版高考数学理培优增分一轮全国经典版第1章 集合与常用逻辑用语 第3讲简单的逻辑联结词Word文档格式.docx
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∀x>
0,总有(x+1)ex>
1,则綈p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1
B.∃x0>
0,使得(x0+1)ex0≤1
C.∀x>
0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
答案 B
解析 全称命题的否定是特称命题,选B项.
3.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析 特称命题的否定规律是“改变量词,否定结论”,特称命题的否定是全称命题,选B项.
4.[2018·
重庆模拟]已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>
0;
q:
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)
答案 D
解析 依题意,命题p是真命题.由x>
2⇒x>
1,x>
1
x>
2,知“x>
2”的必要不充分条件,故命题q是假命题,则綈q是真命题,p∧(綈q)是真命题.故选D.
5.[课本改编]命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5
答案 C
解析 命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为C.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
含有逻辑联结词的命题的真假
例 1 [2017·
山东高考]已知命题p:
∃x∈R,x2-x+1≥0;
命题q:
若a2<
b2,则a<
b.下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
解析 ∵一元二次方程x2-x+1=0的判别式Δ=(-1)2-4×
1×
1<
0,∴x2-x+1>
0恒成立,
∴p为真命题,綈p为假命题.
∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<
(-2)2,但-1>
-2,
∴q为假命题,綈q为真命题.
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题,p∧q,(綈p)∧q,(綈p)∧(綈q)为假命题.故选B.
触类旁通
“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p,q的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
【变式训练1】 在一次驾照考试中,甲、乙两位学员各试驾一次.设命题p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q
答案 A
解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况:
“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功,乙没有试驾成功”“乙试驾成功,甲没有试驾成功”.故选A.
全称命题、特称命题
命题角度1 全称命题、特称命题的否定
例 2 [2016·
浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<
x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<
C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<
x
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D.
命题角度2 全称命题、特称命题真假的判断
例 3 下列命题中为假命题的是( )
A.∀x∈R,ex>
0B.∀x∈N,x2>
C.∃x0∈R,lnx0<
1D.∃x0∈N*,sin
=1
解析 ex>
0对∀x∈R恒成立,A为真;
当x=0时,x2>
0不成立,B为假;
存在0<
x0<
e,使lnx0<
1,C为真;
当x0=1时,有sin
=1成立,D为真.选B项.
全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.
②要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.
利用复合命题的真假求参数范围
例 4 已知命题p:
关于x的不等式ax>
1(a>
0,a≠1)的解集是{x|x<
0},命题q:
函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
解 由关于x的不等式ax>
0},知0<
a<
1;
由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,
知不等式ax2-x+a>
0的解集为R,
则
解得a>
.
因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,
故
或
解得a≥1或0<
a≤
,
故实数a的取值范围是
∪[1,+∞).
本例条件不变,若p∧q为真,则a的取值范围是________.
答案
解析 由p∧q为真,知p,q都为真,
∴a的取值范围是
根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
【变式训练2】 命题p:
∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4]B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 因为命题p:
∀x∈R,ax2+ax+1≥0,所以命题綈p:
∃x0∈R,ax
+ax0+1<
0,则a<
0或
解得a<
0或a>
4.
核心规律
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:
p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.
3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
满分策略
1.判断命题的真假要注意:
全称命题为真需证明,为假举反例即可;
特称命题为真需举一个例子,为假则要证明全称命题为真.
2.命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;
“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
板块三 启智培优·
破译高考
题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题
[2017·
全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解题视点 解决此题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑分析去判断真假.
解析 由甲说:
“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;
丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;
甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.
答题启示 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.
跟踪训练
a,b,c为三个人,命题A:
“如果b的年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题B:
“如果c不是年龄最小,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄由小到大依次是________.
答案 c,a,b
解析 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它们的逆否命题来看.
由命题A可知,当b不是最大时,则a是最小,所以c最大,即c>
b>
a;
而它的逆否命题也为真,即“若a的年龄不是最小,则b的年龄是最大”为真,即b>
a>
c.
同理,由命题B为真可得a>
c>
b或b>
故由A与B均为真可知b>
c,所以a,b,c三人的年龄大小顺序是:
b最大,a次之,c最小.
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1.[2018·
沈阳模拟]命题“∃x0∈∁RQ,x
∈Q”的否定是( )
A.∃x0∉∁RQ,x
∈QB.∃x0∈∁RQ,x
∈Q
C.∀x∉∁RQ,x3∈QD.∀x∈∁RQ,x3∉Q
解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ,x3∉Q”.
2.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
A.所有奇数的立方都不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方是偶数
C.存在一个奇数,它的立方不是奇数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数
解析 全称命题的否定是特称命题,即“存在一个奇数,它的立方不是奇数”.
