力、原C四点共圆。
ZJED=Z//（,D<
80°
，有点4在△，£
1）内部。
设/出与E/交于点G由/G〃D=NG//D=30°
知D、G、〃、“四点共圆,AZFGD=ZFHD<
ZCFZ）=80°
，ifljZPGD>
ZFED=»
）°
这是矛盾的。
故△4女是正三角形。
第二十四题:
如图，过正方形的顶点力的宜线交BC、CDFM、N,DM与BN交于•点，，BPLBN,
/=7^TT（|-a+z）
J/V=—4-1-7=---z1-a1-a
1.
/XFI（1、］1+a-2a'
+（3c/-1）/
DMOM=（1+H）-+l4/--1/=.雪__且_
•丽•丽
（一）2DM（j）2两'
（j）2
.S=Z1心八
第二十五题:
在正方形力以。
中边长为1,E是CDI一点,AE交BD于点G,交AC的延长
4BCD与AE*G均为正方形‘连接C》'
，取C的中点/，连接。
M、ME.
V〃必为等腰直角三角形证明:
设g、Q分别是正方形ABCD.
4E尸G的中心,则
6M〃AF,O.M///IC
O小
02M=AO\=OB
ND01M=90°
-/40m=90°
~
N力047=NMQ±
E,
•••△dcu修△MQ/,MD=EM
又（XE,O2MLOJ）,MD
±
EM
故△）〃）£
为等腰三角形。
I）
第二十六题:
当BO=OD时/=（）,//B+BO=BC+OI）由对称性，当IBO<
OD时//〃+li（）<
〃C+OD综上，当8O>
OD时，JB+40>
3C+0D；
当BO=（〃）时，月
当AOVOD时,/IB+BOVBC+Ol，
四边形ABDC中，NABC=ZACB=58°
Z<
AD=48°
/BCD=30。
，求NBX的度数。
作△8CD的夕卜心O,则由N/CD=3O°
得
△4DO是等边三角形，
N/1BC=N/1CB,OB=OC
・•・△//〃但△力CO,
AO平分NH/C,
.ZHA（）=-^HAC=32°
2
而NA〃）=64°
—48°
=16°
/〃）平分N/MO,XBI）=B（）
△/OI）（否贝l]N/a）O>
60°
）,
ZBn/=80°
/EA4伙’中，。
是4?
的中点，NO/（'
=2N。
/,Z/X7?
=30°
-求的度数
作CD的垂直平分线交〃C于E作△"
CD的外心0,则
NDE/!
=2ZDCE=NDAE,，/〃）=DE,又I）是/仍中点：
.BE±
/1E,又/D（B=30°
△出）。
是等边三角形，于是do=川）N3（M=90°
：
.A.从O.E四点共圆若0与E重合（如上图），则乙"
C=1（）5°
；
若。
与E不重:
合（如下图），则四边形DOCK是菱形，
・DO〃A3且NIXW=3O°
ZDz/E=60°
△/〃》：
是等边三角形.•.£
是“中点，，是等边三角形/.Zz/BC=60°
故所求N8=105°
或G0°
Q
第三十题:
在四边形/87）中，AD=CD,AC=BI）,ABLAC,求/HKC的度数。
取力「中点*,则由加）=（7）得
DFLAC,又力C得
aI：
Fi；
〃初sRt—,：
.—=—BEDE
.AEFEAE+FEAF1
••BE-DE~BE+DE~BD-2
AZ//EB=60°
ZBLC=120°
第三十一题:
住用“BC中,4（3=90。
，N（XA=60。
，CJ）1AB,M、N为直线4T上的两点,日./软力=NN（8=8。
，求//”〃）的度数。
如图，A4次'
中，用）工4C于Q,E为BD上一点，R/ABQ=38。
/（力。
=68。
N次79=14。
，求//）/£
的度数.
皿…BDED
tan520=,tanZkAD
ADAD
…BDtan22°
=
CD
tan80=—
.tanNE4D=
tan80tan52°
=tail24°
tan22°
tan24•，所以NDAE・x・24°
已知BD是AABD边AC上高.ZABD=38°
.ZCBD=e80,ZBCE=140tZDCE=8°
.求/CAE
证明设NDAE,x,
BEABsin（520-x）BC»
ln14°
因为DE=ADtinx=DCiln8e到:
曹:
x）.曾二。
n68081na-lngn）
sln38°
slnx•In68o»
ln80^sln380slnxsln14\进而sin24ssm（52。
大）«
4sln62”ln38”lnxm・ln28°
・lm（,于是
•In24e»
ln52e
sln24ecos520*8ln28e
C'
为。
的直径，A,8为半圆上两点./）«
为过点。
的切线，AB交DE于E,连接
OE.交（力于“，交4（’千N0求证：
ON=OM
设。
=0,Q=i,C=—11/1=«
B=e'
（a./?
G）£
=1+M,由4、及E共线得
B-A、cos/?
+zsinZ?
-costz-/sina
-——,即--~:
-GJ
k—A1+亩一cosa-isina
sina-sin〃sin（a/?
）
cosa-cos/7
a
cot--fcot
令M=砧，N=学
j_f,
111A.C、M共线得・二,wH,
M-C
cosQ+l+isin%口解得4+1+
sina1
a1+cosa）-sinaacot--2
8&
CoW
22
cot——cot
cot—+cot—
同理％=——4"
故M+N=o,IVI=INI,即0N=OM.
