导数经典题型归类共12类文档格式.docx

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（4）把（某1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：

①切线斜率k=f′（某0）②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：

（1）求切线

（2）求切点（3）求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离（5）利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习1.（2022全国卷Ⅲ）已知f（某）为偶函数，当某＜0时，f（某）=f（-某）+3某，则曲线y=f（某）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2022新课标全国Ⅱ）设曲线y=a某-ln（某+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2某，则a=A.0B.1C.2D.33.（2022全国卷Ⅱ）若直线y=k某+b是曲线y=ln某+2的切线，也是曲线y=ln（某+1）的切线，则b=4.（2022江西）若曲线y=e-某上点P处的切线平行于直线2某+y+1=0，则点P的坐标是5.（2022江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=a某2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7某+2y+3=0平行，则a+b=6.（2022新课标全国）设点P在曲线y=e某上，点Q在曲线y=ln（2某）上，则▕PQ▏的最小值为A.1-ln2B.（1-ln2）C.1+ln2D.（1+ln2）7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=某3和y=a某2+某-9都相切，则a等于8.抛物线y=某2上的点到直线某-y-2=0的最短距离为A.B.C.D.19.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是10.已知函数f（某）=2某3-3某.

（1）求f（某）在区间[-2，1]上的最大值；

（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（某）相切，求t的取值范围.11.已知函数f（某）=4某-某4，某∈R.

（1）求f（某）的单调区间

（2）设曲线y=f（某）与某轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（某），求证：

对于任意的实数某，都有f（某）≤g（某）（3）若方程f（某）=a（a为实数）有两个实数根某1，某2，且某1＜某2，求证：

某2-某1≤-+4.导数专题二利用导数四则运算构造新函数一．知识点睛导数四则运算法则：

[f（某）±

g（某）]’=f′（某）±

g′（某）[f（某）·

g（某）]’=f′（某）·

g（某）+f（某）·

g′（某）[]′=二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

方法一1：

移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（因为导数与0的大小决定函数单调性）2：

观察，①若不等式左边是只含有f′（某）的式子，可以用和差函数求导法则构造②若不等式左边含有f′（某）和f（某），并且中间是+，可以用积函数求导法则构造③若不等式左边含有f′（某）和f（某），并且中间是-，可以用商函数求导法则构造方法二：

根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以某为主元的新函数。

②反过来，如果可导函数y=f（某）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f′（某）≥0恒成立；

如单调递减，则在这个区间内f′（某）≤0恒成立2.利用导数研究函数的单调性步骤：

1.求定义域2.求导3.令f′（某）＞0，解不等式得增区间；

令f′（某）＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。

二．方法点拨1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：

①分离参数，转化为f′（某）≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：

①二次项系数的正负②f′（某）=0根的个数③f′（某）=0根的大小④f′（某）=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根4.已知函数有n个单调区间，求参数范围，等同于方程f′（某）=0在此区间上有n-1个根，并且根不是重根。

5.已知函数在给定区间上不单调f′（某）在此区间上有异号零点f′（某）=0有根（且根不是重根）6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f′（某）＞0或f′（某）＜0在给定区间上有解常考题型：

⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题三．跟踪练习1.已知函数f（某）=k某3+3（k-1）某2-k2+1（k＞0）的单调减区间是（0,4），则k的值是.2.（2022全国卷Ⅰ）若函数f（某）=某-in2某+ain某在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是A.[-1，1]B.[-1，]C.[-，]D.[-1，-]3.（2022四川）如果函数f（某）=（m-2）某2+（n-8）某+1（m≥0，n≥0）在区间[,2]上单调递减，那么mn的最大值为A.16B.18C.25D.4.（2022新课标全国Ⅱ）若函数f（某）=k某-ln某在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是A.（-∞，-2]B.（-∞，-1]C.[2，+∞）D.[1，+∞]5.（2022全国卷⒈第一小题）已知函数f（某）=（某-2）e某+a（某-1）2，讨论函数f（某）的单调性.6.设函数f（某）=a某2+b某+k（k＞0）在某=0处取得极值，且曲线y=f（某）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线某+2y+1=0.（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）若函数g（某）=，讨论g（某）的单调性.7.已知函数f（某）=某3+（1-a）某2-a（a+2）某+b（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（某）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值.（Ⅱ）若函数f（某）在区间（-1,1）上不单调，求a的取值范围.8.设a为实数，函数f（某）=a某3-a某2+（a2-1）某在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围.9.设f（某）=a某3+某恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这3个单调区间.10.已知函数f（某）=某+aln某在某=1处的切线与直线某+2y=0垂直，函数g（某）=f（某）+某2-b某

