高考数学总复习教案39三角函数的综合应用 高考Word下载.docx

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5.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°

，则边BC上的高为________．

由余弦定理，得7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，解得c＝3，所以边BC上的高h＝3sin60°

＝.

1.同角三角函数的基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.

2.两角和与差的正弦余弦和正切公式：

sin（α±

β）＝sinαcosβ±

cosαsinβ，cos（α±

β）＝cosαcosβsinαsinβ，tan（α±

β）＝.

3.二倍角公式：

sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.

4.三角函数的图象和性质

5.正弦定理和余弦定理：

（1）正弦定理：

＝＝＝2R（R为三角形外接圆的半径）．

（2）余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝.

题型1　三角恒等变换

例1　已知sin＝，A∈.

（1）求cosA的值；

（2）求函数f（x）＝cos2x＋sinAsinx的值域．

解：

（1）因为<

A<

，且sin＝，所以<

A＋<

，cos＝－.

所以cosA＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－·

＋·

（2）由

（1）可得sinA＝.

所以f（x）＝cos2x＋sinAsinx

＝1－2sin2x＋2sinx＝－2＋，x∈R.因为sinx∈[－1，1]，所以，当sinx＝时，f（x）取最大值；

当sinx＝－1时，f（x）取最小值－3.

所以函数f（x）的值域为.

（2013·

上海卷）若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin（x＋y）＝________．

由题意得cos（x－y）＝，sin2x＋sin2y＝sin[（x＋y）＋（x－y）]＋sin[（x＋y）－（x－y）]＝2sin（x＋y）cos（x－y）＝sin（x＋y）＝.

题型2　三角函数的图象与性质

例2　已知函数f（x）＝Asin，x∈R，A>

0，0<

φ<

，y＝f（x）的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．

（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；

（2）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ＝，求A的值．

（1）由题意得T＝＝6.

因为P（1，A）在y＝Asin的图象上，

所以sin＝1.

因为0<

，所以φ＝.

（2）设点Q的坐标为（x0，－A）．

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，

所以Q（4，－A）．

连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得

cos∠PRQ＝＝＝

－，解得A2＝3.又A>

0，所以A＝.

已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>

0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）若sinα＋f（α）＝，求的值．

（1）∵f（x）为偶函数，∴sin（－ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ），即2sinωxcosφ＝0恒成立，∴cosφ＝0，又∵0≤φ≤π，∴φ＝.又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴T＝2π，

∴ω＝1，∴f（x）＝cosx.

（2）∵原式＝＝2sinαcosα，又∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－，故原式＝－.

题型3　正弦定理、余弦定理的综合应用

例3　（2013·

浙江）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝b.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

（1）由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.

（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.

由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，a＝5，△ABC的面积为10.

（1）求b，c的值；

（2）求cos的值．

（1）由已知，C＝，a＝5，因为S△ABC＝absinC，

即10＝b·

5sin，解得b＝8.

由余弦定理可得：

c2＝25＋64－80cos＝49,所以c＝7.

（2）由

（1）有cosB＝＝，由于B是三角形的内角，易知sinB＝＝，所以cos＝cosBcos＋sinBsin＝×

＋×

题型4　三角函数、平面向量、解三角形的综合应用

例4　已知向量m＝与n＝（3，sinA＋cosA）共线，其中A是△ABC的内角．

（2）若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

（1）因为m∥n，

所以sinA·

（sinA＋cosA）－＝0.

所以＋sin2A－＝0，

即sin2A－cos2A＝1，

即sin＝1.

因为A∈（0，π），所以2A－∈.

故2A－＝，A＝.

（2）由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.

又S△ABC＝bcsinA＝bc，

而b2＋c2≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4（当且仅当b＝c时等号成立），

所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×

4＝.

当△ABC的面积取最大值时，b＝c.

又A＝，故此时△ABC为等边三角形．

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝（a，b），n＝（sinB，sinA），p＝（b－2，a－2）．

（1）若m∥n，求证：

△ABC为等腰三角形；

（2）若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

（1）证明：

∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·

＝b·

，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．

（2）解：

由题意可知m·

p＝0，即a（b－2）＋b（a－2）＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，即（ab）2－3ab－4＝0，∴ab＝4（舍去ab＝－1），

∴S＝absinC＝×

4×

sin＝.

