5相交线 对顶线 垂线Word文档格式.docx

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　　注意：

既然两条直线相交可有对顶角，就可以直接说两角相等。

　　∵直线AB和直线CD相交于O（如图），

　　∴∠AOC=∠DOB（对顶角相等），

　　∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

两条直线相交组成两对对顶角。

　　例1、判断下列说法是否正确，并举例说明：

（1）有公共顶点的两个角是对顶角。

（2）有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。

　　（3）有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。

　　（4）相等的两个角是对顶角。

　　（5）互为对顶角的两个角的余角相等。

　　（6）顶点相对的角是对顶角。

　　（7）有公共顶点且相等的两个角是对顶角。

　　（8）两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。

　　（9）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。

　　解：

（1）错，举例如图

（1）

　　∠1，∠2不是对顶角。

（2）错，举例如图

（2）

　　（3）错，举例如图（3）

　　（4）错，举例如图（4）

　　图中∠1=∠2，但都不是对顶角。

　　对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角。

　　（5）错。

举例如图（5），∠AOD=∠BOC对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，如图中∠AOD和∠BOC。

钝角没有余角。

所以对顶角不一定有余角。

　　（6）错，举例如图（6），∠1和∠2不是对顶角。

　　（7）错，举例如图（7），∠1和∠2不是对顶角。

　　（8）错，举例如图（8），∠1和∠2不是对顶角。

　　（9）对。

　　例2、如图直线AB，CD，EF相交于O点，写出图中所有的对顶角。

　　分析：

识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）即直线AB、CD相交于O；

直线AB，EF相交于O；

直线CD，EF相交于O。

由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角。

　　解：

图中共有6对对顶角，它们是：

∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC；

∠AOF和∠BOE，∠AOE和∠BOF；

∠COF和∠DOE，∠COE和∠DOF。

　　2、关于垂线的概念。

（1）垂线是相交线的特殊情况，当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫另一条直线的垂线。

由这点出发来判定两条直线是否垂直，反之若两直线垂直那么交角都是直角。

　　∵∠BOC=900（已知），　　∵CD⊥AB于O（已知），

　　∴CD⊥AB（垂直定义），　　∠BOC=900（垂直定义），

　　这是判定两条直线互相垂直的依据　这是两条直线垂直的性质

（2）垂线的性质：

性质一是说垂线的存在性和唯一性，性质二是说垂线段最短。

　　3、关于点到直线的距离的概念：

由垂线段最短这个性质得到“点到直线的距离”的概念。

这个概念与“点到点的距离”一样，是一个数量概念，指的是垂线段的长。

（即直线外一点到垂足的距离）

　　例3、判断下列说法是否正确，若错误请说明理由：

（1）画点到直线L的距离，

（2）作出A，B两点距离。

　　（3）过直线AB外一点C，画AB的垂线，并使它过AB上一点D。

　　（4）过直线AB上一点C，画AB的垂线，并使它过AB外一点D。

（1）错，因为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

点到直线的距离是垂线段的长度，所以是不能画的，只能度量。

（2）错，因为连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离，所以两点的距离也要经过度量得到。

　　（3）错，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过C点画AB的垂线不一定能过AB上的D点，除非D点正好是垂足。

