离散数学课后习题答案第三章Word文件下载.docx
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xAy^3}.
A={1,23,4}：
b）（<
|2^x.y-7IIx除烬yiA
111A=MneNAn^lO}
c）<
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3}.这世A-（0,L23.-»
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d）（<
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|x.y足"
.喷的}.这T.
A={2・3・4・5.6}
Wz
a）R={<
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1gVIAv1,3>
2.0>
2,1>
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2.3>
3.0>
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J
a）
b）R={<
2,0>
2,4>
3.«
・
4.0>
4,4>
5.0>
5,5>
7.0>
7,7>
3-6.1分析集介A={1・2.3}I.的卜述五个关筑，
（1）
R={<
1.1>
.<
1.
2>
・
3>
3,3>
}：
（2）
S-{<
1・1、>
・V
2、・
v2・
1>
V2・2>
3.3>
}s
（3）
T={V1・1>
・Vl・
2.
V2・3>
⑷
0=空Xi/R,
（5）
AXA二个MiXifU
刿斯a中的r：
述黄系址否为皿反的.b）对称的.C）珂传通的.d>
反对你的.
W（1>
R圧可传递和反对称的.
（2）SftfIJK•对称和町传递的.
（3）T於反对称的.
⑷空关第足对称.町传递和反対称的.
（5）个域关廉兄门反•对你和町便H的・
3-6.2给定疋{1・2.3.4}.巧氓。
卜.的关系R.nR={<
l-3>
・Vl・4A・<
2.3>
.V2・4>
3r4A}
a）住AxA的坐杯E-亡出
它的关Jfiffi：
b>
x■/）自反的in对称的ihx传
递的.iv）反对称的叫？
R足町传it的的和反对称的Ml不足门反的和对称的.
3-6.3举出A=U・2・3}匕关系R的例。
ttHH/fb述性帧•
a）既足对你的・乂足反对称的：
b）R既不是对称的.乂不尺反时称Ml
c）Rftuf传递的.
a）R={<
2・2>
3・3>
b）R={<
1.2>
2.l>
・V2・3>
c）R={<
1・2A・V2・1>
・Vl・1>
•<
2.2>
・VS・SA}
3-6.4如果关集R和S址Fl反的.対你的和町传递的.证期RHS也於门反.对祢和叩传递的.
证明IQR和S兄X卜的门反的.对称的和町传通的关系.
1）对任ttxex.有V.・x>
eRIx«
xAWS・所以Vjc.xA匕RiS.即RCS住X上足门反的・
2|甘任.色的y^GRAS・gy・y>
GRA<
x.y>
GS.|A|为R4<
IS足对称的.故必ff<
y.x>
GRA<
CS.I4l<
y.«
GRHS.所以ROSffiXI:
足时称的.
3）对任意的Vjc・y>
eRnSA<
y.s>
eRns.则冇
Xt7>
CRA<
jc.y>
GSA<
y.=>
y.二AGS因为R和S足传递的.二〉tRA<
x.2>
es.即Vx・s>
ennS.所以RCS任X上足传通的.
3-6.5给定S={1・2・S・4}和S上:
Xi系$R=（<
1.3>
2.2>
2.1>
3.1>
ift«
R•1建的・找出关系RqR・
使紂艮兄町传递的.还能找出另个
3-7.1设&
和JLttA卜的任倉关艇・说明以下命題的贞賈并予以证明.
a>
若It和&
足门反的.则Jtoft也足自反的：
b>
若R-4UR.M反自反的.则R.O1LIU足反门反的=
c>
K1L4II&
足对陈的・则lto&
也址对称的*
nkinit.足传说的.则儿。
&
也足传递的.
讦明a）对ffj&
aeA.设民和R,兄门反的.則V.a>
€!
L・V.a>
€Ra所以.V.a>
LoR3・11|JRoR.也足自反的.
b〉假-例iflhI：
A=•:
a.b}・^!
