高考数学新课标理科真题.doc

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1.（2018年新课标Ⅱ理）＝（）

A.－－i B.－＋iC.－－i D.－＋i

D【解析】＝＝－＋i.

2.（2018年新课标Ⅱ理）已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为（）

A.9 B.8 C.5 D.4

A【解析】当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.

3.（2018年新课标Ⅱ理）函数f（x）＝的图象大致为（）

AB

CD

B【解析】f（－x）＝＝－＝－f（x）,则f（x）为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x＝1时,f

（1）＝e－＞0,排除D；当x→＋∞时,f（x）→＋∞,排除C.故选B.

4.（2018年新课标Ⅱ理）已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·（2a－b）＝（）

A.4 B.3 C.2 D.0

B【解析】由题意,a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2＋1＝3.

5.（2018年新课标Ⅱ理）双曲线－＝1（a>0,b>0）的离心率为,则其渐近线方程为（）

A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x

A【解析】依题意,e＝＝,则＝＝＝＝,所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A.

6.（2018年新课标Ⅱ理）在△ABC中,cos＝,BC＝1,AC＝5,则AB＝（）

A.4 B. C. D.2

A【解析】cosC＝2×2－1＝－,由余弦定理,得AB＝

＝＝4.

7.（2018年新课标Ⅱ理）为计算S＝1－＋－＋…＋－,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入（）

A.i＝i＋1?

B.i＝i＋2?

C.i＝i＋3?

D.i＝i＋4?

B【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S＝N－T＝＋＋…＋,则在空白处应填入“i＝i＋2?

”.

8.（2018年新课标Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是（）

A. B. C. D.

C【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C＝45种,和等于30的有（7,23）,（11,19）,（13,17）共3种,则对应的概率p＝＝.

9.（2018年新课标Ⅱ理）在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

C【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝,∴A（1,0,0）,D1（0,0,）,D（0,0,0）,B1（1,1,）,＝（－1,0,）,＝（1,1,）.设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ＝＝＝.故选C.

10.（2018年新课标Ⅱ理）若f（x）＝cosx－sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是（）

A. B. C. D.π

C【解析】f（x）＝cosx－sinx＝－（sinx－cosx）＝－sin.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ（k∈Z）,得－＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z）.取k＝0,得f（x）的一个减区间为.由f（x）在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是.

11.（2018年新课标Ⅱ理）已知f（x）是定义域为（－∞,＋∞）的奇函数,满足f（1－x）＝f（1＋x）,若f

（1）＝2,则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（）

A.－50 B.0 C.2 D.50

C【解析】∵f（x）是奇函数,且f（1－x）＝f（1＋x）,∴f（1－x）＝f（1＋x）＝－f（x－1）,f（0）＝0,则f（x＋2）＝－f（x）,则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）,即f（x）是周期为4的周期函数.∵f

（1）＝2,∴f

（2）＝f（0）＝0,f（3）＝f（1－2）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2,f（4）＝f（0）＝0,则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋0－2＋0＝0,∴则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝f

（1）＋f

（2）＝2＋0＝2.

12.（2018年新课标Ⅱ理）已知F1,F2是椭圆C:

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为（）

A.B. C. D.

D【解析】由题意知A（－a,0）,F1（－c,0）,F2（c,0）,直线AP的方程为y＝（x＋a）.由∠F1F2P＝120°,|PF2|＝|F1F2|＝2c,则P（2c,c）,代入AP的方程,整理得a＝4c,∴C的离心率e＝＝.

13.（2018年新课标Ⅱ理）曲线y＝2lnx在点（1,0）处的切线方程为________.

y＝2x－2【解析】∵y＝2lnx,∴y′＝.当x＝1时,y′＝2,∴曲线y＝2lnx在点（1,0）处的切线方程为y－0＝2（x－1）,即y＝2x－2.

14.（2018年新课标Ⅱ理）若x,y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.

9【解析】作出可行域如图.z＝x＋y可化为y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z过A（5,4）时,z取得最大值,最大值为z＝5＋4＝9.

15.（2018年新课标Ⅱ理）已知sinα＋cosβ＝1,cosα＋sinβ＝0,则sin（α＋β）＝________.

－【解析】由sinα＋cosβ＝1,两边平方,得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1,①由cosα＋sinβ＝0,两边平方,得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0,②①＋②,得2＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝1,即2＋2sin（α＋β）＝1,解得sin（α＋β）＝－.

16.（2018年新课标Ⅱ理）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.

40【解析】由题意可得sin∠AMB＝＝.S△SAB＝|SA|2sin∠AMB＝5,即|SA|2·＝5,解得SA＝4.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为×4＝2,则该圆锥的侧面积＝×4×4π＝40π.

17.（2018年新课标Ⅱ理）记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn,并求Sn的最小值.

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d.

S3＝3a1＋3d＝3×（－7）＋3d＝－15,解得d＝2.

∴an＝a1＋（n－1）d＝－7＋2（n－1）＝2n－9.

（2）Sn＝＝＝n2－8n.

∵Sn＝n2－8n＝（n－4）2－16,

∴当n＝4时,Sn有最小值为－16.

18.（2018年新课标Ⅱ理）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位:

亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①:

＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②:

＝99＋17.5t.

（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?

并说明理由.

【解析】

（1）对于模型①,当t＝19时,＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.

对于模型②,当t＝9时,＝99＋17.5×9＝256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.

（2）模型②得到的预测值更可靠.

∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,

∴利用模型②的预测值更可靠些.

19.（2018年新课标Ⅱ理）设抛物线C:

y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.

（1）求l的方程；

（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

【解析】

（1）抛物线C的焦点为F（1,0）.

当直线的斜率不存在时,|AB|＝4,不合题意.

设直线AB的方程为y＝k（x－1）,A（x1,y1）,B（x2,y2）.

联立消去y,得k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0,

∴x1＋x2＝,x1x2＝1.

由|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8,解得k＝1.

∴直线l的方程y＝x－1.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为D（3,2）,

则直线AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3）,即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为（x0,y0）,则解得或

∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16或（x－11）2＋（y＋6）2＝144.

20.（2018年新课标Ⅱ理）如图,在三棱锥P­ABC中,AB＝BC＝2,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点.

（1）求证:

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上,且二面角M­PA­C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

【解析】

（1）证明:

∵AB＝BC＝2,AC＝4,∴AB2＋BC2＝AC2,即△ABC是直角三角形.

又O为AC的中点,∴OA＝OB＝OC.

∵PA＝PB＝PC,∴△POA≌△POB≌△POC.

∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.

∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC＝0,∴PO⊥平面ABC.

（2）以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.

易知A（0,－2,0）,P（0,0,2）,C（0,2,0）,B（2,0,0）,＝（－2,2,0）.

设＝