江苏省南通市如东高级中学学年高二下学期期.docx

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江苏省南通市如东高级中学学年高二下学期期

2016-2017学年江苏省南通市如东高级中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题：

（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．若复数z满足z•i=2+i（i为虚数单位），则z=　　．

2．已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：

4：

5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是　　．

3．阅读下列伪代码，当a，b的输入值分别为2，3时，则输出的实数m的值是　　．

4．如图是4为评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么4为评委打出的分数的方差是　　．

5．袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1，2，3，4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为　　．

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值是　　．

7．若复数是纯虚数（i是虚数单位），则复数z=a+（a﹣3）i在复平面内对应的点位于第　　象限．

8．直线y=kx与曲线y=2ex相切，则实数k=　　．

9．函数y=f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f′（x）≤0的解集是　　．

10．若函数f（x）=x3﹣3x+2在区间（a，﹣a2+2a+4）上有极小值，则实数a的取值范围是　　．

11．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：

22=1+3，32=1+3+5，42=1+3+5+7；23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19．

根据上述分解规律52=1+3+5+7+9，则53的分解中最大的数是　　．

12．已知平面区域，则区域M上随机取一点A，则点A落在区域N内的概率为　　．

13．已知函数h（x）=x3﹣x+6lnx图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m，则实数m的范围为　　．

14．已知函数f（x）=（x2﹣3）ex，设关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0有3个不同的实数根，则a的取值范围为　　．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15．已知复数z1=i，z2=m+（m﹣1）i（i是虚数单位，a，m∈R）

（1）若z1是实数，求a的值；

（2）在

（1）的条件下，若|z1|＜|z2|，求实数m的取值范围．

16．20名学生某次数学考试成绩（单位：

分）的频率分布直方图如图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）分别求出成绩落在上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

18．如图，某公园中间有一块等腰梯形的绿化区ABCD，AB，CD的长度相等，均为2百米，BC的长度为4百米，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在绿化区ABCD中修建从M到C的观赏小路；其中P为上异于M，N的一点，小路PQ与BC平行，设∠PBC=θ．

（1）用θ表示PQ的长度，并写出θ的范围；

（2）当θ取何值时，才能使得修建的观赏小路的总长度最短？

并说明理由．

19．已知函数f（x）=2x3﹣3ax2，a∈R．

（1）若a=2，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）对任意的x1∈，总存在x2∈，使得f（x1）≥f'（x2）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）成立，求实数a的取值范围．

20．已知函数f（x）=ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．

（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若b=0时，不等式f（x）≤0在∪和∪∪　．

【考点】62：

导数的几何意义．

【分析】求出原函数的导函数，由导数的几何意义结合已知得到3x2﹣1+≥m，然后利用基本不等式求最值，从而得到m的范围．

【解答】解：

由h（x）=x3﹣x+6lnx，得h′（x）=3x2﹣1+（x＞0），

∵h（x）=x3﹣x+6lnx图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m，

由导数的几何意义得3x2﹣1+≥m，

∵3x2++≥3=9，当且仅当x=1时取等号，

∴m≤9﹣1=8，

∴实数m的取值范围是（﹣∞，8]．

故答案为：

（﹣∞，8]．

14．已知函数f（x）=（x2﹣3）ex，设关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0有3个不同的实数根，则a的取值范围为　a＞或a=﹣2e　．

【考点】54：

根的存在性及根的个数判断．

【分析】判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，作出f（x）的图象，根据f（x）=0的根的个数判断f（x）=a的根的个数，从而得出a的范围．

【解答】解：

f′（x）=2x•ex+（x2﹣3）ex=ex（x2+2x﹣3），

令f′（x）=0得x=1或x=﹣3，

∴当x＜﹣3或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴当x=﹣3时，f（x）取得极大值，当x=1时，f（x）取得极小值﹣2e，

作出f（x）的函数图形如图所示：

由f2（x）﹣af（x）=0得f（x）=0或f（x）=a，

由图象可知f（x）=0有两解，∴f（x）=a只有一解，

∴a＞或a=﹣2e．

故答案为：

a＞或a=﹣2e．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15．已知复数z1=i，z2=m+（m﹣1）i（i是虚数单位，a，m∈R）

（1）若z1是实数，求a的值；

（2）在

（1）的条件下，若|z1|＜|z2|，求实数m的取值范围．

【考点】A5：

复数代数形式的乘除运算．

【分析】

（1）由已知条件可得求解得a的值；

（2）由

（1）可得z1=1，再求出|z2|，结合已知条件可得，求解可得答案．

【解答】解：

（1）∵复数z1是实数，∴，解得a=﹣1；

（2）由

（1）可得z1=1，

∵，

又|z1|＜|z2|，∴，解得m＜0或m＞1．

16．20名学生某次数学考试成绩（单位：

分）的频率分布直方图如图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）分别求出成绩落在上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

【考点】6D：

利用导数研究函数的极值；6B：

利用导数研究函数的单调性．

【分析】

（1）求出函数的导数，根据f′

（1）=0，求出a的值，检验即可；

（2）问题转化为（x﹣1）ex+a≥0在区间上恒成立，记g（x）=（x﹣1）ex+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【解答】解：

