七年级数学上册数轴类动点问题相遇与追击问题专题培优练习Word下载.docx

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（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；

点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　　．（用含t的式子表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？

（4）若A、B按上述方式运动，A、B两点经过多少秒，线段AB的中点M与原点重合？

6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：

例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为

．如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别为﹣8，2，20．

（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒　　个单位长度、点C每秒　　个单位长度；

（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？

（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；

1．t为何值时PC＝12；

2．t为何值时PC＝4．

7．阅读下面材料：

数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．反之，可以理解式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离．

根据上述材料，利用数轴解决下列问题：

（Ⅰ）若|x﹣3|＝2，则x的值为　　；

若|x﹣5|＝|x+1|，则x的值为　　；

（Ⅱ）当x在什么范围时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值？

并求出它的最小值；

（III）若a＜2＜b，在数轴上是否存在数x，使得|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小？

若存在，请求出最小值及x的值；

若不存在，请说明理由．

8．阅读下面的材料：

我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a﹣2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5﹣2|＝3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．

请根据上面的材料解答下列问题：

（1）请用上面的方法计算数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离；

（2）填空：

|a﹣1|表示与理数a对应的点与有理数　　对应的点的距离；

如果|a﹣1|＝3，那么有理数a的值是　　；

（3）填空：

如果|a﹣1|+|a﹣6|＝7，那么有理数a的值是　　．

（4）是否存在有理数a，使等式|a﹣1|+|a﹣6|的结果等于4？

如果存在，请直接写出a的值；

如果不存在，请说明原因．

9．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣5）2＝0，O为原点．若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）

（1）求a，b的值；

（2）当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：

①

的值为定值；

②

的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值；

（3）当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．

10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为

【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．

（1）点B表示的数是　　．

（2）若BC：

AC＝4：

7，求点C到原点的距离．

（3）如图2，在

（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；

（4）如图3，在

（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？

若不变，请求出相应的数值；

若变化，请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）由非负数的性质可得：

，

∴a＝﹣7，c＝1，

故答案为：

﹣7，1．

（2）设经过t秒两点的距离为

由题意得：

解得

或

答：

经过

秒或

秒P，Q两点的距离为

（3）点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇，

3x＝x+4，

∴x＝2，

表示的数为：

﹣7+3×

2＝﹣1，

点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇，

3y+y+4＝2[1﹣（﹣7）]，

∴y＝3，

表示的数是：

﹣3+3＝0，

当点P返回到点A时，用时

秒，此时点Q所在位置表示的数是

设再经过z秒相遇，

∴

∵

+

＝

＜4+4，

∴此时点P、Q均未停止运动，

故z＝

还是符合题意．

此时表示的数是：

在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是﹣1，0，﹣2．

2．解：

（1）A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18，线段AB的中点C所表示的数[8+（﹣10）]÷

2＝﹣1；

（2）点P所在的位置的点表示的数为﹣10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8﹣3t（用含t的代数式表示）；

