绝对值化简方法辅导Word格式文档下载.docx
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0，x-2>
0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
另解，将零点值归到零点值右侧部分
当-1≤x<
2时，x+1≥0，x-2<
当x≥2时，x+1>
0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
例题3：
化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
-13时，x+11<
0，x-12<
0，x+13<
0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
当-13<
-11时，x+11<
0，x+13>
0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
当-11<
12时，x+11>
0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6£
当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7£
0，x-12>
0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
1）当x<
2）当-13≤x<
0，x+13≥0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
3）当-11≤x<
12时，x+11≥0，x-12<
4）当x≥12时，x+11>
0，x-12≥0，x+13>
0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
例题4：
化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
解:
令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1
x=2,x=3,x=4
（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
（3）当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间
同学们若不熟练可以针对以上3个例题反复化简
熟练之后再换新的题进行练习
习题：
化简下列代数式
|x-1|
|x-1|+|x-2|
|x-1|+|x-2|+|x-3|
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|
初一学生作业-绝对值中最值问题一
例题1:
1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：
、
1）非负数：
0和正数，有最小值是0
2）非正数：
0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0
-|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，
则|x+m|+n≥n，有最小值是n
-|x+m|+n≤n，有最大值是n
（可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右（n>
0）或者向左（n<
0）平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）
总结：
根据3）、4）、5）可以发现，当绝对值前面是“+”时，代数式有最小值，有“—”号时，代数式有最大值
在没有学不等式的时候，很好的理解（4）和（5）有点困难，若实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了）
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3）问一样
即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3
4）3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：
当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
请同学们总结一下问题
若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？
最大（小）值是多少？
此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？
3）-|x+a|+b有最大（小）值？
含有绝对值的代数式化简问题：
初一学生作业-绝对值中最值问题二
【例题1】：
求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
分析：
我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：
我们发现：
当x<
-1时，|x+1|+|x-2|=-2x+1>
3
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3
当x>
2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>
所以：
可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：
-1≤x≤2
则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
评：
若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？
并求x的取值范围？
一般都出现填空题居多；
若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。
所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值
请总结，若a>
b，则请回答当x在什么范围内时，代数式|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是多少？
【类似习题】求代数式|x-4|+|x-5|的最小值，并确定此时x的取值范围
（1）若|x-2|＞a，求a的取值范围是多少？
（2）若|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？
【分析】：
我们知道|x-2|的最小值是0，则
（1）有0＞a，即可以求出a的范围是a＜0，
（2）0≥a，即a≤0
【解】：
（1）∵不论x为何值时|x-2|≥0
∴|x-2|有最小值是0
∵|x-2|＞a
∴0＞a
∴a＜0
（2）∵不论x为何值时|x-2|≥0
∴|x-2|有最小值是0
∵|x-2|≥a
∴0≥a
∴a≤0
【总结】：
解决本题的关键是很好的理解绝对值的含义及找代数式的最值
【例题2】：
（1）若|x+1|+|x-2|>
a，求a的取值范围是多少？
（2）若|x+1|+|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？
根据绝对值化简可以求出|x+1|+|x-2|的最小值是3，仿照例题1可以求出a的取值范围
（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3
∵|x+1|+|x-2|>
a
∴3>
∴a＜3
（2）
（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3
∵|x+1|+|x-2|≥a
∴3≥a
∴a≤3
【例题3】：
（1）若|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a,求a的取值范围是多少？
（2）若|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a,求a的取值范围是多少？
由绝对值化简可以得出代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，同例题1或例题2可以顺利求出本题a的取值范围
∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25
∴|x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25
∵|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a
∴25＞a
∴a＜25
（2）∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25
∵|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a
∴25≥a
∴a≤25
【练习】：
1.
（1）若|x+3|＞a，求a的取值范围是多少？
（2）若|x+3|≥a，求a的取值范围是多少？
2.
（1）若|x+2|+|x-4|>
（2）若|x+2|+|x-4|≥a，求a的取值范围是多少？
3.
