中考复习辽宁省盘锦市.docx

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中考复习辽宁省盘锦市

中考复习：

开放性问题

一．知识网络梳理

教育部于1999、2000年接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”。

此后，开放型试题成为各地中考的必考试题。

所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型。

开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性。

开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养。

开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识。

过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力。

题型1条件开放与探索

条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。

题型2结论开放与探索

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。

它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

题型3解题方法的开放与探索

策略开放性问题,一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题,这类问题要求解题者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程。

二、知识运用举例

（一）条件开放

例1.（04苏州）已知（x1,y1），（x2,y2）为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时,y1＜y2,则k的一个值可为（只需写出符号条件的一个k的值）

解:

答案不唯一，只要符合k＜0即可，如k=—1，或k=—2……。

例2.（05深圳市）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__。

D

B

C

例2图

解:

答案不惟一.如:

AB=DC;∠ACB=∠DBC;∠A=∠D=Rt∠….

例3（07南京市）已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一个符合上述条件的点的坐标：

．

答：

，，，，，六个中任意写出一个即可

例4（05梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。

（1）如果，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论。

分析：

这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

解：

（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF

又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF

说明:

考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

例5（06泰州市）已知：

∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=x．

（1）如图

（1）当x取何值时，⊙O与AM相切；

（2）如图

（2）当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．

【解答】

（1）在图

（1）中，当⊙O与AM相切时，设切点为F．

连结OF，则OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN=30°，

∴OF=OA．∴2=（x+2），∴x=2，

∴当x=2时，⊙O与AM相切．

（2）在图

（2）中，过点O作OH⊥BC于H．

当∠BOC=90°时，△BOC是等腰直角三角形，

∴BC==2，

∵OH⊥BC，∴BH=CH，∴OH=BC=．

在Rt△AHO中，∠A=30°，

∴OH=OA，∴=（x+2），∴x=2-2．

∴当x=2-2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．

【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．

（二）、结论开放

例1（05湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足。

由以上两个条件可得________。

（写出一个结论）

解：

∠1=∠2或BD=DC或△ABD≌△ACD等。

例2（04徐州）如图，◎Ol与◎O2相交于点A、B，顺次连结0l、A、02、B四点，得四边形01A02B．

（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪

些性质?

（用文字语言写出4条性质）

性质1．________________________________；

性质2．________________________________；

性质3．________________________________；

性质4．________________________________．

（2）设◎O1的半径为尺，◎O2的半径为r（R>r），0l,02的距离为d．当d变化时，

四边形01A02B的形状也会发生变化．要使四边形01A02B是凸四边形（把四边

形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形）。

则d的取

值范围是____________________________

解：

（1）是开放性问题，答案有许多，如：

性质1：

相交两圆连心线垂直公共弦；

性质2：

相交两圆连心线平分公共弦；

性质3：

线段01A=线段01B；

性质4：

线段02B=线段02A；

性质5：

∠01A02=∠01B02；

等等。

（2）实质是相交两圆的d与R+r的关系，应为R—r＜d＜R+r.

例3（06莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：

PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：

当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？

请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．

答：

对图②的探究结论为__________．

对图③的探究结论为_________．

证明：

如图2．

结论均是：

PA2+PC2=PB2+PD2．

证明：

如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．

∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC

在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2

在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2

在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2

在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2

∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2

PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2

∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．

∴四边形MNCD是矩形．

∴MD=NC．

同理AM=BN．

∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．

即PA2+PC2=PB2+PD2．

【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．

（三）、综合开放

例1（05宁波）如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。

解：

△BCF≌△CBD.△BHF≌△CHD.△BDA≌△CFA.（注意答案不唯一）

证明△BCF≌△CBD.

∵AB=AC.　　∴∠ABC=∠ACB.-

∵BD、CF是角平分线.　　∴∠BCF=∠ACB，∠CBD=∠ABC.

∴∠BCF=∠CBD.又BC=CB.　　∴△BCF≌△CBD.

例2（05江西省）已知抛物线与轴的交点为A、B（B在A的右边），与轴的交点为C.

（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论;

（2）当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形?

若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；

（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：

根据提出问题的水平层次，得分有差异）.

解：

当m=1时，抛物线解析式为y=-+1,可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；

（2）存在。

m=2;（3）是结论开放题，答案有许多，如：

抛物线y=-+1与x轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等。

例3（07福州市）如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：

线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：

有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）

（1）当动点落在第①部分时，求证：

；

（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

解：

（1）解法一：

如图9-1

延长BP交直线AC于点E

∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.

∵∠APB=∠PAE+∠PEA,

∴∠APB=∠PAC+∠PBD.

解法二：

如图9-2

过点P作FP∥AC,

∴∠PAC=∠APF.

∵AC∥BD,∴FP∥BD.

∴∠FPB=∠PBD.

∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD.

解法三：

如图9-3，

∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°

即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,

∴∠APB=∠PAC+∠PBD.

（2）不成立.

（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB.

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.

选择（a）证明：

如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M

∵AC∥BD,

∴∠PMC=∠PBD.

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM,

∴∠PBD=∠PAC+∠APB.

选择（b）证明：

如图9-5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0°.

∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PA