（3）依题意有

5t+3t＝18，

解得t＝

故P、Q两点经过

秒会相遇．

18，﹣1；

﹣10+5t，8﹣3t．

3．解：

（1）|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5，

|a﹣（﹣2）|＝3，即a+2＝3或﹣a﹣2＝3，

∴a＝1或a＝﹣5．

3；

5；

1或﹣5．

（2）①设点C表示的数为x，则CA＝|x﹣（﹣1）|，CB＝|x﹣3|．

当x＜﹣1时，﹣x﹣1＝3×

（3﹣x），

解得：

x＝5（不合题意，舍去）；

当﹣1≤x≤3时，x+1＝3×

x＝2；

当x＞3时，x+1＝3×

（x﹣3），

x

＝5．

点C表示的数为2或5．

②设点C表示的数为m（m＜﹣1），则CA＝|m﹣（﹣1）|＝﹣1﹣m，CB＝|m﹣3|＝3﹣m，AB＝|﹣1﹣3|＝4．

当点C是（A，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×

（3﹣m），

m＝5（不合题意，舍去）；

当点C是（B，A）的三倍点时，3﹣m＝3×

（﹣1﹣m），

m＝﹣3；

当点A是（B，C）的三倍点时，4＝3×

m＝﹣

当点A是（C，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×

4，

m＝﹣13；

当点B是（A，C）的三倍点时，4＝3×

m＝

（不合题意，舍去）；

当点B是（C，A）的三倍点时，3﹣m＝3×

m＝﹣9．

综上所述：

当点C表示的数为﹣13或﹣9或﹣3或﹣

时，A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点．

4．解：

（1）∵b＝﹣6，|a﹣b|＝15，

∴|a+6|＝15，

∴a+6＝15或﹣15，

解得a＝9或﹣21．

9或﹣21；

（2）∵OA＝2OB，

∴|a|＝|2b|，

∵点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，

∴b＝﹣

a，

∵|a﹣b|＝15，

∴|a+

a|＝15，

解得a＝±

10；

（3）满足条件的C两种情况：

①如图，

设BC＝x，则OC＝OA＝2x，

则有x+2x+2x＝15，

x＝3，

则c的值为﹣6；

②如图，

设BC＝x，则OB＝3x，OA＝OC＝4x，

则有3x+4x＝15，

解得x＝

则c的值为﹣

综上所得：

c的值为﹣6或﹣

5．解：

（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18；

线段AB的中点M所表示数为

故答案是：

18；

﹣1

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；

点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t．

﹣10+3t；

8﹣2t

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相距4个单位长度．

根据题意得3x+2x＝18﹣4，

解得x＝2.8；

3x+2x＝18+4，

解得x＝4.4．

A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．

（4）由题意得

解得t＝2．

经过2秒A、B两点的中点M会与原点重合．

6．解：

（1）由题意知，

＝2.5（单位/秒）．

＝4.5（单位/秒）．

2.5；

4.5；

（2）设运动时间为t秒，此时点A表示的数是﹣8+t，点C表示的数是20﹣3t．

所以AB＝|﹣10+t|，BC＝|18﹣3t|．

那么|﹣10+t|＝|18﹣3t|．

t＝4或7．

（3）1．当0＜t≤6时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是2+3t，AB的中点P表示的数是﹣3+2t，

PC＝|﹣3+2t﹣20|＝12，

2．当6＜t≤28时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是20，AB的中点P表示的数是|6+

|，

PC＝|6+

﹣20|＝4，

解得t＝20．

7．解：

（Ⅰ）∵|x﹣3|＝2，

∴x﹣3＝±

2，

∴x＝5或1，

∵|x﹣5|＝|x+1|，

5或1；

2．

（Ⅱ）当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3，

当x＞5时，

x﹣2+x﹣5＝2x﹣7＞3，

当2≤x≤5时，

x﹣2+5﹣x＝3，

当x＜2时，

2﹣x+5﹣x＝7﹣2x＞3，

故当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3；

（Ⅲ）∵|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|表示数x分别与a、2、b的距离之和，

∴x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，

∵a＜2＜b，

∴|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的最小值是2﹣a+b﹣2＝b﹣a．

故x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，最小值是b﹣a．

8．解：

（1）数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离为|﹣9﹣3|＝12；

（2）|a﹣1|表示与理数a对应的点与有理数1对应的点的距离；

∵|a﹣1|＝3，

∴a﹣1＝±

3，

解得a＝4或﹣2．

1，4或﹣2；

（3）当a＜1时，

依题意有﹣a+1﹣a+6＝7，

解得a＝0；

当1≤a≤6时，

依题意有a﹣1﹣a+6＝7，

方程无解；

当a＞6时，

依题意有a﹣1+a﹣6＝7，

解得a＝7．

0或7；

（4）不存在，因为此等式表示数轴上有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数a．

9．解：

（1）由题意可知：

a+2＝0，b﹣5＝0，

∴a＝﹣2，b＝5，

（2）设点P对应的数为p，

∴点F的对应的数为

，点E对应的数为

∵AB＝5﹣（﹣2）＝7，OP＝p，EF＝

﹣

∴AB﹣OP＝7﹣p，AB+OP＝7+p，

＝2，

故只有①正确．

（3）相遇前PQ＝1，t+2（t﹣2）＝7﹣1，

相遇后PQ＝1，

t＝4或6；

点Q从点B返回到O，PQ＝1，

|21﹣3t|＝1．

（舍去）．t＝

综上所述，当PQ＝1时，t的值是

或4或6或

10．解：

（1）40﹣60＝﹣20．

故点B表示的数是﹣20．

（2）如图1，∵AB＝60，BC：

7，

BC＝80，

∵AB＝60，点A对应的数是40，

∴B点对应的数字为：

﹣20，

∴点C到原点的距离为：

80﹣（﹣20）＝100；

（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则

R对应的数为40﹣5x，

P对应的数为﹣100+15x，

Q对应的数为10x+15，

PQ＝5x﹣115或115﹣5x

QR＝15x﹣25

∵PQ＝QR

∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25

x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7

∴动点Q的速度是2×

7﹣5＝9个单位长度/秒，

（4）如图3，设运动时间为t秒

P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，

PT＝100+4t，

M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，

MN＝70+4t

∴PT﹣MN＝30，

∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．