　　（4）错，与（3）题理由相同，过C点画AB的垂线不一定能过AB外的一点D。

　　例4、如图按要求作：

（1）过E点作直线CD的垂线。

（2）量出F点到直线AB的距离。

　　（3）量出EF两点的距离。

（1）过E作EN⊥CD于N，（注意EN要画成垂线，不要画成线段EN）。

（2）先做出线段FM⊥AB于M，再量出FM的长为约1.2cm，F点到直线AB的距离约为1.2cm。

　　（3）先连结EF，再量出线段EF的长约为1.9cm,E、F两点的距离约为1.9cm。

（不要画垂线）

　　4、三线八角的概念：

两条直线被第三条直线所截，按其不同的位置构成了同位角、内错角、同旁内角，关键在于辨别哪是第三条截线。

　　如图，直线CD、EF被AB所截得的，

　　同位角：

∠1和∠5；

∠2和∠6；

∠4和∠8；

∠3和∠7（共4对）。

　　内错角：

∠4和∠6，∠3和∠5（共2对）。

　　同旁内角：

∠4和∠5，∠3和∠6（共2对）。

　　通过细心观察进一步归纳概括这三种角的异同。

　　相同点：

每对同位角，内错角或同旁内角都以三条直线为边。

　　不同点：

顶点不同。

　　如图甲中直线AB、CD被EF所截时，将所有的同位角单独移出将是图乙中的形状，每对同位角均有一边落在第三条直线EF上，其他两边分别在直线AB和直线CD上。

　　图乙：

（四个图形多么象字母“F”字。

）

　　图丙：

　　将内错角移出如图丙，（二个图形多么象字母“Z”字）

　　图丁：

　　将同旁内角移出如图丁，（二个图形可想象为字母“U”字）

　　例5、如图

（1）∠1和∠2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角，

（2）AB、CD被BD所截的内错角是哪些角。

（1）为了排除干扰，可将∠1和∠2分解出来，如图甲。

不难看出∠1和∠2是由直线AD，BC被直线AC所截而成的内错角。

（2）也象解

（1）一样，将直线AB、CD和BD这三条直线分解出来，观察分解图乙，可迅速准确做出回答。

AB、CD被BD所截的内错角是∠3和∠4。

　　较复杂的图形中为了观察方便，可将有关的三条直线用色笔描出来，还可把有关的角画上记号，使图形清晰可辨。

开始也可以从复杂图形中分解出基本图形，在基本图形上辨认，逐步形成头脑中的想象能力，这是迅速准确观察复杂图形的重要方法。

　　六、简化的“三段论证模式”。

　　几何命题的推理证明，采用的是3段论式，即大前提、小前提、结论。

例如：

　　对顶角相等（大前提），

　　∵∠1与∠2是对顶角（小前提），

　　∴∠1=∠2（结论），

　　大前提：

一般性的判断。

小前提：

是与大前提相关联的特殊判断。

二个判断做出的新的判断是结论。

　　在几何命题论证的过程中，则把大前提做为推证的依据，填注在结论后面的括号内，以说明这个结论是根据大前提得来的。

一个命题的推证过程要由几个这样的3段式构成。

　　∵∠1和∠2是对顶角（已知），

　　∴∠1=∠2（对顶角相等），

　　∵∠1+∠2=900（已知）

　　又∵∠2+∠3=900（已知）　（小前提）

　　∴∠1=∠3（同角的余角相等）

　　↓　　　　↓

　　结论　　　大前提

测试

　　选择题

　　1．如图，AB交CD于O，OE是顶点为O的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（　）组。

　　（A）1组，3组

　　（B）2组，4组

　　（C）2组，6组

　　（D）3组，8组

　　2．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=1000.则∠AOC

是（　　）度

　　（A）1000

　　（B）900

　　（C）1500

　　（D）1300

　　3．如图，直线AB与直线CD相交于O，OE平分∠AOD，∠BOC=∠BOD—300，则∠COE的度数是（　　）

　　（A）1100

　　（B）142.50

　　（D）750

　　4．已知，在同一平面内，过点O作ON⊥AB，又过点O作OM⊥AB，所以OM与ON重合，其理由是（　　）

　　（A）过两点只有一条直线

　　（B）经过一点只有一条直线垂直于已知直线

　　（C）过一点只能作一条垂线

　　（D）垂线段最短

　　5．直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，且∠DOE=4∠COE，则∠AOD的度数是（　　　）

　　（A）1200

　　（B）1500

　　（C）980

　　（D）1260

答案与解析

答案：

1、C　2、D　3、B　4、B　5、D

　　解析：

　　1答案：

（C）

判断对顶角和邻补角的依据是它们的定义，此外在判断的时候也有规律可循，如判断在直线AB上的邻补角时可以这样作，先在看角AOB被OE所分成的两个角，它们是邻补角，被射线OC也分成了两个角也是邻补角。

依据这样的方法判断，可以保证不重不漏，共有6组邻补角。

　　2答案：

（D）

由对顶角相等可得∠AOD，∠BOC都是500，再由邻补角的定义可得∠AOC的度数是1300

　　3答案：

（B）

设∠BOC为x0,∠BOD为y0，由条件得

　　解得

　　∴∠COE=1800—

×

750=142.50

　　4答案：

　　5答案（D）

由已知条件可先得到

　　∠DOE+∠COE=1800，

　　4∠COE+∠COE=1800

　　5∠COE=1800

　　∴∠COE=360

　　∴∠COB=360+900=1260

　　∴∠AOD=1260

中考解析

相交线、对顶线 

相交线、对顶角

　　考点扫描:

　　1．理解对顶角、邻补角的概念；

　　2．理解对顶角的性质及其推证过程，会用它进行推理和计算．

　　名师精讲:

