整理正弦定理例题文档格式.docx
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，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，
sinA＋sinB＋sinC
c＝________.
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则＝________。
sinA－2sinB＋sinC
1
15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
16．在△ABC中，b＝43,C＝30°
，c＝2,则此三角形有________组解．
17．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为3，求边b的长．
正弦定理
1．在△ABC中，∠A＝45°
a＝2,则b等于（）
abasinB
解析：
选A。
应用正弦定理得：
b＝6.
sinAsinBsinA
，C＝75°
asinB
选C.A＝45°
，由正弦定理得b＝46.
sinA
3．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°
，a＝43，b＝42，则角B为（）
abbsinA2
选C.由正弦定理＝sinB＝,又∵a>
b，∴B sinAsinBa2
4．在△ABC中,a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（）
A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定
选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C所对的边，若A＝105°
，B＝45°
b2,则c＝（）
A．1B.C．224
bc2×
sin30°
C＝180°
－105°
－45°
＝30°
，由c＝1。
sinBsinCsin45°
cosAb
6．在△ABC中,若，则△ABC是（）
bsinBcosAsinB
选D.∵＝，∴＝
asinAcosBsinA
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝2
7．已知△ABC中,AB3,AC＝1，∠B＝30°
33B。
243333D。
242
ABAC3
解析:
选D。
，求出sinC＝,∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解,即∠C＝60°
或120°
，∴∠A＝90°
或30°
.
1
再由S△ABC＝AB·
ACsinA可求面积．
2
则a等于（）
6B．23D。
62
选D.由正弦定理得，
sin120°
sinC
∴sinC2
又∵C为锐角,则C＝30°
，∴A＝30°
，△ABC为等腰三角形,a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1,c＝3，C＝则A＝________.
ac
＝
sinAsinC
a·
sinC1
所以sinA＝。
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜CA＝36
π答案：
6
43
10．在△ABC中,已知a＝，b＝4,A＝30°
，则sinB＝________.
3ab
由正弦定理得＝
sinAsinB12bsinA3
？
sinB＝＝a432
答案:
11．在△ABC中，已知∠A＝30°
，b＝12，则a＋c＝________.
－120°
－30°
，∴a＝c，
ab12×
sin30°
由＝得，a＝＝，sinAsinBsin120°
∴a＋c＝83.答案：
812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
由正弦定理，得a＝2R·
sinA,b＝2R·
sinB，代入式子a＝2bcosC,得2RsinA＝2·
2R·
sinB·
cosC，所以sinA＝2sinB·
cosC,即sinB·
cosC＋cosB·
sinC＝2sinB·
cosC,化简，整理，得sin（B－C）＝0.∵0°
＜B＜180°
，0°
＜C＜180°
，∴－180°
＜B－C＜180°
，∴B－C＝0°
，B＝C.答案：
等腰三角形
13．在△ABC中，A＝60°
c＝________。
a＋b＋ca311
由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA,∴
22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°
×
12×
sin60°
c＝183，
∴c＝6.
答案：
126
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1，则＝________.
由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°
，∠C＝90°
，
a1
∴2R＝＝2，
sinAsin30°
又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB,c＝2RsinC，
a－2b＋c2R？
sinA－2sinB＋sinC？
∴＝＝2R＝2。
sinA－2sinB＋sinCsinA－2sinB＋sinC答案：
15．在△ABC中，已知a＝2,cosC＝,S△ABC＝43,则b＝________。
221
依题意,sinC＝S△ABC＝absinC＝43，
解得b＝23。
答案：
23
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°
∵bsinC＝＝23且c＝2，
∴c 17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°
的方向航行,为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°
，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°
则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少？
解：
在△ABC中,BC＝＝20,
∠ABC＝140°
－110°
，∠ACB＝（180°
－140°
）＋65°
＝105°
，所以∠A＝180°
－（30°
＋105°
）＝45°
，由正弦定理得
BC·
sin∠ABCAC＝
20sin30°
＝2（km）．sin45°
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102km.
CC1
18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，cos，sinBsinC
224
A
＝cosA、B及b、c.
