数学问题之百分数与配比问题文档格式.docx
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设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×
(1+30%)=1.3.其中
80%的卖价是1.3×
80%,
20%的卖价是1.3÷
2×
20%.
因此全部卖价是
1.3×
80%+1.3÷
2×
20%=1.17.
实际获得利润的百分数是
1.17-1=0.17=17%.
这批笔记本商店实际获得利润是17%.
例3有一种商品,甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜10%.甲店按20%的利润来定价,乙店按15%的利润来定价,甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元?
设乙店的进货价是“1”,甲店的进货价就是0.9.
乙店的定价是1×
(1+15%),甲店的定价就是0.9×
(1+20%).
因此乙店的进货价是
11.2÷
(1.15-0.9×
1.2)=160(元).
甲店的进货价是
160×
0.9=144(元).
甲店的进货价是144元.
设乙店进货价是1,比设甲店进货价是1,计算要方便些.
例4开明出版社出版的某种书,今年每册书的成本比去年增加10%,但是仍保持原售价,因此每本利润下降了40%,那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少?
设去年的利润是“1”.
利润下降了40%,转变成去年成本的10%,因此去年成本是40%÷
10%=4.
在售价中,去年成本占
因此今年占80%×
(1+10%)=88%.
今年书的成本在售价中占88%.
因为是利润的变化,所以设去年利润是1,便于衡量,使计算较简捷.
例5一批商品,按期望获得50%的利润来定价.结果只销掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品,商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润,是原来的期望利润的82%,问:
打了多少折扣?
设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.
现在出售70%商品已获得利润
0.5×
70%=0.35.
剩下的30%商品将要获得利润
82%-0.35=0.06.
因此这剩下30%商品的售价是
1×
30%+0.06=0.36.
原来定价是1×
30%×
(1+50%)=0.45.
因此所打的折扣百分数是
0.36÷
0.45=80%.
剩下商品打8折出售.
从例1至例5,解题开始都设“1”,这是基本技巧.设什么是“1”,很有讲究.希望读者从中能有所体会.
例6某商品按定价出售,每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个,所能获得的利润,与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元?
按定价每个可以获得利润45元,现每个减价35元出售12个,共可获得利润
(45-35)×
12=120(元).
出售8个也能获得同样利润,每个要获得利润
120÷
8=15(元).
不打折扣每个可以获得利润45元,打85折每个可以获得利润15元,因此每个商品的定价是
(45-15)÷
(1-85%)=200(元).
每个商品的定价是200元.
例7张先生向商店订购某一商品,共订购60件,每件定价100元.
张先生对商店经理说:
“如果你肯减价,每件商品每减价1元,我就多订购3件.”商店经理算了一下,如果差价4%,由于张先生多订购,仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少?
减价4%,按照定价来说,每件商品售价下降了100×
4%=4(元).因此张先生要多订购4×
3=12(件).
由于60件每件减价4元,就少获得利润
4×
60=240(元).
这要由多订购的12件所获得的利润来弥补,因此多订购的12件,每件要获得利润
240÷
12=20(元).
这种商品每件成本是
100-4-20=76(元).
这种商品每件成本76元.
二、各种各样的问题
百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.
例8小明训练3000米赛跑,如果速度提高5%,那么时间缩短百分之几?
(百分数保留一位小数.)
设原来的速度是“1”.
时间缩短的百分数是
也就是
时间缩短了4.8%.
从后一算式可以看出,无论是多少米赛跑,速度提高5%,时间就缩短了4.8%.换一句话说,考虑这一问题,与距离无关.
例9采了10千克蘑菇,它们的含水量为99%,稍经晾晒后,含水量下降到98%.晾晒后的蘑菇重多少千克?
晾晒前后蘑菇里的干物质(除了水分以外的其他成分)的重量是不变的.干物质的重量是
10×
(1-99%)=0.1(千克).
晾晒后,干物质将占总重量的(1-98%).此时蘑菇重
0.1÷
(1-98%)=5(千克).
晾晒后蘑菇重5千克.
这一例题的答案是否使你感到意外?
下一例题可以说是例9的补充.
例10有盐水若干升,加入一定量水后,盐水浓度降到3%,又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2%,再加入同样多的水,此时盐水浓度是多少呢?
又问未加水时盐水浓度是多少?
关键是先算出每次加多少水.
浓度为3%,也就是盐3份,水97份,共100份.浓度下降为2%,原来3份,就成为2%,加水后总共是
3÷
2%=150(份).
因此加入的水是150-100=50(份).
第三次加水后,浓度是
未加入水时的浓度是
三次加水后浓度是1.5%,未加水时浓度是6%.
例11把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少?
设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等,一边减少了20%,另一边将增加
所以正方形的边长是
2÷
25%=8(米).
正方形的面积是
8×
8=64(平方米).
正方形面积是64平方米.
例12有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放入16块水果糖后,奶糖就只占25%.问这堆糖中奶糖有多少块?
奶糖占25%,其他糖果就是奶糖的
(100-25%)÷
25%=3(倍).
原来其他糖果只有
1-45%=55%.
放入16块水果糖后是
45%×
3=135%.
因此奶糖的块数是
16÷
(135%-55%)×
45%=9(块).
这堆糖中,奶糖有9块.
例13有两包糖果,第一包的粒数与第二包粒数之比是2∶5.在第一包中奶糖占30%,在第二包中其他糖占42%,如果把两包糖合在一起,奶糖所占的百分数是多少?