　　1．对顶角和邻补角的概念

　　两条直线相交所得的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角；

或者说两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角；

还可以说成一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

　　两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，和一条公共边的两个角叫做邻补角．邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角．

　　2．对顶角、邻补角的共同特点

　　对顶角和邻补角都是具有特殊位置和数量关系的角，是两条直线相交得到的．对顶角“有公共顶点，没有公共边”，两个角的两条边分别互为反向延长线．邻补角“有公共顶点，和一条公共边”，另一条边互为反向延长线．

　　3．对顶角和邻补角的性质

　　对顶角相等；

邻补角互补．

邻补角与补角是两个不同的概念，邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系，互补的两个角只有数量关系，没有位置关系；

两个角互为邻补角，这两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；

一个角的补角可以有很多个，但一个角的邻补角有且只有两个．

　　中考典例:

　　1．（浙江省）如图直线AB与CD交于O点，若∠AOD＝120°

，则∠COB的补角是________．

　　考点：

对顶角、补角

　　评析：

该题虽然求的是∠COB的补角的大小，其实是考查对顶角的性质，即对顶角相等，根据对顶角定义，可知∠COB与∠AOD是对顶角，所以∠COB=120°

，则它的补角为60°

．

　　真题专练：

　　1.（南通市）如图已知直线L1与L2相交，∠1＝40°

．∠2的度数是　．

　　2．（河北省）如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°

，则∠AOC的度数是　．

　　答案：

　　1、140°

；

　　2、30°

（提示：

∵∠DOE=60°

又OB平分∠DOE,∴∠BOD=30°

，由对顶角性质可知∠AOC=30°

垂　线

　　1．掌握垂线、垂线段等概念，会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；

　　2．了解斜线、斜线段等概念，理解垂线段最短的性质；

　　3．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．

　　1．垂线的定义及其性质

　　当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂直用符号“⊥”表示．

　　两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况．线段、射线之间的垂直关系，是指它们所在的直线互相垂直．画线段的垂线时，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．

　　垂线的性质：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成“垂线段最短”．

　　垂线和垂线段是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段．另外，空间里的垂直关系有：

直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直．

　　2．点到直线的距离

　　从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量，不能说“垂线段是距离”、“作出点到直线的距离”，这些都是常见的错误．

同位角、内错角、同旁内角

　　会识别同位角、内错角和同旁内角．

　　同位角、内错角、同旁内角是指两条直线被第三条直线所截得到的八个角中，有一条公共边，但没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系．

　　两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同旁叫做同位角）两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁，这样的一对角叫做内错角；

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．

　　要正确地找出上述三类角，首先要找出构成这些角的“三线”，分清哪两条直线是被截直线，哪条是截线．在截线的同旁找同位角、同旁内角；

在截线的两旁找内错角，它们都是成对出现的，在图形比较复杂时，对于给定的两个角，两个角的公共边所在直线是截线，另外两边所在直线是被截的二直线．

　　中考典例：

　　1．（西藏）如图∠ADE与∠DEC是（　）

　　A、同位角　　B、对顶角　　C、内错角　　D、同旁内角

∠ADE与∠DEC的公共边是DE，DE所在直线是第三条直线，另两角边AD、EC所在直线是被截的两条直线．∠ADE与∠DEC位于被截二直线之间，截线两旁．因此∠ADE与∠DEC是内错角．应选C．

　　2．（无锡市）根据题意完成下列填写，如图L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内再画第三条直线L3，那么这三条直线最多可有_____个交点；

如果在平面内再画第四条直线L4，那么这四条线段最多可有____个交点；

由此我们可以猜想：

在同一平面内6条直线最多可有_____个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_____个交点（用含n的代数式表示）

两直线交点，探索规律的能力，用代数式表达规律的能力．

该题是寻找规律的探索性试题．能够考查学生的空间想象力和探索规律的能力．该题新颖别致，是今后的命题方向．两条直线相交，最多有一个交点；

再画第三条直线l3，与前面的两条都相交，可增加2个交点，即三条直线两两相交，最多有1+2个交点．再画第四条直线l4，与前面的三条都相交，可增加3个交点，即四条直线两两相交，最多有1+2+3个交点．由此推断，6条直线相交，最多有1+2+3+4+5=15个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+……+（n-1）=