Lpa
cot-cot22
第三十四题:
如图，四边形4灰刀中，BC=CD,NB（N=21。
ZCAD=39°
NCD4=78。
，求
NA4：
•的度数。
作△Z3Q的外心0,则由5C=CD,05=0。
知
△CB0^ACZ）0,
易知N/3CD=84°
得/CDA=48°
ZBC0=^Q,NBD»
=30°
NB0/I=60；
△407是等边三角形，
Z/1CO=ZBCO-ZBCA=21°
力C平分N8G0,又4B=4（）
.△/IBS△//0C（否则NHA（）>
•♦NBO。
o
第三十五题:
如图，四边形中，AD=CD,ZBAC=10°
Zz皿）=50。
，ZACD=20Q,求
NCBQ的度数。
作△/〃M）的外心0,由/〃/M=
30°
得NAOQ=6O°
ABOD是等边三角形，
Z0B//=10°
又/&
7C=10°
/.OB//AC,又月I）=DC,DO=I犯知△DJO^ADBC,
AOHC是等腰梯形，/次R=NQ4C=
20°
NCBQ=l（iO°
-60°
=100°
*1）=FE,NB4C=NDFE。
G、”,且即=4、GH=3,四边形
如图，/“）=「£
G、H为BC、DE中点,AB=AC.
AFHGH
证明:
将ZUBC平移至△FMN,T是MN中点,1\Q、小S分别是CD、初入EMDN中点，则四边形ABZF、ACNF、AGTF、BCNM都是平行四边形◊易得AFMD且AFNE,MD=NE
PHl^CElgq.pg—bdIhq
—2—•—2—
乂/3D=C£
得四边形〃〃QG是菱形，PQ_LG〃
同理57?
1771,
PS--CN1-BM_0R,PQ//SR,
-2-2
，T在GH上,XGT//AF
.AF"
GHq
第三十七题:
如图，在正方形力/CQ中，有任意四点£
、F、EGFII的面积为5,求正方形ABCD的面积。
如图，作BM〃EF交AD于M,/IN//GH
交CD于N,则BM=EF,AN=GH
易知四边形EGI'
II的面积等于四边形
力MN/3的面积
设QN=〃，正方形边长为力,则
.11
x~-4/）--x（x-b）=5
<
+/=4
y/x2+b2=3
4444
解得一=一。
即正方形ABCD的面积是一。
55
第三十八题:
ZJ=30°
oZB=60°
ZC=900显然符合已知条件。
由24c则C点在8为圆心，为半径的圆上
ZC=90°
有C在以的为直径的圆。
上
取圆△上异于C的点，
若点在圆。
内部（如点D）,则ND>
90°
Z^BD<
，不合题意;
若点在圆。
外部（如点£
）,则/£
Vj）0°
Z//BE>
24KV3//〃如不合题意。
故只有N〃=30°
第三十九题:
在A48C中，N/〃父=46°
Q是BC边上一点,DC=A13,4h4B=2T。
求NC。
如图，做平行四边形/〃花D.ZEDC=ZB/1C=^,ZBDC=46°
+幺1°
=67°
DE=/1B=D（\AZDCE=67°
BECD是等腰梯形
ZBCD=ZEDC-^6°
即NC=m°
在zM段中，4B=A（\。
为/*'
边上一点，〃为上一点，且满足
=Z/£
/Co求证：
HD=2CDo
在BE上作BF=AE,过尸作EG//.ID与N3ED的平分线交于点G,交BD于H。
由NA£
Q=NA〃'
，得N/〃花=NC/〃嗔又」B="
△“B2A（71E,工NdFE=NCED,N0ED=2/CED,:
・/，lFE=4FAE,ae=fe故F是HE中点。
EG平分NHED.ZGED=ZEIE・・・£
（；
〃/〃•,,四边形川'
G力是平行四边形"
“；
=/〃•'
=（£
.,.△<
V/E^AG//Eo
・・・4D平分GC,又FG//AD,D是HC中点.
乂“是小,:
中点，得〃是〃D中点。
故BDiDC。
己知，/,。
是正方形4#7）和正方形476上的点/,'
、（’的连线，点〃是/《’的中点,连接由、求证：
EH=DH且EHtDH0
同二十六题
4力。
=4%“=10°
=40。
，ZDBA=20°
求证：
Z（DB=70°
作点力关于直线川）对称点O，则△/〃〃足△（〃）/，，乙〃用=150°
△/“〃）是等边三角形，NO/娟）=20°
ZDOB=1009ZOBC=4O°
—?
O°
=20°
以0为圆心OZ为半径的圆。
与直线/C交丁点C,rtlZC-/D=IO°
得/DOC'
NBOC'
=10°
OB.ZOHC9=ZOBO=20°
=/（〃“’
所以。
与C'
重合oBC=BD,ZCDB=70qo
如图，分别是圆内接四边形4/）8。
的对外线力A、CD的中点，若NDHCER,
ZAH）=ZBFJ）
延KCE交圆。
于G点，
由已知得OE±
/iii.
NDEB=NCEB。
Z
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