G={<
a-b>
}%Ra={Vb・0>
仏和R,足反门反的•fllJUogVa.a>
}.所以RioRaALA上不址反门反的・
MtahiftA={a.b・c}・/fRk={<
a.b>
b.・>
•Vsc>
）.R»
={<
b.c>
cb>
}他和&
足对称的・R4oR,={<
atc>
c.b>
所以.R.oR.不兄对称的.
d）假.例（ahaA={a・b・u}・HRi={<
・<
b.u>
・Vsc>
}.Rs={<
•Vc・a>
•Vb・<
}则仇.心川:
足他迪的.ft!
Re2•:
€>
a-a>
b.a>
}所以.ILoR,不兄传递的.
3-7.2if明若S为集介X止的二元关帝|
"
S足传通的.FII仅<
SoS）GS：
b>
s足n反的.当ii仅半i^s；
c>
iiE«
n5^3-7.3（b）（BPS足反对喃黎歸叫4仅寺sas-cip.
证明"
设S为传递的.«
X.S>
eSoS.则（f&
.V.个yWX・便得Vx・7
AWS・R<
y.s>
eS.
nstt传谨的・Vx.s>
es.所以<
SoS）uS-
反上.设（SoS>
US・v>
esIIjy・S-'
S.则s>
eSoS.IN为<
Sos）us・故vmS>
es.W到s足传递的.
b）设5兄「|反的・令Vhy>
€l.・W1x=y.（HVjc・x>
ES.闪此Vjc・y>
=<
x.x>
es.iffi.gS-
反之.令IxCS・设任憊kWX・<
x.X>
ei,・故v=・x>
es.冈此s足『I反的.
c）对称的.锻止Vx・7>
esns*.则
eSA<
es*^<
x.y>
€SA<
7»
x>
€S
IM为S兄反对林的•Atx-y.
所以Vmy>
-<
x.jc>
el«
.即SCSell.
反之.若sns-clw.«
X-y>
esflVy・3C>
WS・W
Vjc・y>
WS\Vx・y>
3S*
qVm.y>
esns*
=V=・y>
€lx
ittx=y.即S足反对称的.
3-7.3设S为X上的关糸.ifMfJK-S足门反和传il的.則SoS=S・其18为典叫?
证朗ns«
x卜传通关系•由列題3-7.2a>
可知（SoS）uS・
令<
翼・y>
CS.HilKH反11・必冇Vsc.jc>
WS・快I此有Vjc・yAWSoS.
IIPSgSoS.御到S=SoS.
i•理的進不<
.«
fiUX=：
l・=・S）・S={<
・V2・2>
・Vl・1>
}-
3-61WWW3-8l中的有向国.«
：
»
•»
和庆系R・并求IHR的门反朗包相对称RJ包解
R«
a.■>
・v・・b>
・<
・vc・b>
r•R>
«
RuIx«
・vb・b>
・vc・c>
・vb・c>
4'
R'
・Ri」R'
・i<
氛•>
•.b>
b.■>
•vb・c>
.vc・b>
3-S2（介44・b・g<
1}A上的关系
.b>
b.«
-<
c.d>
■）用坏Pt运辉和带懈方法求出R的门反・対称、传螺御包：
b）WWarshallW法.求IIIRM传遽闭包.
Vfa>
0100
v,=1010
QQQ|
0000
3-9.1I个元素的条介井有多少不同的划分.
解整效:
可划分为:
4.H3.1-1-2.2*2.1-H1-1.
i*c.s<
r4（种〉
3-9.2设认.九.・・・•人）是荽合A的一个划分.我们定义A上的一个二元关系R.使Va.1>
WR半且仅十•和b在这个划分的同一块中.证明R是门反的.对称的.和传通的。
证明设对任&
a€A.则必”在从使aSAc・冈■与r必可看作在同…块中•故右<
亠・>
€Ro即R是自反的.
设a,b€A.若W<
€R,则a与b必在同一块.故b与a亦在同一块.Vb.■>
€R.即R足对称的.