3.[2018·
安徽六校素质测试]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则( )
A.∀x∈Q,有x∈PB.∀x∉Q,有x∉P
C.∃x0∉Q,使得x0∈PD.∃x0∈P,使得x0∉Q
解析 因为P∩Q=P,所以P⊆Q,所以∀x∉Q,有x∉P.故选B.
4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,
>
2
解析 当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题.
5.[2018·
湖南模拟]已知命题p:
若x>
y,则-x<
-y;
y,则x2>
y2.在命题①p∧q;
②p∨q;
③p∧(綈q);
④(綈p)∨q中,真命题是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
解析 当x>
y时,-x<
-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>
y时,x2>
y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知,①p∧q为假命题;
②p∨q为真命题;
③p∧(綈q)为真命题;
④(綈p)∨q为假命题.故选C.
6.[2018·
浙江模拟]命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>
n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>
n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>
解析 全称命题的否定是特称命题.选D项.
7.下列说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件
C.命题“∃x0∈R,x
+x0+1<
0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>
0”
D.若“p且q”为假命题,则p,q全是假命题
解析 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;
ab≠0等价于a≠0且b≠0,所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件,B正确;
命题“∃x0∈R,x
0”的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”,C错误;
若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,D错误.综上所述,故选B.
8.已知p:
0,则綈p对应的x的集合为________.
答案 {x|-1≤x≤2}
解析 ∵p:
0⇔x>
2或x<
-1,
∴綈p:
-1≤x≤2.
9.[2018·
河南模拟]若命题“∃x0∈R,使得x
+ax0+a+3<
0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 -2≤a≤6
解析 由命题“∃x0∈R,使得x
0”为假命题,得命题“∀x∈R,都有x2+ax+a+3≥0”为真命题,则Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.
10.对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:
中国非第一名,也非第二名;
乙:
中国非第一名,而是第三名;
丙:
中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.
答案 一
解析 由题可知:
甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
[B级 知能提升]
青岛模拟]下列命题中,是真命题的是( )
A.∃x0∈R,ex≤0
B.∀x∈R,2x>
C.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是
=-1
D.已知a,b为实数,则a>
1,b>
1是ab>
1的充分条件
解析 对于A,对任意x∈R,ex>
0,所以A为假命题;
对于B,当x=2时,有2x=x2,所以B为假命题;
对于C,
=-1的充要条件为a+b=0且b≠0,所以C为假命题;
对于D,当a>
1时,显然有ab>
1,充分性成立,当a=4,b=
时,满足ab>
1,但此时a>
1,b<
1,必要性不成立,所以“a>
1”是“ab>
1”的充分不必要条件,所以D为真命题.故选D.
0,x+
≥4;
∃x0∈(0,+∞),2x0=
,则下列判断正确的是( )
A.p是假命题B.q是真命题
C.p∧(綈q)是真命题D.(綈p)∧q是真命题
解析 p:
∵x>
0,∴x+
≥2
=4,∴p为真命题.
0时,2x>
1,∴q为假命题.
∴p∧(綈q)是真命题.故选C.
3.已知命题p:
方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:
x2-2x+m>
0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)真、綈p真,则实数m的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 由于綈p真,所以p假,则p∧q假,又q∨(p∧q)真,故q真,即命题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<
0,解得-2<
m<
2;
当命题q真时,4-4m<
0,解得m>
1.所以所求的m的取值范围是1<
2.
桂林模拟]给定两个命题:
p:
对任意实数x,都有ax2+ax+1>
0恒成立,q:
函数y=3x-a在x∈[0,2]上有零点,如果(綈p)∧q为假命题,綈q为假命题,求a的取值范围.
解 若p为真命题,则有
或a=0,即0≤a<
4,故当p为真命题时,0≤a<
若q为真命题时,方程3x-a=0在x∈[0,2]上有根.
∵当x∈[0,2]时,有1≤3x≤9,∴1≤a≤9,
即当q为真命题时,1≤a≤9.
∵(綈p)∧q为假命题,∴綈p,q中至少有一个为假命题.
又∵綈q为假命题,∴q为真命题.
∴綈p为假命题,p为真命题.
∴当p,q都为真时,
即1≤a<
故所求a的取值范围是[1,4).
5.已知m∈R,命题p:
对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立;
存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)当a=1,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
解
(1)∵对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,∴(2x-2)min≥m2-3m.即m2-3m≤-2.解得1≤m≤2.
因此,若p为真命题时,m的取值范围是[1,2].
(2)∵a=1,且存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立,
∴m≤x,命题q为真时,m≤1.
∵p且q为假,p或q为真,
∴p,q中一个是真命题,一个是假命题.
当p真q假时,则
解得1<
m≤2;
当p假q真时,
即m<
1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1)∪(1,2].