全国中考数学压轴题分类解析汇编专题04三角形四边形存在性问题Word文档格式.docx

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随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

3.（2012陕西省10分）如果一条抛物线

与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线

的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线

的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？

若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；

若不存在，说明理由．

4.（2012重庆市12分）已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将

（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

。

5.（2012甘肃白银12分）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°

，∠BOA=30°

，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求点C的坐标；

经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：

是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？

若存在，请求出此时点P的坐标；

6.（2012广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒

个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；

（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？

若存在，请求出最大值；

（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

7.（2012贵州贵阳12分）如图，二次函数y=

x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；

（2）在

（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；

（3）是否存在抛物线y=

x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？

若存在，请求出此抛物线的函数关系式；

8.（2012贵州六盘水16分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：

s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）设△AQP面积为S（单位：

cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？

若存在，求出此时t的值；

（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？

若存在，求出此时菱形的面积；

9.（2012湖南常德10分）如图，已知二次函数

的图像过点A（－4，3），B（4，4）.

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：

△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由。

10.（2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？

若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；

11.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：

点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：

△ABE∽△ECM；

（2）探究：

在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？

若能，求出BE的长；

若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

12.（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+

x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。

已知AM=BC。

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：

在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

①若直线l⊥BD，如图1所示，试求

的值；

②若l为满足条件的任意直线。

如图2所示，①中的结论还成立吗？

若成立，证明你的猜想；

若不成立，请举出反例。

13.（2012四川凉山12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？

此时PE等于多少？

（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；

14.（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°

至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；

15.（2012山东烟台12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

16.（2012山东日照10分）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为

（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.

（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？

如果存在，求出满足条件的a；

如果不存在，请说明理由.

17.（2012山东东营11分）已知抛物线

经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；

（2）如图，在直线

上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？

若存在，求出点D的坐

标；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？

如果存在，试举例验证你的猜想；

如果不存在，试说明理由．

18.（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠

在两坐标轴上，点C为（－1，0）．如图所示，B点在抛物线y＝

x2＋

x－2图象上，过点B作

BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．

△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所

有点P的坐标；

19.（2012浙江丽水12分）在△ABC中，∠ABC＝45°

，tan∠ACB＝

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝

，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；

（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？

若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；

20.（2012浙江金华12分）在△ABC中，∠ABC＝45°

，AC与y轴交于点E．21世纪教育网

21.（2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；

22.（2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足

为D。

∠EAC＝∠CAB；

（2）若CD＝4，AD＝8：

①求O的半径；

②求tan∠BAE的值。

23.（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线

与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：

|OA|=5：

1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？

若存在，求出P点坐标；