对任总a,b,c€A.
a,b>
eRA<
b.c>
€R
n（3i）（aSA.AbSA：
）AOj）（bSAjAcSA；
）
n（Si）（3j>
（aSAxAcSAjAbe^nA；
n（3i）（3j>
（aCAtAcCAjAAHAj^O）
n（Hi）Oj）（aS^AcCAjAi^）（Vi^jo^nA^O）n“c在同一块
nG.c>
WR
•・・R传逋
3-10.1Hill和R'
是第令AI的尊侑兀抚・用何子说朝$RUR'
不一定足零价夫駅・ilF刖W4H・2.S}・S^RUR*
R=fVl・l>
3.S>
・VS・X>
・Vl・3>
R‘={<
2.Z>
・VS・S>
・VS・2>
WlRUR*=«
1.丄〉.V2・2>
・V3・S>
・VS・）>
・Vl・S>
3.2>
2-3>
}闪为4lJ<
SA<
S.l>
eS.曲RUR'
BPRUR'
不总
3-10.2uCMill彳个上所仃3价人航的个®
（为上少？
W冈为・exI的尊价X;
抵9X的划分址・■対W的.所以I个AJ<
W<
r»
*
的C（n・94个元iK■介堰厅划分的散II址州冋的・山习IS3-91可旬共肖XS个不问的尊价"
•
3-：
0.3ttmmftS=：
1・亠3.I.5}.找H1S卜的竽价决垠R・此关彖R能产牛划分{{】・2》・（3）.{4・5）}.井賀岀关系禺・
W我们町用如F方法产牛•个零价夫象：
R产U・2）X（1・2}=（<
1-1>
・VI.2>
・V2・1>
!
G=（3}X（3}={<
Ri=“・5）X（I・5}«
（<
4.4>
・V4・5>
5.4>
・VS・5>
R>
umURa«
l.1>
1.：
.V4・i>
.V4・S>
5.5>
K«
MCui|lH・
3-10.4设R址•个「兀X<
1・S={<
I对「巣u・ft<
a.c>
RA<
c.bA・R}・证割打R址一个咎"
r关条・wis也爪，寻价人銅・
UE>
MJIQR址丄I的为价又駅・
対任一x・A・火为R仗▲上门反.所以V*x>
R.IllS>
i£
义.Vat.x>
S.
册以SJt门反的•
2）对任*z.y«
A.V<
.y>
5.WK/fl-M个c・ftW<
x.c>
JtA<
c.y>
•累.因为R址对称.故#h<
y.c>
c.x>
R.lhS的疋义.可知Vy・x>
S.所以S址瀚称的.
3）对任«
x.y.z«
A.«
S.及Vy・z>
S.剤必存冷篥个a・«
x.
ci>
R.Vg・y>
R.由R的传1®
件.町知<
次・y>
R.问理仔在g・使Vy・c：
-€R二：
.二"
・R・由R传遥.对为|Vy・s>
R・WillS——•r
wrd町编紺二〉・s・故S足传堰的.
3-10.5的A・"
AI/CX«
l*JFl<
xyA・Vu."
A・lL
“竹1仪-Ixvsyu・ill^JRIt•个驾价斤星・
证明:
设A上定义的二元关系R为:
xfy>
u,v>
=*
1对任总Vx,y>
WA・因为;
壬•所以
eR
即R是自反的。
2设<
GA»
若
GR=>
-=-=>
-「=>
GR
yvvy
即R是对称的.
3
设任总Vx,y>
GA.<
u,v>
w,s>
GA.对<
x,y>
t<
w,s>
>
GR
=>
故R是传递的.于是R是A上的等价关系。
3-10.6设R是集合A上的对称和传递关系.证明如果对于A中的每一个元素■,在A中同时也存在b,使<
mb>
在R之中.则R是一个尊价关系-
对任总aGA,必存在一个bWA.使得Va,b>
GR.