CC11
由sinsinC＝
2242
π5π
又C∈（0，π），所以CC＝66A
由sinBsinC＝cos
21
sinBsinC－cos（B＋C）]，
即2sinBsinC＝1－cos（B＋C），
即2sinBsinC＋cos（B＋C）＝1,变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1,
即cos（B－C）＝1，所以B＝C＝B＝C＝（舍去）,
66
2π
A＝π－（B＋C）＝3abc
由正弦定理，得
sinAsinBsinC
12sinB
b＝c＝a22。
sinA3
2ππ
故A＝，B＝b＝c＝2.
36
19．（2009年高考四川卷）在△ABC中，A、B为锐角,角A
、B、C所对应的边分别为a、b、
310
c，且cos2A＝，sinB。
（1）求A＋B的值；
（2）若a－b＝2－1,求a，b，c的值．
510
10
（1）∵A、B为锐角,sinB＝，
3∴cosB＝1－sinB＝103525
又cos2A＝1－2sin2AsinA＝cosA＝
555
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB253105102＝－.
5105102
又0＜A＋B＜π,∴A＋B＝4
3π
（2）由
（1）知，C＝sinC＝.
42abc
由正弦定理：
得
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c5b.
∵a－b＝2－12b－b＝2－1，∴b＝1。
∴a2，c＝5.
20．△ABC中,ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为3，求边b的长．
由S＝sinC得，3＝×
603×
sinC,
∴sinC＝C＝30°
或150°
又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.当∠C＝30°
时，∠B＝30°
∠A＝120°
。
ab
又∵ab＝603，＝b＝15.
sinAsinB
当∠C＝150°
时，∠B＝150°
（舍去）．
篇二：
正弦定理习题及答案
正弦定理习题及答案
一、选择题（每小题5分，共20分）
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB＝2，sinA＝,2
则b的值为（）
A．2
C．6
由正弦定理得b＝B．4D．8asinB24。
sinA12
B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是（）
A．等边三角形
C．直角三角形
∵sin2A＝sin2B＋sin2C.
∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2
∴△ABC是直角三角形．
C
3．在△ABC中，若A＝60°
，b＝6,则a等于（）A。
C.6B．3D．36B．等腰三角形D．锐角三角形
∵B＝180°
－（60°
＋75°
36×
2bsinA∴a＝＝36.sinB2
D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b＝10,A＝45°
B＝70°
C．a＝7，b＝5，A＝80°
B．a＝60，c＝48,B＝100°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
D中，bsinA＝2，a＝14，所以bsinA D.
二、填空题（每小题5分，共10分）
5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．
解析：
∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°
∴A＝90°
，B＝60°
，C＝30°
设abc＝＝k，sinAsinBsinC
3k，c＝ksinC＝22则a＝ksinA＝k,b＝ksinB＝
∴a∶b∶c＝2∶3∶1。
23∶1
6．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a，b,c，已知a＝15，b＝2，A＝60°
，则tanB＝________.
bsinA231解析：
由正弦定理得sinB＝×
，a1525
根据题意,得b 故B cosB＝1－sinB＝
sinB1故tanB＝＝cosB21答案：
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．
（1）在△ABC中，已知A＝30°
，a＝6，b＝3，求B。
（2）在△ABC中，已知A＝60°
，a＝6，b＝2，求B.
623解析：
（1）在△ABC中，由正弦定理可得＝sin30°
sinB
解得sinB＝222.5
∵b〉a，∴B〉A.
∴B＝45°
62
（2）在△ABC中，由正弦定理可得＝sin60°
解得sinB＝22
∵b ∴B＝45°
a28．在△ABC中,若sinB＝＝B为锐角，试判断△ABC的形状．c2
∵sinB＝
2，且B为锐角，22
∴B＝45°
a2∵＝.c2
sinA∴由正弦定理得，sinC2
又∵A＋C＝135°
∴sin（135°
－C）整理得cosC＝0。
∴C＝90°
A＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形．尖子生题库☆☆☆
9．（10分）△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a,b，c，且acosA＝bcosa＋bB的取值范围．c
∵acosA＝bcosB,
∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A，2B∈（0，2π），
∴2A＝2B或2A＋2B＝π,
π∴A＝B或A＋B＝.2
如果A＝B，则a＝b不符合题意，
π∴A＋B＝2
a＋bsinA＋sinB∴sinA＋sinB＝sinA＋cosAcsinC
π2sin（A＋，4
π∵a≠b,C＝2
ππ0，且A∴A∈?