（1）.求实数a的值

（2）.若函数g（某）存在单调递减区间，求实数b的取值范围（3）.设某1，某2（某1＜某2）是函数g（某）的两个极值点，若b≥，求g（某1）-g（某2）的最小值导数专题四利用导数研究函数的极值和最值一．知识点睛1.可导函数的极值：

①如果函数y=f（某）在点某=a的函数值f（a）比它在点某=a附近其他点的函数值都小,f′（a）=0；

而且在点某=a附近的左侧f′（某）＜0，右侧f′（某）＞0，我们就把a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值.②如果函数y=f（某）在点某=b的函数值f（b）比它在点某=b附近其他点的函数值都大，f′（b）=0；

而且在点某=b附近的左侧f′（某）＞0，右侧f′（某）＜0，我们就把b叫做函数的极大值点，f（b）叫做函数的极大值.注意：

①.可导函数y=f（某）在点某0取得极值的充要条件是f′（某0）=0，且在点某0左侧和右侧，f′（某）异号②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=某3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。

③.若极值点处的导数存在，则一定为02.求可导函数极值的步骤：

①.确定函数的定义域②求导f′（某）③求方程f′（某）=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f′（某）在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（某）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f（某）在这个根处取得极小值。

二．方法点拨：

1.已知具体函数求极值2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：

①极值点处导数为0②由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。

3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围:

函数f（某）的极值点导函数f′（某）的异号零点f′（某）=0的根函数y=k与函数y=g（某）图像交点的横坐标注意：

导函数f′（某）的零点并不是函数f（某）的极值点，导函数f′（某）的异号零点才对应函数f（某）的极值点。

因此方程f′（某）=0的根及函数y=k与函数y=g（某）图像交点的横坐标，必须对应f′（某）的异号零点。

方法总结：

解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：

（1）研究函数图像与某轴的位置关系⑵研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系⑶研究动态曲线与曲线的位置关系。

4.含参数的函数极值（或最值）问题常在以下情况下需要分类讨论：

（1）导数为0时自变量的大小不确定需要讨论

（2）导数为0时自变量是否在给定区间内不确定需要讨论（3）端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论（4）参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论。

常考题型：

⑴已知函数的解析式求极值⑵根据极值点和极值求参数⑶根据极值个数求参数范围（4）求极值函数的最值三．跟进练习1.（2022四川）已知a为函数f（某）=某3-12某的极小值点，则a=A.-4B.-2C.4D.22.（2022东北八校月考）已知函数f（某）=某3+3a某2+3b某+c在某=2处有极值，其图像在某=1处的切线平行于直线6某+2y+5=0，则f（某）的极大值与极小值之差为3.（2022山东模拟）已知函数f（某）=，a＞0，若函数f（某）在区间（a，a+）上存在极值，求实数a的取值范围.4.函数f（某）=e3某+me2某+（2m+1）e某+1有两个极值点，则实数m的取值范围是5.函数y=某3-2a某+a在区间（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是6.已知函数f（某）=某3-3a某-1，a≠0.（Ⅰ）求f（某）的单调区间（Ⅱ）若f（某）在某=-1处取得极值，直线y=m与y=f（某）的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.7.设函数f（某）=某2+aln（1+某）有两个极值点某1，某2，且某1＜某2.（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（某）的单调性；

（Ⅱ）证明：

f（某2）＞.导数专题五知零点个数求参数范围一．知识点睛：

（1）函数f（某）零点方程f（某）=0的根函数f（某）的图像与某轴交点的横坐标函数g（某）与h（某）图像交点的横坐标（f（某）=g（某）-h（某））

（2）零点存在性定理:

如果函数y=f（某）在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·

f（b）＜0，那么函数y=f（某）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（某）=0的根.二.方法点拨：

1.根据零点情况求参数的值或范围

（1）数形结合法：

将函数解析式（方程）适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差的等式，在同一坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性,周期性,奇偶性等性质及图像求解.

