春人教版九年级数学中考复习《几何图形的最值及取值范围》专题提升训练附答案.docx

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春人教版九年级数学中考复习《几何图形的最值及取值范围》专题提升训练附答案

2022年春人教版九年级数学中考复习《几何图形的最值及取值范围》

专题提升训练（附答案）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、PO和OA，则△AOP面积的最大值为（　　）

A．4B．C．D．

2．如图，已知⊙O的弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（　　）

A．4B．6C．8D．12

3．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为（　　）

A．B．C．D．

4．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．B．C．D．

5．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.5，0），B（5，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（　　）

A．B．C．D．

6．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（　　）

A．﹣2＜BE≤B．﹣2≤BE＜3C．≤BE＜3D．﹣≤BE＜3

7．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连接CF，若AD＝6．则CF的最大值为（　　）

A．6B．5C．4D．3

8．如图，点P到等边三角形ABC的顶点A、B的距离分别为1和2，则PC的最大值为（　　）

A．3B．5C．3D．

9．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（　　）

A．3.5B．4.5C．4D．3

10．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）

A．2+B．1+C．2+D．2﹣2

11．已知等边三角形ABC的边长为6，正方形EFGH可以绕正方形的中心在三角形ABC内部任意转动，则正方形EFGH的边长的最大值是（　　）

A．B．C．12D．

12．如图，已知正方形ABCD的边长为5，l是过点A的任意一条直线，点M是点D关于直线l的对称点．连接CM，则线段CM长度的最大值是　　．

13．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，则BD的最大值是　　．

14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝8，BC＝12．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，则OC的最大值是　　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以矩形的边AD为边，向上作等边△ADE．点P为AE上一点，过点P分别作矩形相邻两边的平行线，交BC、DE于点M、Q，以PM、PQ为一组邻边作矩形PMNQ，则矩形PMNQ的面积的最大值为　　．（结果保留根号）

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是　　．

17．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是　　．

18．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为　　．

19．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为　　（计算结果不取近似值）．

20．在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值是　　，最小值是　　．

21．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为　　．

22．如图，已知直径为5的⊙O过点O（0，0），A（4，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合）连接MA，作NA⊥MA交ME的延长线于点N，则△AMN的面积最大值是　　．

23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，动弦AB＝2，C是AB的中点，直线ED：

y＝﹣x﹣3与x轴交于E，与y轴交于D，连接EC和DC，则△ECD的面积的最大值为　　．

24．已知：

如图AB是⊙O的直径，AB＝4，点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，求线段CD的最大值为　　．

25．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是　　．

26．【问题背景】

学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：

如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．

该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．

解：

如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．

∵△ABC、△DCE是等边三角形，

∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．

∴∠BCA+∠ACD＝　　+∠ACD，

∴∠BCD＝∠ACE，

∴　　，

∴AE＝BD＝5．

∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．

∵AD＝3，

∴CD＝DE＝　　．

【尝试应用】

如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．

【拓展创新】

如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．

27．（Ⅰ）如图①，△PAM是等边三角形，在边PM上取点B（点B不与点P、M重合），连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，连接BC，MC．

①△MAC可以看作△PAB绕点　　逆时针旋转　　（度）得到的；

②∠PMC＝　　（度）．

（Ⅱ）如图②，△PAM是等腰直角三角形，∠PAM＝90°，AP＝AM＝2，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A转，得到线段AC，旋转角为α，连接PC，BC．

①当α＝90°时，若△PBC的面积为1.5，求PB的长；

②若AB＝，求△PBC面积的最大值（直接写出结果即可）．

28．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：

在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）线段OC的最大值为　　．

【灵活运用】

（3）如图2，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边在BD的右侧作等边△ABD，求AC的最小值．

29．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是⊙A上一动点，点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，连接AF．

（1）求CF长；

（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；

（3）AF的最大值是　　．

30．如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．

（1）求证：

∠BDF＝30°

（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；

（3）如图2，在

（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：

EO的最大值等于BC．

参考答案

1．解：

当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵过P的直线是⊙D的切线，

∴DP垂直于切线，

延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∴OA＝，

∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴＝，

∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，

∴DM＝，

∴PM＝PD+DM＝1+＝，

∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝＝，

故选：

D．

2．解：

延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．

∵AB是直径，

∴∠ATB＝90°，

∵∠APB＝120°，

∴∠BPT＝60°，

∴PT＝PB•cos60°＝PB，

∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，

故选：

C．

3．解：

如图，过点C作CD⊥直线l交l于点D，

则四边形ABCD为矩形，通过操作知，当折叠过点A时，即点M与点A重合时，AP的值最大，

此时记为点P1，易证四边形ABNP1为正方形，

由于AC＝5，BC＝4，

故AB＝＝＝3，

当折叠MN过点C时，AP的值最小，此时记为点P，

由于PC＝BC＝4，AB＝CD＝3，

故PD＝＝，

故此时AP＝AD﹣PD＝4﹣，

线段AP长度的最大值与最小值的差为：

3﹣（4﹣）＝3﹣4+＝﹣1．

故选：

D．

4．解：

如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，

∴C在⊙B上，且半径为2，

取OD＝OA＝4，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OM＝CD，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，

∴BD＝4，

∴CD＝4+2，

∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1；

故选：

C．

5．解：

如图，作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，

由勾股定理得：

OP＝＝5，

∵