第02章不等式教案10课时Word格式.docx

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0；

3、0<

H≤4；

教学中注意引导学生理解“>

、<

”与“≥，≤”的区别。

知识提炼

数学中经常用下面的等价关系比较实数a，b的大小：

归纳出比较两个实数大小的方法步骤（作差法）：

作差→变形→判断符号→得出结果。

注意作差法比较大小仅仅关注差的符号。

例2：

比较下列各组中两个实数的大小：

练习：

P30练习1。

例3：

已知x是实数，试比较下列两个代数式的大小：

1、3x+1与2x+1

2、2x²

-7x+2与x²

-5x+1

P30练习2。

初步学习运用作差法比较大小，对于例3，在教师的引导下分类讨论。

讨论的过程中可以选择和同学互助的学习方法。

差中含有字母，需要根据字母的取值分类讨论。

在此过程中渗透分类讨论的数学思想方法。

问题解决

某公园的门票每张30元，15人以上（含15人）的团体票八折优惠，那么不足15人时，怎样购票最省钱？

解：

设x人（x<

15）买15人的团体票不比买普通票贵，则有：

0.8×

30×

15≤30x

x≥12

答：

当人数不低于12人时买团体票划算。

课堂小结

1、在具体情境中学习用数学式子表示不等关系；

2、作差法比较两个实数大小。

课堂作业

P30习题第2、3题。

第2课时：

1、掌握不等式的基本性质，能运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题。

2、从学生已有经验出发，让学生经历由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程，培养学生合作交流的意识以及乐于探究的良好思维品质。

不等式的基本性质及运用不等式的基本性质将不等式变形。

不等式的传递性及如何运用作差法证明不等式的传递性。

说明

解下面的不等式，并说明每步的依据。

解不等式，并在说明每步的依据过程中，回顾初中阶段学习的不等式的基本性质

在解具体的不等式的过程中回顾已学知识。

性质归纳

性质1、如果a＞b，那么a+c＞b+c；

性质2、如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

性质3、如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。

归纳性质，并用数学语言表述。

培养学生数学语言表达能力。

问题探究

问题1：

甲、乙、丙三人体检称体重，如果甲比乙重，乙比丙重，那么甲与丙谁重？

归纳：

不等式具有传递性。

性质4、如果a＞b，b＞c，那么a＞c。

问题2：

你能运用作差法证明性质4吗？

在教师的引导下，思考甲与丙谁重，并探究：

如果还知道丙比丁重，那么甲与丁的体重有何关系？

让学生在探究中成为学习的主人，把课堂变为再发现、再创造的乐园。

典例分析

例：

用“＞”或“＜”填空，并说明运用了不等式的那个性质。

1、如果3x+2＞-1，那么3x____-3；

2、如果3x＜6，那么x____2；

3、如果-5x＞10，那么x____-2；

4、如果a＞b＞0，那么3a____3b，

3b____2b，3a____2b。

P31练习第1、2题。

根据性质，得出结论。

对于第4题，在教师的引导下归纳：

两边都是正数的两个同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

注意培养学生的归纳总结能力。

小王一、二月份的工资都比小李一、二月份的工资高，那么小王这两个月的工资总和和小李这两个月的工资总和那个大？

请用数学式子表示这个结论。

工资

一月

二月

小王

3403元

3515元

小李

3218元

3279元

结论：

两个同向的不等式两边分别相加，所等不等式与原不等式同向。

即：

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。

思考交流、归纳结论，并尝试举例验证以加强理解和记忆。

要求学生举例验证，加强理解和记忆。

能像解方程那样把不等式a+b＞c中不等式左边的项b移到不等号右边吗？

a+b＞c?

a＞c-b

在根据已有学习经验得出结论的同时，尝试理论证明。

关注学生用理论解释操作流程的表达能力。

不等式的基本性质及其数学表示。

P32习题第4、5题。

第3课时：

区间

1、理解区间的概念，能用集合的描述法表示给定的区间；

2、掌握区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来；

3、进一步渗透数形结合思想，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。

各类区间的符号表示。

关键是分清开区间、闭区间，掌握区间的数轴表示。

1、分清开区间、闭区间，掌握区间的数轴表示。

2、对符号“∞”的理解，不是具体的数，不能参与运算。

问题引入

我们知道，像一元一次不等式（组）的解集这样的数集，在数轴上的几何表示有的是线段，有的是射线，这与自然数集或其子集在数轴上的表示有何区别？

是否还有其他表示法呢？

例如：

A={x|0＜x＜5}，

B={x|0＜x＜5,x∈N}。

在教师的引导下比较连续的数集和离散的数集，感受变化范围的连续性。

引导学生借助数轴加以理解。

实例探究

下列材料中的变化范围有何共同特征？

1、铁路旅行常识：

随同成人旅行的身

高1.2m～1.5m的儿童，享受半价车票，超过1.5m的应买全票，每名乘客可以免费带一名身高不足1.2m的儿童……

2、城乡居民用电规范：

在早晨7时到

晚上9时之间按正常电价收费，其余时间半价收费。

3、通常维持农作物生命的温度范围大致在-10

℃～50℃，适宜农作物生长的温度范围大致是5℃～40℃，农作物正常发育的温度范围大致是20℃～30℃。

在实际问题中进一步感知连续变化范围，为学习区间作铺垫。

借助实际问题进一步感知连续变化范围。

学习新知

数学上，表示一个连续变化范围常常采用区间。

一般地，区间是指一定范围内的所有实数构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有的点所对应的所有实数。