在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．

【示例】　（本题模拟高考评分标准，满分14分）

若sinα＝，sinβ＝，且α、β均为锐角，求α＋β的值．

学生错解：

∵α为锐角，∴cosα＝＝.

又β为锐角，∴cosβ＝＝.

∵sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

由于0°

<

α<

90°

，0°

β<

，

∴0°

α＋β<

180°

故α＋β＝45°

或135°

.

审题引导：

在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在（0，π）时，一般选余弦函数，若是，则一般选正弦函数．

规范解答：

解：

∵α为锐角，∴cosα＝＝.（2分）

又β为锐角，∴cosβ＝＝.（4分）

且cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，（10分）

由于0<

，0<

，所以0<

π，

因为y＝cosx在上是单调递减函数，故α＋β＝.（14分）

错因分析：

没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．

事实上，仅由sin（α＋β）＝，0°

而得到α＋β＝45°

是正确的，但题设中sinα＝<

，sinβ＝<

，使得0°

30°

从而0°

60°

，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<

π，因为y＝cosx在上是单调函数，所以本题先求cos（α＋β）不易出错．

1.（2013·

常州期末）函数f（x）＝coscos的最小正周期为________．

2

f（x）＝coscos＝cos·

sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝2.

2.（2013·

北京期末）已知函数f（x）＝sin，其中x∈，若f（x）的值域是，则a的取值范围是________．

若－≤x≤a，则－≤x＋≤a＋，因为当x＋＝－或x＋＝时，sin＝，所以要使f（x）的值域是，则有≤a＋≤，即≤a≤π，即a的取值范围是.

3.（2013·

北京期末）已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则△ABC的面积为________．

由sinC＝cosC，得tanC＝>

0，所以C＝.根据正弦定理可得＝，

即＝＝2，所以sinA＝.因为AB>

BC，所以A<

C，所以A＝，即B＝，所以三角形为直角三角形，所以S△ABC＝×

×

1＝.

4.（2013·

新课标Ⅰ卷）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．

－

∵f（x）＝sinx－2cosx＝.

令cosφ＝，sinφ＝－，则f（x）＝

（sinxcosφ＋sinφcosx）＝sin（x＋φ），

当x＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋－φ，

k∈Z时，f（x）取最大值，此时θ＝2kπ＋－φ，k∈Z，

∴cosθ＝cos＝sinφ＝－.

1.（2014·

扬州期末）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝（1，cosB），n＝（sinB，－），且m⊥n.

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．

（1）m·

n＝sinB－cosB，∵m⊥n，∴m·

n＝0，

∴sinB－cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，

∴tanB＝.∵0<

B<

，∴B＝.

（2）∵S△ABC＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得49＝a2＋c2－ac，∴（a＋c）2＝（a2＋c2－ac）＋3ac＝49＋120＝169.∴a＋c＝13，

∴三角形周长是20.

2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的周长为＋2，且sinA＋sinB＝sinC.

（1）求边c的长；

（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

（1）在△ABC中，∵sinA＋sinB＝sinC，由正弦定理，得a＋b＝c，∴a＋b＋c＝c＋c＝（＋1）c＝＋2.

∴a＋b＝2，c＝.

（2）在△ABC中，S△ABC＝absinC＝sinC，

∴ab＝，即ab＝.

又a＋b＝2，在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝＝＝，又在△ABC中∠C∈（0，π），

∴∠C＝60°

湖北卷）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A－3cos（B＋C）＝1.

（2）若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．

（1）由已知条件得：

cos2A＋3cosA＝1，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝，∴∠A＝60°

（2）S＝bcsinA＝5c＝4，由余弦定理，得a2＝21，（2R）2＝＝28，∴sinBsinC＝＝.

北京卷）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.

（2）求c的值．

（1）因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.

（2）由

（1）知cosA＝，所以sinA＝＝.

又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.

在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝.

所以c＝

＝5.

1.三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．

2.对于函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．

3.求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．

4.解三角函数的综合题时应注意：

（1）与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；

（2）将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；

（3）换元方法在解题中的运用．

请使用课时训练（B）第9课时（见活页）．

[备课札记]