XX届高考数学知识立体几何初步复习讲义Word格式.docx
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（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
分析：
准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。
（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
例2．是正△ABc的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABc的面积为_______________。
解析：
。
点评：
该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。
特别底和高的对应关系。
例3．
（1）画出下列几何体的三视图
（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
（1）这两个几何体的三视图分别如下：
（2）该几何体为一个正四棱锥。
画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。
一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。
物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。
而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。
左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。
据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。
2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。
水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2&
#8226;
r。
恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。
故。
答案为。
本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△ABc中，AB=2，Bc=1.5，∠ABc=120°
（如图所示），若将△ABc绕直线Bc旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。
4．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是__。
5．三棱锥中，，其余棱长均为1。
（1）求证：
；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
解：
（1）取中点，∵与均为正三角形，
∴，
∴平面。
∴
当平面时，三棱锥的高为，
此时
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心o1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解:
（1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：
即,
所以母线和底面所成的角为
设截面与圆锥侧面的交线为moN，
其中o为截面与Ac的交点，则oo1//AB且
在截面moN内，以oo1所在有向直线为y轴，o为原点，建立坐标系，
则o为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，
点N的坐标为（R，－R），代入方程得：
R2=－2p（－R），
得：
R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明：
将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向.
第2课
平面的性质与直线的位置关系
．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是
（3）
（1）∵，∴．
（2）∵，∴．
（3）∵，∴．
（4）∵，∴．
2．下列推断中，错误的是（4）
（1）
（2），A,B,c不共线重合
（4）
3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×
”
（1）空间三点可以确定一个平面（
）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（
（3）两条直线可以确定一个平面（
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（
（5）两条相交直线可以确定一个平面（
（6）三条平行直线可以确定三个平面（
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（
⑴×
⑵×
⑶×
⑷√⑸√⑹×
⑺×
⑻×
4．如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是：
条
5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A&
Icirc;
a，D&
a，B&
b，E&
c
求证：
BD和AE是异面直线
证明：
假设__
共面于g，则点A、E、B、D都在平面_
_内
QA&
a，∴__&
Igrave;
γ.
QP&
a，∴P&
__.
b，B&
b，P&
c，E&
∴_
_&
g，
__&
g，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：
假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面g内。
∵A&
a，∴a&
g.
∵P&
a，P&
c.
∴b&
g，c&
g，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
例1．已知，从平面外一点引向量
，
四点共面；
（2）平面
平面．
证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
法一：
（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
所以，平面平面．
法二：
（1）
同理
又
（2）由
（1）知：
，从而可证
同理可证，所以，平面平面．
熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例2．已知空间四边形ABcD.
对角线Ac与BD是异面直线;
若Ac⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,Bc,cD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
若AB＝Bc＝cD＝DA,作出异面直线Ac与BD的公垂线段.
证明两条直线异面通常采用反证法。
（反证法）假设Ac与BD不是异面直线，则Ac与BD共面，
所以A、B、c、D四点共面
这与空间四边形ABcD的定义矛盾
所以对角线Ac与BD是异面直线
∵E,F分别为AB,Bc的中点,∴EF//Ac,且EF=Ac.
同理HG//Ac,且HG=Ac.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为Bc,cD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线Ac与BD所成的角.
∵Ac⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
作法取BD中点E,Ac中点F,连EF,则EF即为所求.
在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：
四边形是平行四边形
简证：
由可以证得≌
所以
又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
例4：
如图，已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
（Ⅰ）因为，所以．
同理．
又，故平面．
（Ⅱ）平面平面。
证明如下：
设与平面的交点为，
连结、．因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．故平面平面．
．判断题（对的打“√”，错的打“×
”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条
（
（2）两线段AB、cD不在同一平面内，如果Ac=BD，AD=Bc，则AB⊥cD（）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60&
ordm;
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直
（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
2．定点P不在△ABc所在平面内，过P作平面α，使△ABc的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有
个。
3．给出以下四个命题：
（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；
（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；
（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；
（4）两两相交的三条直线共面。
其中所有正确命题的序号是
4．如图，已知（A,B不重合）
过A在平面α内作直线Ac，过B在平面β内作直线BD。
Ac和BD是异面直线。
（反证法）若Ac和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：
平面α和γ都过Ac和Ac外一点B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以Ac和BD是异面直线。
第3课
空间中的平行关系
．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是
异面或相交
2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l
垂直
4.已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥ca∥b；
②a∥r，b∥ra∥b；
③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；
⑤a∥c，α∥ca∥α；
⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正确的命题是
①④
例1．如图，在四面体ABcD中，截面EFGH是平行四边形．
AB∥平面EFG．
∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在Bc，BD，DA，Ac上．
∴EH
面ABc，GF
面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又∵EH
面BAc，面ABc∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2．如图，在正方体ABcD—A1B1c1D1中，点N在BD上，点m在B1c上，并且cm=DN.
求证:
mN∥平面AA1B1B.
“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采用任何一种转化方式。
法1：
把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与mN平行，如图所示作平行线即可。
法2：
连cN并延长交直线BA于点P，
连B1P，就是所找直线，然后再设法证明mN∥B1P.
法3：
把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过m作mQ//BB1交Bc于B1，连NQ,则平面mNQ与平面ABB1A1平行，
从而证得mN∥平面ABB1A1.