（1）f′（x）=，

∵f（x）在x=1时取极值，故f′

（1）=0，解得：

a=0，

a=0时，f′（x）=，

f（x）在x=1时取极值，

故a=0；

（2）∵函数f（x）在区间上是单调递增函数，

∴f′（x）≥0在区间上恒成立，

即（x﹣1）ex+a≥0在区间上恒成立，

记g（x）=（x﹣1）ex+a，则g（x）min≥0，

g′（x）=xex，∵x∈，∴g′（x）＞0，

故g（x）在递增，

故g（x）min=g

（2）=e2+a≥0，

解得：

a≥﹣e2，

故实数a的范围是：

a≥﹣e2．

18．如图，某公园中间有一块等腰梯形的绿化区ABCD，AB，CD的长度相等，均为2百米，BC的长度为4百米，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在绿化区ABCD中修建从M到C的观赏小路；其中P为上异于M，N的一点，小路PQ与BC平行，设∠PBC=θ．

（1）用θ表示PQ的长度，并写出θ的范围；

（2）当θ取何值时，才能使得修建的观赏小路的总长度最短？

并说明理由．

【考点】HW：

三角函数的最值．

【分析】

（1）过P作PP1⊥BC于P1，过Q作QQ1⊥BC于Q1，先计算BN，PP1，再得出CQ1即可得出PQ的长；

（2）求出观赏小路长度关于θ的函数f（θ），利用导数求出f（θ）的单调性，总而得出观赏小路最小时对应的θ值．

【解答】解：

（1）过P作PP1⊥BC于P1，过Q作QQ1⊥BC于Q1，

∵∠PBC=θ，BP=1，

∴QQ1=PP1=sinθ，BP1=cosθ，

在Rt△QCQ1中，tan∠QCQ1==，∴CQ1=sinθ，

∴PQ=P1Q1=4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），

（2）在Rt△QCQ1中，sin∠QCQ1==，∴CQ=sinθ，

∵∠PBC=θ，∠ABC=，BP=1，

∴=﹣θ，

设观赏小路的总长度为f（θ），则f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ+sinθ=﹣θ+4﹣cosθ+sinθ（0＜θ＜），

∴f′（θ）=sinθ+cosθ﹣1=sin（）﹣1，

令f′（θ）=0得sin（）=，解得θ=，

当0＜θ＜时，f′（θ）＜0，当＜θ＜时，f′（θ）＞0，

∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，

∴当θ=时，f（θ）取得最小值，

∴当θ=时，观赏小路的总长度最短．

19．已知函数f（x）=2x3﹣3ax2，a∈R．

（1）若a=2，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）对任意的x1∈，总存在x2∈，使得f（x1）≥f'（x2）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）成立，求实数a的取值范围．

【考点】6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】

（1）求出函数的导数，计算f′

（1），f

（1）的值，求出切线方程即可；

（2）问题转化为f（x1）min≥f′（x2）min，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值以及f′（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

【解答】解：

（1）a=2时，f（x）=2x3﹣6x2，

f′（x）=6x2﹣12x，f′

（1）=﹣6，f

（1）=﹣4，

故f（x）在x=1处的切线方程为：

y=﹣6x+2；

（2）对任意的x1∈，总存在x2∈，使得f（x1）≥f'（x2）成立，

得f（x1）min≥f′（x2）min，f′（x）=6x（x﹣a），

①a≤0时，f（x）在递增，故f（x）在的最小值是0，

f′（x）在的最小值是0，f（x1）min≥f′（x2）min成立；

②0＜a＜2时，f（x）在递减，在递增，

故f（x）在的最小值是f（a）=﹣a3，f′（x）在的最小值是f′（）=﹣a2，

由f（x1）min≥f′（x2）min得：

﹣a3≥﹣a2，得0＜a≤；

③a≥2时，f（x）在递减，故f（x）在的最小值是f

（2）=16﹣12a，

f′（x）在的最小值是f′

（1）=6﹣6a，

由f（x1）min≥f′（x2）min得：

16﹣12a≥6﹣6a，无解，

综上，a的范围是（﹣∞，]．

20．已知函数f（x）=ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．

（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若b=0时，不等式f（x）≤0在递减，

故f（x1）﹣f（x2）＞f（）﹣f

（2）=﹣﹣3ln2，

∵b＞，∴f（x1）﹣f（x2）＞•﹣﹣3ln2=﹣3ln2．

三、解答题（共4小题，满分40分）

21．求经过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程．

【考点】Q4：

简单曲线的极坐标方程．

【分析】先求出点到极轴的距离，从而得到直线过点（3，），再由直线平行于极轴，能求出直线的极坐标方程．

【解答】解：

点到极轴的距离为=3，

∴直线过点（3，），

又∵直线平行于极轴，

∴直线的极坐标方程为ρsinθ=3．

22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数），且直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长．

【考点】QH：

参数方程化成普通方程．

【分析】直线l的参数方程消去参数t得直线l的直角坐标方程为y=，曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，先求出圆心（）到直线l的