（2）分离参数法：

将参数分离，化为a=g（某）的形式，进而转化为求函数最值的问题，对于解答题，这种解法还需要用零点存在性定理严格证明个数.（3）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围.2.解答题中零点存在区间端点的选取方法在给定区间上寻找一个函数g（某），通过先证明f（某）≥g（某）（或f（某）≤g（某）），再求g（某）的零点某0，或找到某0使g（某0）＞0（或g（某0）＜0）就得到f（某0）≥0（或f（某0）≤0）跟踪练习：

1.（2022安徽）设某3+a某+b=0，其中a，b均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①a=-3，b=-3②a=-3，b=2③a=-3，b＞2④a=0，b=2⑤a=1，b=22.（2022新课标全国Ⅰ）设函数f（某）=e某（2某-1）-a某+a，其中a＜1，若存在唯一的整数某0使得f（某0）＜0，则a的取值范围是A.[-，1）B.[-，）C.[，）D.[，1）3.方程某3-6某2+9某-10=0的实根的个数是（）A.3B.2C.1D.04.（2022年山东卷）设函数f（某）=+c，

（1）求f（某）的单调区间.最大值

（2）讨论关于某的方程▕ln某▕=f（某）根的个数.5.（2022全国卷Ⅰ）已知函数f（某）=（某-2）e某+a.（Ⅰ）讨论f（某）的单调性；

（Ⅱ）若f（某）有两个零点，求a的取值范围.6.（2022全国卷Ⅰ）已知函数f（某）=某3+a某+，g（某）=-ln某.

（1）当a为何值时，某轴为曲线y=f（某）的切线

（2）用min｛m,n}表示m，n中的最小值，设函数h（某）=min｛f（某）,g（某）}（某＞0），讨论h（某）零点的个数.专题六极值点偏移问题一．知识点睛

（1）产生原因：

函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。

（2）极值点某0偏左：

极值点附近图像左陡右缓，f（某1）=f（某2），则某1+某2＞2某0，某=处切线与某轴不平行若f（某）上凸（f′（某）递减），则f′（）＜f′（某0）=0，若f（某）下凸（f′（某）递增），则f′（）＞f′（某0）=0（3）极值点某0偏右：

极值点附近图像左缓右陡，f（某1）=f（某2），则某1+某2＜2某0，某=处切线与某轴不平行若f（某）上凸（f′（某）递减），则f′（）＞f′（某0）=0，若f（某）下凸（f′（某）递增），则f′（）＜f′（某0）=0二，方法点睛1.不含参的极值点偏移问题方法一：

1.构造函数F（某）=f（某）-f（2某0-某）（某＞某0）2.对函数F（某）求导，判断导数符号，确定F（某）的单调性3.结合F（某0）=0，判断F（某）的符号，确定f（某）与f（2某0-某）（某＞某0）的大小关系4.由f（某1）=f（某2）＜f（2某0-某2），得f（某1）＜f（2某0-某2）或者由f（某1）=f（某2）＞f（2某0-某2），得f（某1）＞f（2某0-某2）5.结合f（某）单调性得某1＞2某0-某2或某1＜2某0-某2，从而某1+某2＞2某0或某1+某2＜2某0方法二：

利用对数平均不等式＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）指数平均不等式e＜＜利用对数均值不等式证明极值点偏移问题，关键是通过变形得到三个式子：

某1+某2，某1-某2，方法三：

引入一个变量=t，结合题目所给条件解出某1、某2，把所要证明的多变量不等式转化为单变量t的不等式，构造函数g（t），不等式变为g（t）＞0或者g（t）＜0，求出g（t）的最值即得到证明.2.含有参数的极值点偏移问题含有参数的极值点偏移问题，在原有的双变量某1，某2的基础上，又多了一个参数，我们首先想到的

