角和角的比较知识归纳及经典习题文档格式.docx

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角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．

写出图中

（1）能用一个字母表示的角；

（２）以B为顶点的角；

（3）图中共有几个角（小于１８0°

）.　

【答案与解析】

解：

（1）能用一个字母表示的角∠A、∠C．

　（２）以B为顶点的角∠ABE、∠ABＣ、∠ＣBE．

　　（３）图中共有7个角.

【总结升华】

（１）顶点处只有一个角时,才可以用一个字母表示;

（2）一般数角时不包括平角和大于平角的角.

已知：

如图,在∠AOE的内部从O引出３条射线,求图中共有多少个角?

如果引出99条射线,则有多少个角?

分析：

在∠AOE的内部从Ｏ点引出3条射线，那么在图形中,以O为端点的射线共5条。

其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。

数角的时候要按一定的顺序，从ＯＥ边开始数,这样可得到4＋3+2+1个角，所以,这５条射线共组成角的个数为10个角。

公式为:

。

同理，如果引出９9条射线,那么，以O为顶点的射线共101条,构成的角的个数为50５0个。

如图,在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？

如果引出99条射线，则有多少个角?

在∠ＡＯＥ的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。

其中,任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。

数角的时候要按一定的顺序,从OＥ边开始数，这样可得到４＋3+2+１个角,所以,这5条射线共组成角的个数为10个角。

同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共１01条,构成的角的个数为５05０个。

3.角的画法

（1）用三角板可以画出３０°

、45°

、60°

、9０°

等特殊角.

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．用量角器量角和画角的一般步骤：

①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；

②重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；

③读数（读出另一边所在线的度数）．

（３）角的和、差关系：

利用三角板除了可以做出３0°

、６0°

、90°

外，根据角的和、差关系,还可以画出15°

，7５°

10５°

，12０°

，13５°

15０°

16５°

的角．

要点四、方位角

在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角．例如，图中射线ＯＡ的方向是北偏东60°

；

射线OＢ的方向是南偏西3０°

．这里的“北偏东60°

”和“南偏西３0°

”表示方向的角，就叫做方位角.

要点诠释：

（１）正东，正西，正南,正北4个方向不需要用角度来表示；

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°

”一般不说成“东偏北30°

”;

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点Ｏ是观测点,所有方向线（射线）都必须以O为端点.

A看B的方向是北偏东3０°

，那么B看A的方向是（　）

　　A.南偏东6０°

　　B．南偏西６０°

　　C.南偏东30°

　Ｄ.南偏西３0°

【答案】D

【解析】依题意画出示意图.由图可知，图中∠1即表示从A看B的北偏东３０°

∠2是从B看A的方位角.由此可确定从B看A是南偏西30°

．

【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从Ｂ看A正好是一对对立的观察过程,其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚,再由正南或正北到视线夹角测量出来．

举一反三:

【变式】小王从家出发向南偏东30°

的方向走了１000米到达小军家,此时小王家在小军家的＿___＿__＿方向.

【答案】北偏西３0°

要点五、钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角１2等分、每个大格对应3０°

的角,分针１分钟转６°

，时针每小时转30°

，时针1分钟转0．５°

利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

4时15分时针与分针的夹角.

如图

（1）,∠ＡOC=30°

×

１＝３0°

∠BOＣ=0．5°

15=7．5°

　　所以∠ＡOＢ＝3７.5°

.

即4时1５分时针与分针的夹角为37．5°

【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法:

第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解,比如解法一;

第二种方法直接根据图形求夹角,如解法二．

【变式】2时48分时针与分针的夹角.

　解法2：

如图

（2）

∠BOD=30°

4=120°

，

　∠COD=2×

6°

＝１2°

　　∠AOB=４８×

0.５°

=2４°

所以∠AOC=∠BOD＋∠COD+∠AOB＝１56°

即2时48分时针与分针的夹角为156°

要点二、角的比较与运算

1.角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成３６0等份，每一份就是1°

的角，1°

的

为1分,记作“１′”，１′的

为1秒,记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制．

1周角＝3６０°

1平角=18０°

1°

＝６0′,1′＝60″.

在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减，不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于６0时要向高一位进位．

（1）把25.７2°

分别用度、分、秒表示

（2）把4５°

12′3０″化成度

【思路点拨】第

（1）题中２5.72°

中含有两部分2５°

和0.72°

，只要把0.72°

化成分、秒即可．第

（2）题中，45°

12′30″含有三部分４５°

１2′和３0″,其中45°

已经是度，只要把12′和30″化成度即可.

解：

（1）0.72°

＝0.7２×

60′＝43．2′,０.2′=0.２×

6０″=12″，

所以2５.72°

=25°

４３′１2″．

　　（２）

　　所以45°

12′30″≈45.21°

【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．

【变式】

（1）把26.2９°

转化为度、分、秒表示的形式;

（2）把３3°

24′36″转化成度表示的形式.