？
24
a＋b∴（12）．c
2sinC，2
篇三：
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理
教学重点：
正弦定理
教学难点:
正弦定理的正确理解和熟练运用，边角转化。
多解问题
1。
正弦定理:
在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即
abc
==siAnsinBsinC
2.三角形面积公式
在任意斜△ABC当中S△ABC=absinC？
acsinB?
bcsinA3。
正弦定理的推论：
===2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC
12
4.正弦定理解三角形
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
3）已知a,b和A，用正弦定理求B时的各种情况：
（多解情况）
1若A为锐角时：
○
无解?
a？
bsinA？
一解（直角）？
bsinA
?
bsinA？
a?
b二解（一锐，一钝）？
b一解（锐角）?
已知边a,b和?
A
a 无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA ?
b无解
2若A为直角或钝角时：
○
b一解（锐角）
1、已知中，，,则角等于（D）
A．B．C．D．
2、ΔABC的内角
A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，
b
=sinB,则a等于（D）
A．3B．C．D．
在？
ABC中，若sin2A？
sin2B，则？
ABC一定是（）
3.在Rt△ABC中，C=
，则sinAsinB的最大值是_______________.
［解析］∵在Rt△ABC中,C=
，∴sinAsinB？
sinAsin（
A）？
sinAcosA
1？
?
1sin2A，∵0？
A？
∴0?
2A？
，∴A？
时，sin
AsinB取得最大值。
2242
13,cosB？
，则角C的大小是__________210
4.
若？
ABC中，tanA?
解析
tanA?
cosB？
O？
B?
，？
sinB?
tanB?
23？
tanC?
tan（?
A?
B）?
tan（A?
tanA?
tanB3?
1,？
O?
C?
C？
tanAtanB?
14
7。
在△ABC中，已知2a？
b?
c，sinA?
sinBsinC，试判断△ABC的形状。
解：
由正弦定理
abcab
2R得：
sinA？
，sinB?
，sinAsinBsinC2R2R
sinC？
c.2R
2R
2R2R
2a2bc2
）？
所以由sinA?
sinBsinC可得：
（,即：
bc.
又已知2a?
b？
c，所以4a2？
（b?
c）2，所以4bc?
c）2，即（b？
c）2？
0，因而b?
c。
故由2a？
c得:
2a？
2b,a？
b.所以a?
c，△ABC为等边三角形。
６．在?
ABC中,
sinBsinA
是A?
B成立的（C）ab
Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°
则a等于
A。
答案D
3.下列判断中正确的是
（）
B.2
C.3D。
△ABC中，a=7,b=14,A=30°
，有两解B.△ABC中，a=30，b=25，A=150°
有一解C.△ABC中，a=6，b=9，A=45°
，有两解D.△ABC中，b=9，c=10，B=60°
，无解答案B
4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC一定是
A.等腰直角三角形B。
等腰三角形C.直角三角形D。
等边三角形答案B
10.在△ABC中,已知a=3，b=,B=45°
，求A、C和c。
解∵B=45°
＜90°
且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解。
由正弦定理得sinA=
asinB3sin45？
==，b22
则A为60°
①当A=60°
时，C=180°
-（A+B）=75°
c=
bsinC2sin75？
==sinBsin45？
2sin（45?
30?
）？
=.
sin45?
②当A=120°
—（A+B）=15°
，c=
bsinC2sin15？
==sinBsin45?
2sin（45？
30？
=。
故在△ABC中，A=60°
C=75°
c=
6?
2?
或A=120°
，C=15°
c=。
22
12.在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a—b）sin（A+B）,判断三角形的形状。
解方法一已知等式可化为a［sin（A-B）—sin（A+B）］=b［—sin（A+B）—sin（A—B）］∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：
sinAcosAsinB=sinBcosBsinA
∴sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0∴sin2A=sin2B，由0＜2A,2B＜2?
得2A=2B或2A=？
-2B,即A=B或A=
—B，∴△ABC为等腰或直角三角形。
2
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