陕西省西安市学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题及答案.docx
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陕西省西安市学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题及答案
陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）．
A．B．C．D．
2．若i为虚数单位，（）
A．B．C．D．
3．已知点在抛物线的准线上，则p=（）
A．1B．2C．4D．8
4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（）
A．B．C．D．58
5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）
A．
B．
C．
D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A．6B．8C．12D．24
7．已知函数其中，若对于一切恒成立，则的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
8．已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（）
A．B．C．D．0
9．直线与曲线相切于点,则（）
A．B．C．D．
10．设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：
甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：
子､丑､寅､卯､辰，巳､午，未､申､酉､戌､亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
天干地支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年.
A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌
12．三棱柱中，棱两两垂直，，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．8B．C．D．
二、填空题
13．已知满足约束条件，则的最大值为__________.
14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则由大到小的顺序为________.
15．已知实数，满足约束条件，则的最大值__________.
16．已知数列的前n项和为，满足，，，则数列的前16项和=__________.
三、解答题
17．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
万元）的数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求y关于t的线性回方程；
（2）利用
（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
18．如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明：
；
（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.
19．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线，的交点为T，求证：
点T横坐标为定值.
20．设函数，，为的导函数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值.
21．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为
（1）求圆心的直角坐标；
（2）若直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率.
22．已知函数，，.
（1）当时，解不等式；
（2）对任意，，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
解一元二次不等式求出集合A，两集合取交集即可.
【详解】
因为，，所以．
故选：
D
【点睛】
本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题.
2．D
【分析】
根据复数的基本运算可求出结果．
【详解】
.
故选：
D.
3．C
【分析】
由题意点在抛物线的准线上得到可得答案.
【详解】
由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，
故，则.
故选：
C.
4．A
【分析】
由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】
设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：
A.
5．B
【分析】
观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．
【详解】
观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，
发现B符合要求．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
6．B
【分析】
由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.
【详解】
由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥中，底面，，，且，，
所以该三棱锥的体积.
故选：
B.
【点睛】
本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
7．B
【分析】
先由三角函数的最值得，由其范围求得函数的解析式，进而可得单调增区间.
【详解】
因为对任意恒成立，所以，则，
又因为，所以，所以，
令，解得，所以的单调递增区间是；
故选：
B.
8．C
【分析】
由得出函数的周期，所以代入解析式可得答案.
【详解】
由满足，
所以函数的周期，且当时，，
所以.
故选：
C.
9．A
【分析】
直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.
【详解】
直线与曲线相切于点
将代入可得:
解得:
由,解得:
.
可得,
根据在上
解得:
故
故选:
A.
【点睛】
本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10．B
【分析】
利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】
由双曲线的定义得，又，
，即，
因此，即，则，
解得，（舍去），
因此，该双曲线的离心率为.
故选：
B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.
11．C
【分析】
利用列举法确定正确选项.
【详解】
列表如下：
天干
地支
天干地支纪年
甲
子
甲子年
乙
丑
乙丑年
丙
寅
丙寅年
丁
卯
丁卯年
戊
辰
戊辰年
己
巳
己巳年
庚
午
庚午年
辛
未
辛未年
壬
申
壬申年
癸
酉
癸酉年
甲
戌
甲戌年
乙
亥
乙亥年
丙
子
丙子年
丁
丑
丁丑年
戊
寅
戊寅年
己
卯
己卯年
庚
辰
庚辰年
辛
巳
辛巳年
壬
午
壬午年
甲
未
甲未年
乙
申
乙申年
丙
酉
丙酉年
丁
戌
丁戌年
戊
亥
戊亥年
2049年是己巳年，往后数9年，得2058年是戊寅年.
故选：
C
12．C
【分析】
三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．
【详解】
底面是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：
，
所以球O的表面积为，
故选：
C．.
13．4
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.
令，作直线，向下平移，
易知当直线经过点时z最大，所以.
故答案为：
4.
14．
【分析】
根据平均数，中位数，众数的定义求出后可判断．
【详解】
平均效，
中位数，众数，则.
故答案为：
.
15．
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出的最大值即得解.
【详解】
由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，
设，它表示斜率为，纵截距为的直线系，
要求的最大值即求的最大值.
当直线经过点时，直线的纵截距最大，最大.
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
9
【点睛】
方法点睛：
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量；
（2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系为参数）；
（6）观察图形，找到直线为参数）在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
16．84
【分析】
由已知可得，即，又，可知数列是等差数列，由等差数列求和公式可求解.
【详解】
将变形为，即，
又，，符合上式，
是首项，公差的等差数列
.
故答案为：
84
【点睛】
方法点睛：
本题考查数列的递推关系及等差数列的求和公式，利用数列递推关系求数列通项公式常用的方法：
（1）由与的关系求通项公式；
（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的转化与化归思想及运算能力，属于基础题.
17．
（1）；
（2）预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元.
【分析】
（1）根据题中条件，求出，，利用最小二乘法求出和，即可得出回归直线方程；
（2）根据
（1）的结果，可直接得出2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况；再令代入回归直线，即可得出预测值.
【详解】
（1）由所给数据计算得，
.
，
.
，
，
所求回归方程为；
（2）由
（1）知，，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元.
将2021年的年份代号代入
（1）中的回归方程得.
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元.
【点睛】
思路点睛：
利用最小二乘法求回归直线方程时，一般先根据题中条件，计算两变量的均值，再根据最小二乘法对应的公式，求出和，即可得解.
18．
（1）证明见解析；
（2）M点在上靠近P点的四等分点处.
【分析】
（1）连接，由，可证明，，从而得平面，得证线线垂直；
（2）设设，则，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由，，可得值．
【详解】
（1）连接且E是的中点，.
又平面平面，平面平面平面.
平面平面.
又为菱形，且分别为棱的中点，.
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