因为R是传递的和对称的.故有：
6RA<
b,c>
a,c>
eR=>
c,a>
ER
rh<
a,c>
cta>
a,a>
所以RZEA上是口反的.即R是A上的等价关系。
3-10,7设他和R：
是非空集合A上的等价关系.试确定下述各式.哪叫是A上的等价关系•对不是的式子.提供反例证明•
a）（AXA）-R：
:
b）
b）R/t
c）r（RrR.）（即RrR：
的自反闭包〉•
解a）（AXA）■&
不是A上等价关系•例如：
A={a,b）.R产<
b,b>
AXA={<
a.a>
b,a>
btb>
（AXA）-Ri={<
a.b>
所以（AXA）・R：
不是A上等价关系•
b〉设A={a.btc}
R：
a,b>
b,a>
c,b>
a>
b,b>
c,c>
.Vb,b>
c,c>
c,b>
所以&
和R：
足A上等价关系.但R-R：
不是A上等价关系.
c）若R】是A上等价关系.則
a,a>
GR:
a»
a>
WR：
ORi
所以Rf是A上自反的.
若Va.b>
WRf则存在c,使得Va.c>
GR】/\Vc,b>
因Rl对称.故冇
6RxA<
c,a>
eR.=>
WRj
即R】：
是对称的。
若V餌b>
WRMVb,c>
GR；
\则有
eR1ORiA<
W他ORl
（3eJ（<
a,e1>
€R1A<
i,b>
GR.）A（3e-）（<
b,ei>
e.,c>
GR：
eR:
A<
（VR：
传递）
a.c>
即Rf是传递的・
故Rf是A上的等价关系.
d）如b）所设.&
和&
是A上的等价关系，但
r（RrR：
）=（RrR：
）UL
={<
・Vb.b>
不是A上的等价关系。
3-10.8设C•是实数部分非零的全体复数组成的集合.C•卜•的关系R定义为：
（屮bi）R（c+di）oac>
0,证明R是等价关系.并给出关系R的等价类的几何说明.
证明：
⑴对任总非零实数a.^a:
Oo>
（a*bi）R（a^bi）
故R在C•上是自反的。
（2）对任意（a*bi）R（c+di）obc>
0・
Wca=ac/（ko（c+di）R（a*bi）,所以R在C•上是对称的。
（3）设（a十bi）R（c・di）•（c+di）R（u*vi）•则有ac>
OAcu>
若c>
0>
则a>
0Au>
（hoau>
若c<
0・则b<
0au<
0=>
au>
所以（a+bi）R（u+vi）,即R在C•上是传递的.
关系R的等价类.就是复数半面上第一、四鉄限上的点，或第二.三纹限上的点•因为在这两种情况下.任总两个点（a,b）,（c,d）・其横坐标乘积ac>
0.
3-10.9i殳ri和IV是非空集合A上的划分.并设R和R'
分别为由n和rr诱导的等价关系.那么rr细分n的充骐条件是RyR・
若rr细分口・由假设叽则在ru中有某个块s’，便得afbes\因rr细分门,故在门中.必有某个块s.便sus,即atbeS.干是有aRb■即R'
uRo
反之.若RyR・令S•为H'
的一个分块.fia€S\MSNa]讦gxR'
a}
但对毎一个x.IVxR*arRrCR•故xRau闵此{xxRra}c{xxRa}W[a]rc[a]R设S二[ah,则SrCS这就证明了rr细分n.
3-10.io设&
是表示i上的蟆j等价关系，&
是表示I上的模k等价关系.证明I/&
细分I/RJ3且仅为k是j的整数倍。
证明:
山題设R；
|x—y（modj）}
R-={<
x=y«
modk）}
故<
WR；
ox・y=cj（对某个cGI）<
GfL<
x-y=dk（对某个dGI）
a）假设T/広细分I/R”则尽U&
因此<
人0>
€比=>
匕0>
eR;
故k-o=ik=cj（对某个cel）
于足k是j的整敌倍。
b）若对于某个rGEUk=rj则：
Gf^ox^ck（对某个c€I）=>
x-y=crj（对某个ctrei）
€R.
因此.ZR"
于是［/良细分I/Rj
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