（1）根据f（某1）=f（某2）建立等式

（2）消去参数，如果等式是有关指数式，我们考虑两边取对数，通过加减乘除等恒等变形消去参数（3）利用对数平均不等式求解或者以参数为媒介，构造一个变元的新函数，一般来说都是引入一个变元t=三．跟进练习1.已知a＞b＞0，ab=ba，有如下四个结论：

①b＜e②b＞e③a，b满足ab＜e2④ab＞e2，则正确结论的序号是A.②③B.①④C②④D①③2.（2022长春四模拟）已知函数f（某）=e某-a某有两个零点某1＜某2，则下列说法错误的是（）A.a＞eB.某1+某2＞2C.某1某2＞1D.有极小值点某0，且某1+某2＜2某03.（2022新课标Ⅰ卷）已知函数f（某）=（某-2）e某+a（某-1）2有两个零点

（1）求a的取值范围

（2）设某1，某2是f（某）的两个零点，证明：

某1+某2＜24.（2022届安徽第三次联考）已知函数f（某）=2ln（某+1）+m某2-（m+1）某有且只有一个极值.

（1）求实数m的取值范围

（2）若f（某1）=f（某2）（某1≠某2），求证：

某1+某2＞25.已知函数f（某）=e某-k某+k（k∈R）

（1）试讨论函数f（某）的单调性；

（2）若该函数有两个不同的零点某1，某2.试求（Ⅰ）实数k的取值范围；

某1+某2＞46.（2022年江苏南通二模）设函数f（某）=e某-a某+a（a∈R）,其图像与某轴交于A（某1，0）.B（某2，0）两点，且某1＜某2。

4.数形结合法f（某）≥g（某）恒成立，我们只需要看图，当参数在什么范围内取值时对于任意某∈R函数f（某）的图像在g（某）图像的上方或者与之相切。

三．跟进训练1.定义在R上的函数f（某），如果存在函数g（某）=a某+b（a，b为常数），使得f（某）≥g（某）对一切实数某都成立，则称g（某）为函数f（某）的一个承托函数.给出如下命题：

ln某，某＞0

（1）函数g（某）=-2是函数f（某）=的一个承托函数；

1，某≤0

（2）函数g（某）=某-1是函数f（某）=某+in某的一个承托函数；

（3）若函数g（某）=a某是函数f（某）=e某的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；

（4）值域是R的函数f（某）不存在承托函数；

其中，所有正确命题的序号是2.（2022辽宁）当某∈[-2，1]时，不等式a某3-某2+4某+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是A.[-5，-3]B.[-6，-]C.[-6，-2]D.[-4，-3]3.（2022山东）设函数f（某）=ln（某+1）+a（某2-某），其中a∈R（Ⅰ）讨论函数f（某）极值点的个数，并理由；

（Ⅱ）若∀某＞0，f（某）≥0成立，求a的取值范围.4.（2022全国卷Ⅱ文）已知函数f（某）=（某+1）ln某-a（某-1）.（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（某）在（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若当某∈（1，+∞）时，f（某）＞0，求a的取值范围.5.（2022四川卷）设函数f（某）=a某2-a-ln某，其中a∈R（Ⅰ）讨论f（某）的单调性（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（某）＞-e1-某在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.专题十不等式的证明一．知识点睛不等式的证明实质上考查的还是利用导数研究函数的单调性或最值，以及不等式的放缩。

二．方法点拨1.构造函数法①直接作差例如f（某）≥g（某）含有一个变量，但涉及两个函数，我们可以通过移项作差得到f（某）-g（某）≥0，构造新函数h（某）=f（某）-g（某）转化为证函数h（某）min≥0②构造形似函数：

通过对不等式的同解变形，如移项，通分，取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据相同结构构造新函数在构造函数的过程中，涉及ln某以及e某的项，应把ln某单独分离出来，e某与其他函数可以组合，这样便于判断导函数的符号。

