高一年段数学培优教材6精Word下载.docx

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sinθ

b=（cosβ

sinβ

，且

a

与b之间有关系式

：

⋅b，其中k＞0．

（1）证明：

（a+b⊥（a-b；

（2）试用k表示a|a-kb|

例3：

已知平面上的三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角都是120，

（1）求证：

（a-b⊥c

（2）若|ka+b+c|>

1,（k∈R，求k的取值范围。

12

例4：

已知向量a=-1,b=（,，存在实数k,t，使得向量x=a+（t-3b,y=-ka+tb,

2k+t2且x⊥y，

（1）试将k表示为t得函数k=f（t；

（2）求得最小值。

t

a例5．已知向量a=（cosx,sinx,b=（sin2x,1-cos2x,c=（0,1,x∈（0,π

（1）向量,b是否共

线？

（2）求函数f（x=|b|-（a+b⋅c的最大值。

例6：

在Rt△ABC中，已知∠A=90，BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，

问PQ与BC的夹角θ取何值时BP⋅CQ的值最大？

并求出这个最大值.

强化训练：

1．已知∆ABC满足AB=AB⋅AC+BA⋅BC+CA⋅CB，则∆ABC的形状是（）

A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形

2．已知,,为非零的平面向量.甲：

a⋅b=a⋅c,乙:

b=c,则甲是乙的（）条件A．充分条件但不是必要B．必要条件但不是充分C．充要条件D．既非充分也非必要

43

3．已知平面上直线l的方向向量e=（-,,点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射

'

影分别是O和A，则OA=λe，其中λ=（）

2

55

A．

115

B．-

C．2

D．－2

4．已知e1,e2是夹角为45的两个单位向量，a=e1+2e2,b=2e1-e2,则a,b的夹角为___________

5．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a⨯b为向量a与b的“向量积”，a⨯b是

一个向量，它的长度|a⨯b|=|a||b|sinθ，如果|a=|

|a⨯b|=______________

3b,=|

|a⋅2b=,，-则

6．对于n个向量a1,a2,a3⋅⋅⋅,,na，,若存在n个不全为零的实数k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得

成立，则称向量k1a1+k2a+⋅⋅⋅+ka=0a,a,a,⋅⋅⋅,a2nn123n,是“线性相关”的。

按此规定，能说

明a1=（1,0,a2=（1,-1,a3=（2,2“线性相关”的实数k1,k2,k3的一组取值为

____________________

7．设向量a=（cos23︒,cos67︒,b=（cos53︒,cos37︒,则a⋅b=___________

3π

8．已知向量m=（1,1，向量n与m的夹角为，且m⋅n=-1，则n=______________

4

9．在∆ABC内求一点P，使AP2+BP2+CP2的值最小。

10．已知a=（1,3,b=（1,1,c=a+λb，是否存在实数λ，使a与c的夹角为锐角？

说明你

的理由。

11．

已知向量a=（cosα,sinα,

π

→

b=（cosβ,sinβ,|a-b|=

513

→→→

5

（1）求cos（α-β的值；

（2）若0<

α<

-<

β<

0,且sinβ

=-

求sinα的值

．已知向量a=（2sinx,cosx,b=x,2cosx,定义函数f（x=a⋅b-1.

（1）求函数f（x的最小正周期；

（2）求函数f（x的单调减区间；

（3）画出函数g（x=

f（x,x∈[-

7π5π

]的图象，由图象研究并写出g（x1212

的对称轴和对称中

心.

参考答案

（1）60

（2）等边三角形（3）如图，联结BO并延长交三角形外接圆于点D，⇒AHCD为⎨

⎩DACH⎧AHDC

∴OH=OA+AH=OA+DC=OA+OC-OD=OA+OC+OB

D

（4）略（5）略例2：

（1）|a|=|b|=1

k2+1

（2）a⋅b=

4k

（2）k2-2k>

0⇒k>

2,k<

7t3-3tk+t217

（1）f（t=

（2）=（t+22-，当t=-2时取最小值-

44t44

例5：

（1）共线；

（2）f（x=-2sin2x+sinx；

f（xmax=

04湖北高考题BP⋅CQ=-a2+a2cosθ，所以当θ=0时，取最大值0强化练习：

1C2B3D

4（0,-1或（-1,0

1

8

56-4,2,1

7

9．设AB=a,AC=b,AP=x，则

222222AP+BP+CP=|x|2+（x-a2+（x-b2=3x-2（a+bx+a+b

1221=3[x-（a+b]2+a+b-（a+b2

33

所以当x

=1（a+b3

时取最小，易证此时点P为三角形ABC的重心。

10．λ∈（-52

0（0,+∞

11．

（1）cos（α-β=3

（2）33

565

．解：

f（x=a⋅b

-1=xcosx+2cos2

x-1

sinx2+

cxos=2

2xπ

6

n（2

.

（1）T=

2π|ω|

=π.

（2）2kπ+

≤2x+

3π2

≤2kπ+2

⇔2kπ+

3

≤2x≤2kπ+

4π3

⇔kπ+

2π6

≤x≤kπ+

（k∈Z

∴函数f（x的单调减区间为[kπ+

kπ+

]（k∈Z.

（3）

从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（

-π

12,0），无对称轴