完整版实变函数题库集答案.docx
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完整版实变函数题库集答案
实变函数试题库及参考答案本科
、题1．设A,B为集合，则ABUBAUB（用描述集合间关系的符号填写）
2．设A是B的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）
3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集
4．有限个开集的交是开集
5．设E1、E2是可测集，则mE1UE2mE1mE2（用描述集合间关系的符号填写）
n*
6．设E?
n是可数集，则mE=0
7．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?
1，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数
9．设fnxfx，gnxgx，则fnxgnxfxgx
10．设fx在E上L可积，则fx在E上可积
11．设A,B为集合，则BAUAA（用描述集合间关系的符号填写）
12．设A2k1k1,2,L，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）
13．设E?
n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集
14．任意个开集的并是开集
15．设E1、E2是可测集，且E1E2，则mE1mE2
16．设E中只有孤立点，则m*E=0
17．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?
1，Exfxa是可测，则称fx在E上可测
18．可测函数列的下极限也是可测函数
19．设fnxfx，gnxgx，则fnxgnxfxgx
20．设nx是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，则fxdxlimnxdx
EnE
21．设A,B为集合，则ABUBB
22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）
23．设E?
n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集
24．有限个闭集的交是闭集
25．设E?
n，则m*E026．设E是?
n中的区间，则m*E=E的体积
27．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?
1，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测
28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设fnxfx，gnxgxa.e.，则fnxgx
30．设fnx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于fx，由勒维定理，有
fxdxlimfnxdx
EnEn
31．设A,B为集合，则BAIBUA=AUB
32．设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数）
33．设E?
n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集34．任意个闭集的交是闭集
nn***c
35．设E?
n，称E是可测集，如果T?
n，m*Tm*TIEm*TIEc
36．设E是外测度为零的集合，且FE，则m*F=0
37．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?
1，Exafxb是可测，（ab）则称fx在E上可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设fnxfx，gnxgxa.e.，则fnxgnxfxgx
40．设fnxfx，那么由黎斯定理，fnx有子列fnkx，使fnkxfxa.e.于E
41.设A,B为两个集合,则AB__AIBc.（等于）
42.设ER,如果E满足EE（其中E表示E的导集）,则E是闭.
43.若开区间（,）为直线上开集G的一个构成区间,则（,）满（i）（a,b）G（ii）aG,bG
44.设A为无限集.则A的基数A__a（其中a表示自然数集N的基数）答案：
45.设E1,E2为可测集,mE2,则m（E1E2）__mE1mE2.答案：
46.设f（x）是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有E［xf（x）a］是可测集E上的可测函数.
47.设x0是E（R）的内点,则m*E__0.答案
48.设fn（x）为可测集E上的可测函数列,且fn（x）f（x）,xE,则由黎斯__定理可知得,存在fn（x）的子列
a.e
fnk（x）,使得fnk（x）f（x）（xE）.
49.设f（x）为可测集E（Rn）上的可测函数,则f（x）在E上的L积分值不一定存在且|f（x）|在E上不一定L可积.
50.若f（x）是［a,b］上的绝对连续函数,则f（x）是［a,b］上的有界变差函数
51．设A,B为集合，则AUB___（BA）UA答案=52．设ERn，如果E满足E0E（其中E0表示E的内部），则E是开集
53．设G为直线上的开集，若开区间（a,b）满足（a,b）G且aG,bG，则（a,b）必为G的构成区间
54．设A{x|x2n,n为自然数}，则A的基数=a（其中a表示自然数集N的基数）
55．设A,B为可测集，BA且mB，则mAmB__m（AB）答案=
56．设f（x）是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b（ab），都有E［xaf（x）b］是可测集
57．若E（R）是可数集，则mE__0答案=
a.e
58．设fn（x）为可测集E上的可测函数列，f（x）为E上的可测函数，如果fn（x）f（x）（xE），则fn（x）f（x）xE不一定成立
59．设f（x）为可测集E（Rn）上的非负可测函数，则f（x）在E上的L积分值一定存在
60．若f（x）是［a,b］上的有界变差函数，则f（x）必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设E0,1中无理数，则（ACD）
AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点DmE1
2．设E?