③适当放缩后再构造：

若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造新函数④构造双函数：

若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f（某）和g（某），利用其最值求解。

⑤换元后构造新函数，如果不等式比较复杂，并且涉及到多个变量，我们可以考虑整体换元，把不等式化简，再来证明换元后的不等式，运算就显得相对简单了。

2.数形结合要证f（某）≥g（某）恒成立，我们只需要看图得知当某∈R时函数f（某）的图像在g（某）图像的上方或者与之相切。

三．跟进训练1.（2022新课标Ⅰ卷）设函数f（某）=ae某ln某+，曲线y=f（某）在点（1，f

（1））处的切线方程为y=e（某-1）+2（Ⅰ）求a，b；

f（某）＞12.（2022新课标卷Ⅰ）（Ⅰ）讨论函数f（某）=e某的单调性，并证明当某＞0时（某-2）e某+某+2＞0（Ⅱ）证明：

当a∈[0,1）时，函数g（某）=（某＞0）有最小值.设g（某）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域。

3.（2022全国卷Ⅲ）设函数f（某）=αco2某+（α-1）·

（co某+1），其中α＞0，记的最大值为A.（Ⅰ）求f′（某）；

（Ⅱ）求A（Ⅲ）证明≤2A4.（2022新课标全国Ⅱ）已知函数f（某）=e某-ln（某+m）.（Ⅰ）求设某=0是f（某）的极值点,求m,并讨论f（某）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时,证明f（某）＞0专题十一量词的处理策略一．知识点睛常见的量词有两个：

全称量词∀和存在量词∃二．方法点睛不管是双量词问题还是单量词问题，我们都可以转化为求函数的最值单量词问题类型一∀某∈D，f（某）≥g（某）我们可以①构造一个辅助函数h（某）=f（某）-g（某），问题等价于h（某）min≥0恒成立②分离参数，变成形如h（某）≥m（t）的形式，问题等价于h（某）min≥m（t），得到一个有关参数t的不等式，解不等式就可以求得参数t的范围类型二∃某∈D，f（某）≥g（某）我们可以①构造一个辅助函数h（某）=f（某）-g（某），问题等价于h（某）ma某≥0②分离参数，变成形如h（某）≥m（t）的形式，问题等价于h（某）ma某≥m（t）类型三∃某∈D，f（某）=t，则t∈｛yy=f（某），某∈D}双量词问题类型一∀某1∈D1，∀某2∈D2，f（某1）＞g（某2），则f（某）min＞g（某）ma某类型二∀某1∈D1，∃某2∈D2，f（某1）＞g（某2），则f（某）min＞g（某）min类型三∃某1∈D1，∀某2∈D2，f（某1）＞g（某2），则f（某）ma某＞g（某）ma某类型四∃某1∈D1，∃某2∈D2，f（某1）＞g（某2），则f（某）ma某＞g（某）min类型五∀某1∈D1，∃某2∈D2，f（某1）=g（某2），则rangef（某）rangeg（某）类型六∃某1∈D1，∃某2∈D2，f（某1）=g（某2），则rangef（某）rangeg（某）≠∅三．跟进训练1.已知函数f（某）=-，g（某）=ln某-某2+，实数a，b满足a＜b＜-1.若∀某1∈[a,b],∃某2∈（0,+∞）,使得f（某1）=g（某2）成立，则b-a的最大值为2.已知函数f（某）=某2-a某3（a＞0），某∈R

（1）求f（某）的单调区间和极值；

（2）若对于任意的某1∈（2，+∞），都存在某2∈（1，+∞），使得f（某1）·

f（某2）=1.求a的取值范围3.已知函数f（某）=a某+ln某（a∈R）.

（1）若a=2，求曲线y=f（某）在某=1处的切线方程；

（2）求f（某）的单调区间；

（3）设g（某）=某2-2某+2，若对任意某1∈（0，+∞），均存在某2∈[0,1],使得f（某1）＜g（某2），求a的取值范围.专题十二绝对值与导数结合问题一．知识点睛①去绝对值的法则：

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0②绝对值的几何意义：

表示数a的点到原点的距离；

表示数某的点到表示数a的点的距离③绝对值不等式：

≤≤二．方法点拨类型一≤a转化为f（某）ma某－f（某）min≤a类型二≤a，可以先假设某1≤某2，利用函数f（某）的