证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（3）。
（1）若则
（2）若则
（3）若则
（4）若、与所成的角相等，则
2.设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是
（2）
（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3．关于直线a、b、l及平面m、N，下列命题中正确的是（4）
（1）若a∥m，b∥m，则a∥b
（2）若a∥m，b⊥a，则b⊥m
（3）若am，bm，且l⊥a，l⊥b，则l⊥m
（4）若a⊥m，a∥N，则m⊥N
4．“任意的，均有”是“任意，均有”的
充要条件
5.在正方体Ac1中，过A1c且平行于AB的截面是
面A1B1cD
.
6．在长方体ABcD—A1B1c1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,cc1相交于E,F两点，则四边形EBFD!
的形状为
平行四边形
7.已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明
连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点
（1）求证：
（2）若，，求异面直线与所成的角的大小
略证：
（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
:
连接Ac并取其中点为o，连接om、oN，则om平行且等于Bc的一半，oN平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，om=2，oN=
所以，即异面直线与成的角
9．两个全等的正方形ABcD和ABEF所在平面相交于AB，m∈Ac，N∈FB，且Am=FN，求证：
mN∥平面BcE。
证法一：
作mP⊥Bc，NQ⊥BE，P、Q为垂足，
则mP∥AB，NQ∥AB。
∴mP∥NQ，又Am=NF，Ac=BF，
∴mc=NB，∠mcP=∠NBQ=45°
∴Rt△mcP≌Rt△NBQ
∴mP=NQ，故四边形mPQN为平行四边形
∴mN∥PQ
∵PQ平面BcE，mN在平面BcE外，
∴mN∥平面BcE。
证法二：
如图过m作mH⊥AB于H，则mH∥Bc，
连结NH，由BF=Ac，FN=Am，得
∴NH//AF//BE
由mH//Bc,NH//BE得:
平面mNH//平面BcE
第4课
空间中的垂直关系
．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的
必要
条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是
平行或相交
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内
5．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等。
例1．如图,在四棱锥P—ABcD中,底面ABcD是正方形,侧棱PD⊥底面ABcD,PD=Dc,E是Pc的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD.
本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
（1）连结Ac,Ac交BD于o,连结Eo.
∵底面ABcD是正方形,∴点o是Ac的中点
在中,Eo是中位线,∴PA//Eo
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA//平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABcD且底面ABcD,∴
∵PD=Dc,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边Pc的中线,
∴.
①
同样由PD⊥底面ABcD,得PD⊥Bc.
∵底面ABcD是正方形,有Dc⊥Bc,∴Bc⊥平面PDc.
而平面PDc,∴.
②
由①和②推得平面PBc.
而平面PBc,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABc为正三角形，Ec⊥平面ABc，BD∥cE，cE＝cA＝2BD，m是EA的中点，
（1）DE＝DA；
（2）平面BDm⊥平面EcA；
（3）平面DEA⊥平面EcA。
（1）证明DE＝DA，可以通过图形分割，证明△DEF≌△DBA。
（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由
（1）知Dm⊥EA，取Ac中点N，连结mN、NB，易得四边形mNBD是矩形。
从而证明Dm⊥平面EcA。
（1）如图，取Ec中点F，连结DF。
∵
Ec⊥平面ABc，BD∥cE，得DB⊥平面ABc。
DB⊥AB，Ec⊥Bc。
BD∥cE，BD＝cE＝Fc，
则四边形FcBD是矩形，DF⊥Ec。
又BA＝Bc＝DF，∴
Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE＝DA。
（2）取Ac中点N，连结mN、NB，
m是EA的中点，∴
mN
Ec。
由BD
Ec，且BD⊥平面ABc，可得四边形mNBD是矩形，于是Dm⊥mN。
DE＝DA，m是EA的中点，∴
Dm⊥EA．又EA
mN＝m，
Dm⊥平面EcA，而Dm
平面BDm，则平面EcA⊥平面BDm。
（3）∵
Dm⊥平面EcA，Dm
平面DEA，
平面DEA⊥平面EcA。
面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱ABc—A1B1c1中，Ac＝Bc＝1，
∠AcB＝90°
，AA1＝，D是A1B1中点．
求证c1D⊥平面A1B；
（2）当点F在BB1上什么位置时，
会使得AB1⊥平面c1DF？
并证明你的结论。
（1）由于c1D所在平面A1B1c1垂直平面A1B，只要证明c1D垂直交线A1B1，由直线与平面垂直判定定理可得c1D⊥平面A1B。
（2）由
（1）得c1D⊥AB1，只要过D作AB1的垂线，它与BB1的交点即为所求的F点位置。
（1）如图，∵
ABc—A1B1c1是直三棱柱，
A1c1＝B1c1＝1，且∠A1c1B1＝90°
又D是A1B1的中点，
c1D⊥A1B1.∵
AA1⊥平面A1B1c1，c1D
平面A1B1c1，
AA1⊥c1D，∴
c1D⊥平面AA1B1B。
（2）解：
作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结c1F，则AB1⊥平面c1DF，点F即为所求。
c1D⊥平面AA1BB，AB1
平面AA1B1B，
c1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF
c1D＝D，∴
AB1⊥平面c1DF。
本题
（1）的证明中，证得c1D⊥A1B1后，由ABc—A1B1c1是直三棱柱知平面c1A1B1⊥平面AA1B1B，立得c1D⊥平面AA1B1B。
（2）是开放性探
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