n是无限集，则（AB）
AE可以和自身的某个真子集对等
BEa（a为自然数集的基数）
CE
Dm*E0
3．设fx是E上的可测函数，则（ABD）
A函数fx在E上可测
Bfx在E的可测子集上可测
Cfx是有界的
Dfx是简单函数的极限
4．设fx是a,b上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC）
Afx在a,b上可测
Bfx在a,b上L可积
Cfx在a,b上几乎处处连续
Dfx在a,b上几乎处处等于某个连续函数
5．
设E?
n，如果E至少有一个内点，则（BD）
mE可以等于0BmE0CE可能是可数集DE不可能是可数集
6．
设E?
n是无限集，则（AB）
E含有可数子集BE不一定有聚点C
E含有内点DE是无界的
7．
设fx是E上的可测函数，则（
BD）
函数fx在E上可测
fx是非负简单函数列的极限
fx是有界的
8．
设
f
x是a,
b上的连续函数，则（
ABD）
A
f
x
在
a,b
上可测
B
f
x
在
a,b
b
上L可积，且Rf
xdx
L
fxdx
a
b
a,b
C
f
x
在
a,b
上L可积，但Rf
xdx
L
fxdx
a
a,b
D
f
x
在
a,b
上有界
fx在E的可测子集上可测
9．
设Dx是狄利克莱函数，即
x为
x为
0,1
0,1
中有理数，则（BCD）
中无理数
10．设
x几乎处处等于1
x是非负可测函数
n*
E?
n，m*E0，
Dx
则（ABD
几乎处处等于0
是L可积函数
11．
E是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集
设E
n，Ex1xEc，则（AB）E0xEc
当E是可测集时，Ex是可测函数
Ex是可测函数时，E是可测集
D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集
12．设fx是a,b上的连续函数，则（BD）
Afx在a,b上有界
Bfx在a,b上可测
Cfx在a,b上L可积
Dfx在a,b上不一定L可积
13．设fx在可测集E上L可积，则（AC）
Afx，fx都是E上的非负可积函数
Bfx和fx有一个在E上的非负可积
Cfx在E上L可积
Dfx在E上不一定L可积
14．设E?
n是可测集，则（AD）
AEc是可测集BmECE的子集是可测集DE的可数子集是可测集
15．设fnxfx，则（CD）
Afnx几乎处处收敛于fx
Bfnx一致收敛于fx
Cfnx有子列fnx，使fnxfxa.e.于E
Dfnx可能几乎处处收敛于fx
16．设fx是a,b上有界函数，且L可积，则（BD）
Afx在a,b上黎曼可积
Bfx在a,b上可测
Cfx在a,b上几乎处处连续
Dfx在a,b上不一定连续
17.设E{[0,1]中的无理点},则（CD）
（A）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每个点均是聚点（D）mE0
18.若E（R）至少有一个内点，则（BD）
A）m*E可以等于０（B）m*E0（C）E可能是可数集（D）E不可能是可数集
19．
设E
[a,b]是可测集，则
E的特征函数E（x）是（ABC）
A）
[a,b]上的符号函数
C）E上的连续函数
B）
[a,b]上的可测函数
D）[a,b]上的连续函数
20．
21．
A）
C）
设E
f（x）是[a,b]上的有界变差函数
f（x）在[a,b]上几乎处处收敛
{[0,1]中的有理点}，则（AC
B）f（x）是[a,b]上的绝对连续函数
D）f（x）在[a,b]上几乎处处可导
A）E是可数集
C）mE0
B）E是闭集
D）E中的每一点均为E的内点
22．若E（R）的外测度为
0，则（AB）
A）E是可测集
C）E一定是可数集
B）mE0
D）E一定不是可数集
23．设mE
，fn（x）为E上几乎处处有限的可测函数列，
f（x）为E上几乎处处有限的可测函数，如果
设f（x）是[a,b]上的单调函数，则（ACD）
fn
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