河北省五个一名校联盟届高三下学期第一次诊断考试数学文试题含精品解析.docx
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河北省五个一名校联盟届高三下学期第一次诊断考试数学文试题含精品解析
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试
第I卷（选择题）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上.）
1.已知集合，，那么（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．
【详解】由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，
∴N＝{x|x≤1}，
∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴
∴＝{x|x<-2}，
故选：
C．
【点睛】本题考查交集及补集运算，是基础题．
2.设（其中为虚数单位），则复数（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求解即可
【详解】由题==
故选：
A.
【点睛】本题考查复数的运算，是基础题.
3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:
3:
6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）
A.30B.40C.60D.80
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.
【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,
由分层抽样得x:
12:
y=1:
3:
6,解得x=4,y=24,则n=4+12+24=40
故选：
B.
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．
4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.
【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1故选：
B.
【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意
5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，f（x）=，，则实数（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇函数得，代入f（x）=
【详解】函数f（x）是定义在R上的奇函数,,则
故选：
D.
【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.
6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）
A.1008B.1009C.2017D.2018
【答案】D
【解析】
【分析】
得数列的前2018项和分组求和即可.
【详解】由题,解得,
设
数列的前2018项和为=2=2018
故选：
D.
【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得
7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解..
【详解】取AB中点D（2,-3）,,
d+r=
的最大值为
故选：
C.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.
8.已知函数，且，则的最小值为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．
【详解】∵f（x）＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x），
又f（）•f（）＝﹣4，
即2sin（）•2sin（）＝﹣4，
∴2sin（）•sin（）＝﹣2，
∴sin（）•sin（）＝﹣1，
∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．
∴2kπ，2kπ，或2kπ，2kπ，k∈Z．
∴+＝2kπ（k∈Z），
显然，当k＝0时，|+|的最小值为，
故选：
C．
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题知三视图的直观图如图所示：
由长方体截取三棱锥A-BCD所得，
AB=AC=,BC==,∴几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,
故选：
A.
【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.
10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于
【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A（,0）,的面积为,
∴的面积的最大值时为><3,∴,∴
故选：
A.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.
11.在平面四边形中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平面DAC平面ABC，知
【详解】由题知又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=
故选：
B.
【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.
12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出f（x）的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m的不等式即可.
【详解】画出f（x）的图像如图所示：
令t=f（x）,则t的二次方程，设g（t）=
当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈
当方程的根一个为t=1时，解得m=2或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈
故选：
D.
【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.
第II卷（非选择题）
二、填空题（把正确答案填在答题卡上）
13.已知向量，则向量在上的投影为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出
【详解】，则向量在上的投影为
故答案为
【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.
14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.
【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：
化为x+
直线l:
过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A（2,1），
此时z=
故答案为8.
【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.
15.若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线l:
y=kx-1,求导求最值即可.
【详解】设直线l:
y=kx-1,则kx-1=,令g（x）=lnx+,（x）=
x>2,（x）>0,g（x）单调递增；0（2）=
又k>
故答案为
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.
16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC,得AD=
【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=ab,即absin
故答案为
【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
【详解】
（1）∵数列是公差为的等差数列，
∴
∴又是与的等比中项，
，
∴解得舍掉）
故数列的通项公式为
，
【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数
18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：
（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；
（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率.
【答案】
（1）平均值为
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；
（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.
【详解】
（1）依题意可知：
，
所以综合素质成绩的的平均值为.
（2）设这名同学分别为其中设为文科生，
从6人中选出3人，所有的可能的结果
共20种，
其中含有文科学生的有
16种
所以含文科生的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.
19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.
（1）若求证：
为的中点；
（2）在
（1）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】
（1）见证明
（2）
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接,证明面，进而，；
（2）利用等体积转化即可.
【详解】
（1）取中点，连接
∵∴，
∵面，
∴，又
为的中点，为的中点
（2）设点到平面的距离为，
∵为的中点，
又，，∴，
∵∴
又，，AM=，
可得边上的高为，
∴
由
∴h=
【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.
20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.
【答案】
（1）
（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）设动圆圆心坐标为C（x,y），由题意得，能求出曲线方程；
（2）设代入
【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C（x,y），根据题意得
，
化简得
（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，
则，得所以，，
，
又
=
【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意
21.已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
【答案】
（1）见解析
（2）7
【解析】
【分析】
（1）
（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.
【详解】
（1）此函数的定义域为，
（1）当时，在上单调递增，
（2）当时，单调递减，单调增
综上所述：
当时，在上单调递增
当时，单调递减，单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需恒成立，
则
，
令则只需
则单调递减，
单调递增，
即的最大整数为
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平
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