中考专题复习第九讲分式方程含详细参考答案1文档格式.docx
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分式方程的解
例1(2018•株洲)关于x的分式方程
解为x=4,则常数a的值为( )
A.a=1B.a=2
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程,解得a=-1.
【解答】解:
把x=4代入方程
,得
,
解得a=10.
故选:
D.
【点评】此题考查了分式方程的解,分式方程注意分母不能为0.
考点二:
解分式方程
例2(2018•广西)解分式方程:
.
【分析】根据解分式方程的步骤:
①去分母;
②求出整式方程的解;
③检验;
④得出结论依次计算可得.
两边都乘以3(x-1),得:
3x-3(x-1)=2x,
解得:
x=1.5,
检验:
x=1.5时,3(x-1)=1.5≠0,
所以分式方程的解为x=1.5.
【点评】本题主要考查解分式方程,解题的关键是掌握解分式方程的步骤:
④得出结论.
考点三:
由实际问题抽象出分式方程
例3(2018•嘉兴)甲、乙两个机器人检测零件,甲比乙每小时多检测20个,甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%,若设甲每小时检测x个,则根据题意,可列出方程:
.
【思路分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程,即可得出结论.
设设甲每小时检测x个,则乙每小时检测(x-20)个,
根据题意得,
故答案为
【点评】此题主要考查了分式方程的应用,正确找出等量关系是解题关键.
考点四:
分式方程的应用
例4(2018•玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.
(1)求二月份每辆车售价是多少元?
(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?
【思路分析】
(1)设二月份每辆车售价为x元,则一月份每辆车售价为(x+100)元,根据数量=总价÷
单价,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设每辆山地自行车的进价为y元,根据利润=售价-进价,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.
(1)设二月份每辆车售价为x元,则一月份每辆车售价为(x+100)元,
根据题意得:
x=900,
经检验,x=900是原分式方程的解.
答:
二月份每辆车售价是900元.
(2)设每辆山地自行车的进价为y元,
900×
(1-10%)-y=35%y,
y=600.
每辆山地自行车的进价是600元.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出分式方程;
(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.
【聚焦山东中考】
1.(2018•德州)分式方程
的解为( )
A.x=1B.x=2
C.x=-1D.无解
2.(2018•临沂)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元,今年1~5月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%,今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?
设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是( )
A.
B.
C.
3.(2018•潍坊)当m=时,解分式方程
会出现增根.
4.(2018•威海)某自动化车间计划生产480个零件,当生产任务完成一半时,停止生产进行自动化程序软件升级,用时20分钟,恢复生产后工作效率比原来提高了
,结果完成任务时比原计划提前了40分钟,求软件升级后每小时生产多少个零件?
5.(2018•东营)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院1200m和2000m,两人分别从家中同时出发,已知小明和小刚的速度比是3:
4,结果小明比小刚提前4min到达剧院.求两人的速度.
6.(2018•菏泽)列方程(组)解应用题:
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收,我市某中学配备了两个多媒体教室,购买了笔记本电脑和台式电脑共120台,购买笔记本电脑用了7.2万元,购买台式电脑用了24万元,已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍,那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少?
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•张家界)若关于x的分式方程
的解为x=2,则m的值为( )
A.5B.4
C.3D.2
2.(2018•黑龙江)已知关于x的分式方程
的解是负数,则m的取值范围是( )
A.m≤3B.m≤3且m≠2
C.m<3D.m<3且m≠2
3.(2018•荆州)解分式方程
时,去分母可得( )
A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4
C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4
4.(2018•成都)分式方程
的解是( )
A.x=1B.x=-1
C.x=3D.x=-3
5.(2018•通辽)学校为创建“书香校园”购买了一批图书.已知购买科普类图书花费10000元,购买文学类图书花费9000元,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元,且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本.求科普类图书平均每本的价格是多少元?
若设科普类图书平均每本的价格是x元,则可列方程为( )
二、填空题
6.(2018•黄石)分式方程
的解为。
7.(2018•广州)方程
的解是.
8.(2018•常德)分式方程
的解为x=.
9.(2018•遂宁)A,B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程.
三、解答题
10.(2018•连云港)解方程:
11.(2018•柳州)解方程
12.(2018•贺州)解分式方程:
。
13.(2018•岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米?
14.(2018•曲靖)甲乙两人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做4个,甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等,求甲乙两人每小时各做几个零件?
15.(2018•玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车,今年一月份销售额为30000元,二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元.
16.(2018•宁波)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的每件进价;
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:
甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;
乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
1.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
去分母得:
x2+2x-x2-x+2=3,
x=1,
经检验x=1是增根,分式方程无解.
【点评】此题考查了分式方程的解,始终注意分母不为0这个条件.
2.【思路分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元,则去年的销售价格为(x+1)万元/辆,根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程.
设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元,则去年的销售价格为(x+1)万元/辆,
根据题意,得:
,
【点评】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是理解题意,确定相等关系.
3.【思路分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根,且使分式方程的分母为0的未知数的值.