设第一包为2份,第二包为5份.
第一包中奶糖是2×
30%=0.6(份).
第二包中奶糖是5×
(1-42%)=2.9(份).
合起来后,奶糖占
(0.6+2.9)÷
(2+5)=50%.
合在一起,奶糖占50%.
这是一个典型问题,与第五讲第二节中求平均数,做法是一致的.
例14早上水缸注满了水,白天用去了其中的20%,傍晚又用去27升,晚上用去剩下水的10%,最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水?
白天和傍晚用去水后剩下
1-20%=80%少27(升)
晚上用去水是
80%×
10%=8%少27×
10%=2.7(升).
白天、傍晚、晚上总共用去水
20%+8%再加(27-2.7)升,
它应该是50%少1升.
因此50%-(20%+8%)是(27-2.7)+1升.
早上水缸的水是
(27-2.7+1)÷
(50%-20%-8%)=115(升).
早上注入水缸中的水是115升.
三、浓度和配比
一碗糖水中有多少糖,这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水,这就是配比问题.在考虑浓度和配比时,百分数的计算扮演了重要的角色,并产生形形色色的计算问题,这是小学数学应用题中的一个重要内容.
从一些基本问题开始讨论.
例15基本问题一
(1)浓度为10%,重量为80克的糖水中,加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水?
(2)浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%的糖水,需加多少克糖?
(1)浓度10%,含糖80×
10%=8(克),有水80-8=72(克).
如果要变成浓度为8%,含糖8克,糖和水的总重量是8÷
8%=100(克),其中有水
100-8=92(克).
还要加入水92-72=20(克).
(2)浓度为20%,含糖40×
20%=8(克),有水40-8=32(克).
如果要变成浓度为40%,32克水中,要加糖x克,就有
x∶32=40%∶(1-40%),
例16基本问题二
20%的食盐水与5%的食盐水混合,要配成15%的食盐水900克.问:
20%与5%食盐水各需要多少克?
20%比15%多(20%-15%),5%比15%少(15%-5%),多的含盐量
(20%-15%)×
20%所需数量
要恰好能弥补少的含盐量
(15%-5%)×
5%所需数量.
画出示意图:
相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
需要浓度20%的600克,浓度5%的300克.
这一例题的方法极为重要,在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.
例17某人到商品买红、蓝两种笔,红笔定价5元,蓝笔定价9元.由于买的数量较多,商店就给打折扣.红笔按定价85%出售,蓝笔按定价80%出售.结果他付的钱就少了18%.已知他买了蓝笔30支,问红笔买了几支?
相当于把两种折扣的百分数配比,成为1-18%=82%.
(85%-82%)∶(82%-80%)=3∶2.
按照基本问题二,他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
设买红笔是x支,可列出比例式
5x∶9×
30=2∶3
红笔买了36支.
配比问题不光是溶液的浓度才有的,有百分数和比,都可能存在配比.要提请注意,例17中是钱数配比,而不是两种笔的支数配比,千万不要搞错.
例18甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升,混合后纯酒精含量为63.25%.问第一次混合时,甲、乙两种酒精各取多少升?
利用例16的方法,原来混合时甲、乙数量之比是
后一次混合,甲、乙数量之比是
这与上一讲例14是同一问题.都加15,比例变了,但两数之差却没有变.
5与2相差3,5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2,3∶5中前、后两项都乘3,就把比的份额统一了,即
现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份,每份是3.原来这
第一次混合时,取甲酒精12升,乙酒精30升.
例19甲容器中有8%的食盐水300克,乙容器中有12.5%的食盐水120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水?
要使两个容器中食盐水浓度一样,两容器中食盐水重量之比,要与所含的食盐重量之比一样.
甲中含盐量:
乙中含盐量
=300×
8%∶120×
12.5%
=8∶5.
现在要使
(300克+倒入水)∶(120克+倒入水)=8∶5.
把“300克+倒入水”算作8份,“120克+倒入水”算作5份,每份是
(300-120)÷
(8-5)=60(克).
倒入水量是60×
8-300=180(克).
每一容器中倒入180克水.
例20甲容器有浓度为2%的盐水180克,乙容器中有浓度为9%的盐水若干克,从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水,使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问:
(1)现在甲容器中食盐水浓度是多少?
(2)再往乙容器倒入水多少克?
(1)现在甲容器中盐水含盐量是
180×
2%+240×
9%=25.2(克).
浓度是
25.2÷
(180+240)×
100%=6%.
(2)“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”,也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水,所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水240克后,乙的浓度仍是9%,要含有25.2克盐,乙容器还剩下盐水25.2÷
9%=280(克),
还要倒入水420-280=140(克).
(1)甲容器中盐水浓度是6%;
(2)乙容器再要倒入140克水.
例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半,得到含
乙两种含金样品中含金的百分数.
因为甲重量增加,合金中含金百分数下降,所以甲比乙含金少.
用例17方法,画出如下示意图.
因为甲与乙的数量之比是1∶2,所以
(68%-甲百分数)∶(乙百分数-68%)
=2∶1
=6∶3.
注意:
6+3=2+7=9.
那么每段是
因此乙的含金百分数是
甲的含金百分数是
甲含金60%,乙含金72%.
用这种方法解题,一定要先弄清楚,甲和乙分别在示意图线段上哪一端,也就是甲和乙哪个含金百分数大.