（2）相位变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω>0且ω≠1）的图像，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
（4）平移变换
对于函数y＝sinx＋b的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点向上（当b>0时）或向下（当b<0时）平行移动|b|个单位长度得到的．
[问题思考]
1．由y＝sin（x＋）的图像如何得到y＝sinx的图像？
提示：
因为y＝sin＋]＝sinx，故要得到y＝sinx的图像只需将y＝sin（x＋）的图像向右平行移动个单位长度即可．
2．由函数y＝sinx的图像到y＝sinx的图像怎样变换？
提示：
把y＝sinx的图像在纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的3倍，得到y＝sinx的图像．
讲一讲
1．已知函数y＝3sin，用五点法画出该函数在一个周期上的图像．
[尝试解答]
（1）列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
（2）描点：
在直角坐标系中描出点（，0），（，3），（，0），（，－3），（，0）．
（3）连线：
将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．
用五点法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像的步骤是：
第一步：
列表
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：
在同一坐标系中描出各点．
第三步：
用光滑曲线连接这些点，即得图像．
练一练
1．用“五点法”作出函数y＝2sin的简图．
解：
（1）列表：
列表时2x＋取值分别为0，，π，，2π，再求出相应的x值和y值.
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
（2）描点．
（3）用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．
利用函数的周期性，把上面所得到的简图向左、右延伸，得到y＝2sin，x∈R的简图．
讲一讲
2．说明y＝2sin＋1的图像是由y＝sinx的图像怎样变换而来的？
[尝试解答] 法一：
（先伸缩后平移）
y＝sinx的图像y＝2sinx的图像
y＝2sin（2x）的图像y＝2sin的图像向上平移1个单位长度,y＝2sin＋1的图像．
法二：
（先平移后伸缩）
y＝sinx的图像y＝2sinxy＝2sin的图像y＝2sin的图像y＝2sin＋1的图像．
1．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移变换：
一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移量的确定．找自变量本身的变换量是关键．
2．对于函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x的变化，向左或向右平移个单位长度．
练一练
2．（浙江高考）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
解析：
选A 变换后的三角函数为y＝cos（x＋1），结合四个选项可得A选项正确．
讲一讲
3．（湖南高考改编）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示．求函数f（x）的解析式．
[尝试解答] 由题设图像知，
周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2，
因为点在函数图像上，
所以Asin＝0，
即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点（0，1）在函数图像上，
所以Asin＝1，得A＝2.
故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
由函数图像求解析式的一般解题方法是：
（1）先根据图像的最高点和最低点，找到振幅，即求A的值；
（2）根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式T＝求出ω的值；
（3）在求初相φ时，确定图像的关键点是第几个是非常重要的，代入x0，使ωx0＋φ等于对应的关键点横坐标的值，如第一关键点对应0，第二关键点对应.
练一练
3．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π，x∈R）的部分图像如图所示，求函数的解析式．
解：
由图像可知，A＝4，＝×＝6－（－2）＝8，
∴ω＝，∴y＝4sin，
又（6，0）在此函数图像上，且为“第一个零点”，
∴＋φ＝0，φ＝－.
所求函数的解析式为y＝4sin.
如图，是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，－π<φ<π）的部分图像，由图中条件，写出该函数的解析式．
[解] 法一：
（平移法）
由图像知，将y＝2sinx的图像向左平移个单位，就得到本题图像，故所求函数的解析式为
y＝2sin，即y＝2sin.
法二：
（单调性法）
由图像可知：
T＝3π＝，得ω＝，
因为点（π，0）在递减的那段上，
所以（π＋φ）∈，k∈Z.
由sin（π＋φ）＝0，得π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<π，所以φ＝.又A＝2，
所以此函数解析式为y＝2sin.
法三：
（起始点法）
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只需找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ，
由图像求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝，又因为A＝2，所以此函数的解析式为
y＝2sin.
法四：
（最值点法）
由图像可得ω＝，又因为A＝2，将最高点坐标代入y＝2sin，得2sin＝2.
所以＋φ＝2kπ＋，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
又－π<φ<π，所以φ＝，
所以此函数的解析式为y＝2sin.
1．函数y＝2sin（2x＋）＋1的最小正周期为（ ）
A. B．π
C．2πD．4π
解析：
选B T＝＝π.
2．最大值是，周期是6π，初相是的三角函数的表达式可能是（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
解析：
选A 由T＝，∴ω＝＝，
∴y＝sin.
3．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：
选D ∵y＝sin＝sin，
∴将函数y＝sin2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
4．把y＝sinx的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍，得________的图像．
解析：
将y＝sinx的图像横坐标缩短到原来的倍得y＝sin3x的图像，纵坐标再缩短为原来的倍得y＝sin3x的图像．
答案：
y＝sin3x
5．（新课标全国卷Ⅱ）函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<π）的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________．
解析：
本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos（2x＋φ）的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos（2x＋φ），又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z），结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
6．已知f（x）＝1＋sin（2x－），画出f（x）在x∈上的图像．
解 ∵－≤x≤，∴－π≤2x≤π
∴－π≤2x－≤π
（1）列表如下：
x
－
－
－
2x－
－π
－π
－
0
π
f（x）
2
1
1－
1
1＋
2
（2）描点连线成图，如图所示
一、选择题
1．函数y＝2sin（－2x＋）的相位和初相分别是（ ）
A．－2x＋，B．2x－，－
C．2x＋，D．2x＋，
解析：
选C ∵y＝2sin（－2x＋）
＝2sin
＝2sin（2x＋），
∴相位和初相分别为2x＋，.
2．（山东高考）将函数y＝sin（2x＋φ）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为（ ）
A.B.
C．0D．－
解析：
选B 把函数y＝sin（2x＋φ）的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
3．要想得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝cos的图像（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：
选A 函数y＝cos可化为y＝sin[＋]＝sin.要想得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin（x＋）的图像向右平移个单位长度．
4．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则（ ）
A．A＝4 B．ω＝1C．φ＝ D．B＝4
解析：
选C 由图像易求得A＝2，B＝2，周期T＝4＝π，即得y＝2sin（2x＋φ）＋2，又x＝时，y＝4，即得sin＝1，对比各选项知C正确．
二、填空题
5．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．
解析：
先伸缩后平移，y＝sin的图像→y＝sin的图像→y＝sin的图像，即y＝sin的图像．
答案：
y＝sin.
6．将函数y＝sin（x＋）的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．
解析：
将函数y＝sin（x＋）的图像向右平移个单位长度后变为函数y＝sin（x－＋）＝sin（x＋），再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y＝sin（x＋）＋2.
答案：
y＝sin（x＋）＋2
7．（天津高考）将函数f（x）＝sinωx（其中ω>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则ω的最小值是________．
解析：
将函数f（x）＝sinωx的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f（x）＝sinω（x－）＝sin（ωx－）．又因为函数图像过点（，0），所以sin（－）＝sin＝0，所以＝kπ，即ω＝2k（k∈Z），因为ω>0，所以ω的最小值为2.
答案：
2
8．为得到
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