（1）若|x-7|+|x-8|+|x-9|>
（2）若|x-7|+|x-8|+|x-9|≥a，求a的取值范围是多少？
初一学生作业-绝对值中最值问题三
求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可知：
-13时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>
27
当x=-13时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13<
-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<
-x+14<
当x=-11时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=25
当-11<
12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36
25<
x+36<
48
当x=12时
|x+11|+|x-12|+|x+13|=48
12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11
将-11,12，-13从小到大排列为-13<
-11<
12
可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25
先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
分析:
回顾化简过程如下
（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值
根据绝对值的化简过程可以得出
当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10＞6
当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
4＜2x+8≤6
当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
4＜2x-2
＜6
当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3
归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值，并求出此时x的值，并确定此时x的值或者范围？
初一学生作业-乘方最值问题
知识点铺垫：
若a为任意有理数，则a²
为非负数，即a²
≥0,则-a²
≤0
可以判断出当a=0时，a²
有最小值是0，-a²
有最大值是0
问题解决：
例题：
（1）当a取何值时，代数式（a-3）²
有最小值，最小值是多少？
（2）当a取何值时，代数式（a-3）²
+4有最小值，最小值是多少？
（3）当a取何值时，代数式（a-3）²
-4有最小值，最小值是多少？
（4）当a取何值时，代数式-（a-3）²
有最大值，最大值是多少？
（5）当a取何值时，代数式-（a-3）²
+4有最大值，最大值是多少？
（6）当a取何值时，代数式-（a-3）²
-4有最大值，最大值是多少？
（7）当a取何值时，代数式4-（a-3）²
有最大值，最大值是多少？
根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3）²
为非负数，即（a-3）²
≥0，则-（a-3）²
可以进一步判断出最值
解
（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²
有最小值是0
（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²
+4有最小值是4
（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3）²
-4有最小值是-4
（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²
有最大值是4
（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²
+4有最大值是4
（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3）²
-4有最大值是4
（7）4-（a-3）²
可以变形为-（a-3）²
+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，即a=3时，4-（a-3）²
有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）
很好理解掌握a²
即-a²
的最值是解决本题的关键
归纳总结：
若x为未知数，a,b为常数，则
当x取何值时，代数式（x+a）²
+b有最小值，最小值是多少
当x取何值时，代数式-（x+a）²
+b有最大值，最大值是多少
2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
初一学生作业-绝对值+乘方=0
涉及知识点：
x²
=0，则x=0|y|=0，则y=0x与y互为相反数，则x+y=0
根据下列条件求出a和b的值
（1）|a-1|=0
（2）|a-1|+|b-2|=0
（3）3|a-1|+5|b-2|=0
（4）3|a-1|=-5|b-2|
（5）|a-1|与|b-2|互为相反数
我们知道：
若|y|=0，则y=0；
若y为任意有理数,m为常数，则y-m依然为任意有理数，则|y|≥0,|y-m|≥0
两个非负数的和为0，则两个数同时为0，即m≥0且n≥0,且m+n=0，则m=0且n=0
这样我们可以根据以上知识点可以很好的解决本题
（1）∵|a-1|=0∴a-1=0∴a=1
（2）∵|a-1|≥0，|b-2|≥0，且|a-1|+|b-2|=0
∴|a-1|=0且|b-2|=0
∴a-1=0且b-2=0
∴a=1，b=2
（3）∵|a-1|≥0，|b-2|≥0，
∴3|a-1|≥0，5|b-2|≥0
∵3|a-1|+5|b-2|=0
∴3|a-1|=0且5|b-2|=0
∴a=1，b=2
（4）3|a-1|=-5|b-2|可以变形为3|a-1|+5|b-2|=0解法同（3）得a=1，b=2
（5）∵|a-1|与|b-2|互为相反数
∴|a-1|+|b-2|=0
同
（2）解得a=1,b=2
（1）（a-1）²
=0
（2）（a-1）²
+（b-2）²
（3）3（a-1）²
+5（b-2）²
（4）3（a-1）²
=-5（b-2）²
（5）（a-1）²
与（b-2）²
互为相反数
若a为任意有理数，则a-1和b-2仍然为任意有理数，则a²
≥0，（a-1）²
≥0，（b-2）²
≥0
∴模仿例题1可以顺利解决本题
（1）∵（a-1）²
∴a
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