高考理科数学浙江卷word解析版.doc
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（浙江卷）
选择题部分（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013浙江，理1）已知i是虚数单位，则（－1＋i）（2－i）＝（ ）．
A．－3＋iB．－1＋3i
C．－3＋3iD．－1＋i
答案：
B
解析：
（－1＋i）（2－i）＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i，故选B．
2．（2013浙江，理2）设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则（RS）∪T＝（ ）．
A．（－2,1]B．（－∞，－4]
C．（－∞，1]D．[1，＋∞）
答案：
C
解析：
由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝{x|x＞－2}，∴（RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}，故选C．
3．（2013浙江，理3）已知x，y为正实数，则（ ）．
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg（x＋y）＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg（xy）＝2lgx·2lgy
答案：
D
解析：
根据指数与对数的运算法则可知，
2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故A错，B错，C错；
D中，2lg（xy）＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故选D．
4．（2013浙江，理4）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
若f（x）是奇函数，则φ＝kπ＋，k∈Z；
若，则f（x）＝Acos（ωx＋φ）＝－Asinωx，显然是奇函数．
所以“f（x）是奇函数”是“”的必要不充分条件．
5．（2013浙江，理5）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）．
A．a＝4B．a＝5
C．a＝6D．a＝7
答案：
A
解析：
该程序框图的功能为计算1＋＋＋…＋＝2－的值，由已知输出的值为，可知当a＝4时2－＝.故选A．
6．（2013浙江，理6）已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝（ ）．
A．B．C．D．
答案：
C
解析：
由sinα＋2cosα＝得，sinα＝－2cosα.①
把①式代入sin2α＋cos2α＝1中可解出cosα＝或，
当cosα＝时，sinα＝；
当cosα＝时，sinα＝.
∴tanα＝3或tanα＝，∴tan2α＝.
7．（2013浙江，理7）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则（ ）．
A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°
C．AB＝ACD．AC＝BC
答案：
D
解析：
设＝t（0≤t≤1），
∴＝＋＝t＋，
∴·＝（t）·（t＋）＝t2＋t·.
由题意·≥·，
即t2＋t·≥
＝＋·，
即当时·取得最小值．
由二次函数的性质可知：
，
即：
·＝，
∴·＝0.
取AB中点M，则＋＝＋＝，
∴·＝0，即AB⊥MC．
∴AC＝BC．故选D．
8．（2013浙江，理8）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex－1）（x－1）k（k＝1,2），则（ ）．
A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极大值
答案：
C
解析：
当k＝1时，f（x）＝（ex－1）（x－1），f′（x）＝xex－1，
∵f′
（1）＝e－1≠0，
∴f（x）在x＝1处不能取到极值；
当k＝2时，f（x）＝（ex－1）（x－1）2，f′（x）＝（x－1）（xex＋ex－2），
令H（x）＝xex＋ex－2，
则H′（x）＝xex＋2ex＞0，x∈（0，＋∞）．
说明H（x）在（0，＋∞）上为增函数，
且H
（1）＝2e－2＞0，H（0）＝－1＜0，
因此当x0＜x＜1（x0为H（x）的零点）时，f′（x）＜0，f（x）在（x0,1）上为减函数．
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，＋∞）上是增函数．
∴x＝1是f（x）的极小值点，故选C．
9．（2013浙江，理9）如图，F1，F2是椭圆C1：
＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）．
A．B．C．D．
答案：
D
解析：
椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝.
又因为四边形AF1BF2为矩形，
所以∠F1AF2＝90°.
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝，|AF2|＝.
所以在双曲线C2中，2c＝，2a＝|AF2|－|AF1|＝，故，故选D．
10．（2013浙江，理10）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（ ）．
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
答案：
A
非选择题部分（共100分）
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（2013浙江，理11）设二项式的展开式中常数项为A，则A＝__________.
答案：
－10
解析：
Tr＋1＝
＝.
令15－5r＝0，得r＝3，
所以A＝（－1）3＝＝－10.
12．（2013浙江，理12）若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则此几何体的体积等于__________cm3.
答案：
24
解析：
由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
13．（2013浙江，理13）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝__________.
答案：
2
解析：
画出可行域如图所示．
由可行域知，最优解可能在A（0,2）或C（4,4）处取得．
若在A（0,2）处取得不符合题意；
若在C（4,4）处取得，则4k＋4＝12，解得k＝2，此时符合题意．
14．（2013浙江，理14）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．
答案：
480
解析：
如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共·种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有·种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有·种排法；若C在第4个位置，则有＋种排法；若C在第5个位置，则有种排法；若C在第6个位置，则有种排法．
综上，共有2（＋＋＋）＝480（种）排法．
15．（2013浙江，理15）设F为抛物线C：
y2＝4x的焦点，过点P（－1,0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于__________．
答案：
±1
解析：
设直线l的方程为y＝k（x＋1），A（x1，y1），B（x2，y2）．由联立，得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，
∴，，
即Q.
又|FQ|＝2，F（1,0），
∴，解得k＝±1.
16．（2013浙江，理16）在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝__________.
答案：
解析：
如图以C为原点建立平面直角坐标系，
设A（0，b），B（a,0），
则M，＝（a，－b），＝，
cos∠MAB＝
＝.
又sin∠MAB＝，
∴cos∠MAB＝.
∴，
整理得a4－4a2b2＋4b4＝0，
即a2－2b2＝0，∴a2＝2b2，
sin∠CAB＝.
17．（2013浙江，理17）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于__________．
答案：
2
解析：
|b|2＝（xe1＋ye2）2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.
∴，当x＝0时，；
当x≠0时，.
三、解答题：
本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（2013浙江，理18）（本题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
（1）求d，an；
（2）若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：
（1）由题意得5a3·a1＝（2a2＋2）2，
即d2－3d－4＝0，
故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d＜0，由
（1）得d＝－1，an＝－n＋11.
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
19．（2013浙江，理19）（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：
取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：
（1）由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P（ξ＝2）＝，
P（ξ＝3）＝，
P（ξ＝4）＝，
P（ξ＝5）＝，
P（ξ＝6）＝，
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
（2）由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E（η）＝，
D（η）＝，
化简得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
20．（2013浙江，理20）（本题满分15分）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）证明：
PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
方法一：
（1）证明：
取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OP，OF，FQ，因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD．
因为O，P分别为BD，BM的中点，
所以OP是△BDM的中位线，
所以OP∥DM，且OP＝DM.
又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD．
从而OP∥FQ，且OP＝FQ，
所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.
又PQ平面BCD，OF平面B
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