【答案】

（1）2６.2９°

=２６°

+０.２9°

=26°

+0.29×

６0′=2６°

+１7．4′

＋１７′+０.４×

60″=26°

17′+24″＝26°

１7′24″

（２）３3°

24′36″＝3３°

+2４′+3６×

＝3３°

+２4′+0．６′

＝３3°

+2４.６′=３3°

+2４．６×

=３3.41°

【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位,都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。

3、已知:

∠A＝50º

24’，∠

B＝50.24º

∠C＝５０º

14’24”,那么下列各式正确的是（）

A、∠A>

∠B

>

∠C　B、∠A>

∠Ｂ＝∠C　C、∠Ｂ＞∠C>

∠A　　Ｄ、∠B=∠Ｃ>

∠A

2.角的比较:

角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．

方法1:

度量比较法．先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小．

方法２：

叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．

如比较∠ＡOB和∠A′O′B′的大小：

如下图，由图

（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′;

由图

（2）可得∠ＡＯB＝∠Ａ′O′B′；

由图（3）可得∠AOB>

∠A′O′Ｂ′．

3.角的和、差关系

如图所示，∠AOＢ是∠1与∠2的和，记作：

∠AＯB＝∠1+∠2；

∠1是∠AOB与∠2的差，记作：

∠1＝∠AＯB-∠２.

４.角平分线

从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示,OC是∠AOB的角平分线,∠ＡOB＝２∠AOC=２∠BＯＣ，

∠ＡＯＣ＝∠BOC=

∠ＡOB．

由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

如图所示，已知ＯC平分∠ＢOD，且∠BOC＝20°

ＯB是∠AＯD的平分线,求∠ＡＯＤ的度数.

因为ＯＣ平分∠ＢOD，且∠ＢOC=20°

　所以∠BOD＝2∠BOC=2×

2０°

=4０°

　又OB是∠AOD的平分线,

所以∠AOＤ＝2∠BOＤ＝２×

40°

＝80°

【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点:

若ＯB是∠AOC的平分线,则①∠AOB=∠BOC=

∠ＡOC；

②∠ＡOＣ＝2∠ＡOＢ＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．

【变式】已知:

如图，ＯM是∠AOB的平分线，ＯN是∠BOC的平分线，∠AＯC＝80︒，求:

∠ＭON.

【答案】∵OＭ平分∠ＡOB，OＮ平分∠COB,

∴∠ＭＯB=

∠AＯB,∠BOＮ=

∠ＢＯC.（角平分线的定义）

∴∠ＭON=∠ＭOB+∠BON

　　　=

∠AOB+

∠ＢOC＝

（∠AＯB+∠BOC）

　　=

∠AOC=

８0︒＝40︒．

即∠MON=40︒.

图中,∠ＡOＢ＝∠BＯC=∠ＣＯＤ=∠DＯＥ，则有

（1）∠　　＝4∠AＯB　　　

（2）∠=∠　＝3∠ＢOC

（3）∠=∠　　=∠=1／2∠ＡOE

（４）∠　　＝∠　=∠COE=1/2∠　=２／3∠　　=2／3∠　

如图,已知∠AOＢ=９0°

∠ＢＯC=3０°

，OＭ平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（１）求∠MＯＮ的度数;

（2）如果已知中∠AＯB＝８０°

，其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）如果已知中∠BOC＝60°

其他条件不变,求∠MON的度数；

（4）从

（1）、

（2）、（3）中你能看出有什么规律？

（1）因ＯM平分∠ＡＯC,所以∠MOＣ＝

∠AOC。

又ON平分∠BOC,所以∠NOＣ＝

∠BOC。

所以∠MON＝∠MOC－∠NOＣ＝

∠AOC－

∠BＯC＝

∠AOＢ。

而∠ＡOB=90°

，所以∠MOＮ＝4５°

（2）当∠ＡOB=８0°

，其他条件不变时，∠MON=

80°

=40°

（3）当∠ＢOＣ=60°

，其他条件不变时，∠MON=４5°

（4）分析

（1）、

（2）、（3）的结果和

（1）的解答过程可知：

∠MＯN的大小总等于∠ＡOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关。

OM是∠AOB的平分线，射线OＣ在∠BＯM内,ON是∠BＯC的平分线,已知∠AOC=８0º

，那么∠ＭON的度数是多少?

　　解:

已知∠ＡOC与∠ＡＯB的和是１80度，ＯＭ、OＮ分别是∠ＡOC、∠AOＢ的平分线,且∠MOＮ=40度，试求∠ＡOC和∠AOB的度数　　　　

设∠ＡON＝∠ＢON＝ｘ，∠BOM=40°

-x,∠COM＝40°

＋ｘ

∠AOC+∠AOB=180°

∠AOC=2∠ＣＯM=2（40°

+x）

∠AOB＝2AＯN＝２ｘ

８0°

+2ｘ＋２x=180°

x=２５°

∠A0C=１30°

，∠ＡＯB=50°