分式方程可化为:
x-5=-m,
由分母可知,分式方程的增根是3,
当x=3时,3-5=-m,解得m=2,
故答案为:
2.
【点评】本题考查了分式方程的增根.增根问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
4.【思路分析】设软件升级前每小时生产x个零件,则软件升级后每小时生产(1+
)x个零件,根据工作时间=工作总量÷
工作效率结合软件升级后节省的时间,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
设软件升级前每小时生产x个零件,则软件升级后每小时生产(1+
)x个零件,
x=60,
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意,
∴(1+
)x=80.
软件升级后每小时生产80个零件.
【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
5.【思路分析】设小明的速度为3x米/分,则小刚的速度为4x米/分,根据时间=路程÷
速度结合小明比小刚提前4min到达剧院,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
设小明的速度为3x米/分,则小刚的速度为4x米/分,
x=25,
经检验,x=25是分式方程的根,且符合题意,
∴3x=75,4x=100.
小明的速度是75米/分,小刚的速度是100米/分.
6.【思路分析】设台式电脑的单价是x元,则笔记本电脑的单价为1.5x元,利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程
,然后解分式方程即可.
设台式电脑的单价是x元,则笔记本电脑的单价为1.5x元,
根据题意得
解得x=2400,
经检验x=2400是原方程的解,
当x=2400时,1.5x=3600.
笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元.
【点评】本题考查了分式方程的应用:
列分式方程解应用题的一般步骤:
设、列、解、验、答.
1.【思路分析】直接解分式方程进而得出答案.
∵关于x的分式方程
的解为x=2,
∴x=m-2=2,
m=4.
【点评】此题主要考查了分式方程的解,正确解方程是解题关键.
2.【思路分析】直接解方程得出分式的分母为零,再利用x≠-1求出答案.
x=m-3,
的解是负数,
∴m-3<0,
m<3,
当x=m-3=-1时,方程无解,
则m≠2,
故m的取值范围是:
m<3且m≠2.
【点评】此题主要考查了分式方程的解,正确得出分母不为零是解题关键.
3.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,即可作出判断.
1-3(x-2)=-4,
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
4.【思路分析】观察可得最简公分母是x(x-2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
去分母,方程两边同时乘以x(x-2)得:
(x+1)(x-2)+x=x(x-2),
x2-x-2+x=x2-2x,
经检验,x=1是原分式方程的解,
【点评】考查了解分式方程,
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分
5.【思路分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案.
设科普类图书平均每本的价格是x元,则可列方程为:
.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确得出等量关系是解题关键.
6.【思路分析】方程两边都乘以最简公分母,化为整式方程,然后解方程,再进行检验.
方程两边都乘以2(x2-1)得,
8x+2-5x-5=2x2-2,
解得x1=1,x2=0.5,
当x=0.5时,x-1=0.5-1=-0.5≠0,
当x=1时,x-1=0,
所以x=0.5是方程的解,
故原分式方程的解是x=0.5.
x=0.5
【点评】本题考查了解分式方程,
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
7.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
x+6=4x,
x=2,
经检验x=2是分式方程的解,
x=2
8.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
x-2-3x=0,
x=-1,
经检验x=1是分式方程的解.
-1
9.【思路分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可.
设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程:
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确表示出两车所用时间是解题关键.
10.【思路分析】根据等式的性质,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案.
两边乘x(x-1),得
3x-2(x-1)=0,
解得x=-2,
经检验:
x=-2是原分式方程的解.
【点评】本题考查了解分式方程,利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键,要检验方程的根.
11.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
2x-4=x,
x=4,
经检验x=4是分式方程的解.
12.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
4+x2-1=x2-2x+1,
经检验x=-1是增根,分式方程无解.
13.【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米,则实际平均每天施工1.2x平方米,根据时间=工作总量÷
工作效率结合提前11天完成任务,即可得出关于x的分式方程,解之即可得出结论.
设原计划平均每天施工x平方米,则实际平均每天施工1.2x平方米,
x=500,
经检验,x=500是原方程的解,
∴1.2x=600.
实际平均每天施工600平方米.
14.【思路分析】设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x-4)个零件,根据工作时间=工作总量÷
工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x-4)个零件,
x=24,
经检验,x=24是分式方程的解,
∴x-4=20.
甲每小时做24个零件,乙每小时做20个零件.
15.【思路分析】
16.【思路分析】
(1)设甲种商品的每件进价为x元,乙种商品的每件进价为y元.根据“某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程;
(2)设甲种商品按原销售单价销售a件,则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式.
(1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.
根据题意,得,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的解.
甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;
(2)甲乙两种商品的销售量为
设甲种商品按原销售单价销售a件,则
(60-40)a+(60×
0.7-40)(50-a)+(88-48)×
50≥2460,
解得a≥20.
甲种商品按原销售单价至少销售20件.
【点评】本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用.本题属于商品销售中的利润问题,对于此类问题,隐含着一个等量关系:
利润=售价-进价.