个交点．

　　七、典型例题分析

　　[例1]选择题

（1）下图中，∠A与∠B成对顶角的是（ 

）

（2）下图中，∠1和∠2成邻补角的是（ 

解：

（1）选D，

（2）选D。

　　对顶角特点：

①两直线相交；

②两个角有公共顶点；

③没有公共边；

④角的两边互为反向延长线。

邻补角特点：

③有一条公共边，且

两角都在公共边同侧。

　　[例2]如图，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，∠COE=30º

，求∠BOF度数。

　　∵AB⊥CD（已知）

　　∴∠AOC=90º

（垂直定义）

　　又∵∠COE=30º

（已知）

　　∴∠AOE=∠AOC-∠COE=90º

-30º

=60º

　　∵∠AOE和∠BOF是对顶角

　　∴∠BOF=∠AOE=60º

（对顶角相等）

　　此题考察了垂线、对顶角的概念，对顶角的性质及角度的计算。

　　[例3]如图，直线AB、CD相交于O点，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，找出图中所有不是平角的相等的角。

　　∠AOB和∠COD都是平角，OE、OF分别平分这两个角，∴∠AOE、∠BOE、∠COF和∠DOF都是90º

，这四个角都相等；

∠2和∠4都与∠3互余，根据同角的余角相等，得出∠2=∠4，根据对顶角相等得出∠1=∠3。

　　∴图中相等的角有三组。

　　∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF；

　　∠2=∠4；

∠1=∠3。

　　八、检测题

　　1.填空题

（1）将一个角的两边分别反向延长，成为一个新的角，这个角与原来的角是_________.

（2）将一个角的一条边反向延长，这条反向延长线与角的另一边构成角与原来的角是_________.

　　（3）经过一点有______条直线，垂直于已知直线。

　　（4）当两条直线相交所成四个角中，有一个角是直角时，就说这两条线_______.

　　（5）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，以 

最短.

　　（6）自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比为3：

1，则这个钝角度数为___.

　　2.选择题

（1）下列说法正确的是（ 

　　A、相等的两个角是对顶角

　　B、有公共顶点，且相等的两个角是对顶角

　　C、两条直线相交，构成的角是对顶角

　　D、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角

（2）三条直线两两相交于不同点构成的对顶角的对数是（）

　　A、6 

B、5 

C、4 

D、3

　　（3）下面说法正确的是（）

　　A、任意画直线L的垂线

　　B、垂线段比斜线段短

　　C、有公共边且和是180°

的两个角是邻补角

　　D、两条直线相交得到两对对顶角和两对邻补角

　　（4）点到直线的距离是指（ 

　　A、直线外一点与这条直线上任意一点的距离

　　B、直线外一点到这条直线的垂线的长度

　　C、直线外一点到这条直线的垂线段

　　D、直线外一点到这条线的垂线段的长度

　　（5）可以判定两条直线垂直的语句是（ 

　　A、对顶角相等 

B、两邻角的和等于180°

C、所成的四个角均相等 

D、同角的补角相等

　　（6）下列结论不正确的是（）

　　A、互为邻补角的两个角的平分线一定垂直

　　B、过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直

　　C、直线外一点与直线上各点连线中垂线最短

　　D、两直线相交，只有一个交点

　　3.解答题

（1）如图1，两条直线相交得到四个角，这些角有一个公共顶点，其中有些角有公共边，有些角没有公共边.像∠1与∠3这样，只有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角。

像∠1与∠2这样，不仅有一个公共顶点，还有一条公共边的两个角叫做邻补角.想想，图中还有哪些对顶角，哪些邻补角？

（2）已知：

如图4，直线a，b相交，△=50°

，求：

∠2，∠3，∠4的度数？

　　（3）已知：

如图20，AO⊥BO，CO⊥DO，∠BOC=25°

，求∠AOD的度数（用两种方法）.

　　（4）已知∠ABC和∠CBD互为邻补角，∠CBD等于直角的

，过B引AB的垂线，求：

这垂线和∠ABC的平分线所成的角.

　　（5）填空：

如图11，AB、CD相交于点O.

　　①若∠1+∠3=50°

，则∠3= 

.

　　②若∠1∶∠2=2∶3，则∠3= 

　　③若∠2-∠3=70°

（1）对顶角

（2）邻补角

　　（3）有且只有

　　（4）互相垂直

　　（5）垂线段

　　（6）120°

（1）D 

（2）A 

（3）B 

（4）D 

（5）C 

（6）C

（1）对顶角还有∠2与∠4；

邻补角还有∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1.

（2）

　　∵∠1=50°

　　∴∠4=∠1=50°

∠2=180°

-∠1=180°

-50°

=130°

（邻补角定义）

　　∴∠3=∠2=130°

　　（3）155°

　　（4）157.5°

或22.5°

　　（5）①∠3=25°

②∠3=72°

③∠3=55°