各种区间的定义、名称、符号及数轴上的表示如下表（a,b∈R，且a＜b）。

定义

名称及符号

数轴表示

{x|a＜x＜b}

（a，b）

开区间

{x|a≤x≤b}

[a，b]

闭区间

{x|a＜x≤b}

（a，b]

左开右闭区间

{x|a≤x＜b}

[a，b）

左闭右开区间

{x|x＞a}

（a，+∞）

无限区间

{x|x≥a}

[a，+∞）

{x|x＜a}

（-∞，a）

{x|x≤a}

（-∞，a]

R

（-∞，+∞）

小题试做

1、用区间表示下列集合：

（1）{x|-2≤x＜7}

（2）{x|x≥6}

（3）{x|x＜3}（4）{x|-4＜x≤-1}

2、用集合的描述法表示下列集合：

（1）（3，7）

（2）[-2，1）

（3）（-∞，3）（4）[-2，+∞）

P35练习第1、3题。

初步运用区间表示由连续的实数构成的集合。

注意借助数轴去比较两种表示方法。

已知集合A=[0,4]，集合B=（-2,3），求A∩B，A∪B。

解析：

将集合A、B表示在数轴上

观察数轴得A∩B=[0，3）A∪B=（-2,4]

用区间表示下列不等式的解集

先解不等式组，再用区间表示不等式的解集。

P35习题1

借助数轴独立思考，交流思考过程，主动回答问题。

教师强调解题过程的规范性，和区间书写的规范性。

问题：

已知集合M=[0，a]，N=[1,15]，如果

，求实数a所在的区间。

合作交流

解决问题

1、谈谈如何用区间表示一个连续的变化范围；

2、谈谈你对“-∞，+∞”的认识。

P35练习第2题，习题第2题。

第4课时：

一元二次不等式

1、理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的图像解法；

2、进一步体会一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系；

3、进一步培养学生的计算技能，在学习一元二次不等式的图像解法的过程中感受数形结合

的数学思想方法。

一元二次不等式的图像解法

指出二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围。

复习引入

1、一元二次方程

的解是

2、二次函数

的图像是一条抛物线，当

时开口向上，当

时开口向下；

对称轴是

，顶点坐标为

，与x轴的交点为

。

一元二次方程和二次函数的相关知识是解一元二次不等式的基础，教师引导学生回顾相关知识。

概念引入

在§

2.1的不等式关系问题（3）中，我们得到不等式x2-x+6＜0,不等式左边是一个关于x的二次式。

一般地，形如ax2+bx+c＞0（≥0）或ax2+bx+c＜0（≤0）的不等式（期中a≠0），叫做一元二次不等式。

满足一元二次不等式的未知数的取值范围，叫做这个不等式的解集。

如何解一元二次不等式呢？

引出概念，并提出如何解一元二次不等式呢？

探究：

观察二次函数y=x2-x+6的图像，并回答下列问题：

（1）当y=0时，x取什么值？

（2）二次函数y=x2-x+6的图像与x轴交点的坐标是什么？

（3）当y＜0时，x的取值范围是什么？

画出图像，根据图像回答问题。

引导学生根据图像回答问题，感受数形结合的数学思想方法。

概括归纳

一般地，二次函数

的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程

的解。

函数

的图像在x轴上方（下方）的部分所对应的自变量x的取值范围，即为一元二次不等式

ax2+bx+c＞0（＜0）的解集。

由特殊到一般，归纳出方法，学会根据二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围来确定不等式的的解集。

强调二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围即为不等式的解集。

解不等式x2-2x-3＞0。

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.

如图，函数y=x2-2x-3的图像是开口向

上的抛物线，与x轴有两个交点（-1,0）

和（3,0）。

观察图像可得，原不等式的解集为

{x|x<

-1或x>

3}，即（-∞，-1）∪（3，+∞）。

强调解题过程的规范性。

方法小结

当a＞0时，解形如ax2+bx+c＞0（≥0）或ax2+bx+c＜0（≤0）的一元二次不等式，一般步骤为：

确定对应方程

的解；

画出对应函数

的图像；

由图形得出不等式的解集。

P37练习1,2

（1）题

由例题归纳出一般方法和步骤。

然后仿照例题完成针对性练习。

思考交流：

不等式x2-2x-3≤0的解集是什么？

P37练习2

（2）题

在教师的引导下从两个方向考虑

1、按例1的方法解

不等式，注意带等号与不带等号区别。

2、从集合的角度，x2-2x-3≤0的解集是

x2-2x-3＞0的补集。

让学生在教师的引导下通过合作交流解决问题。

1、当a＞0时，解形如ax2+bx+c＞0（≥0）或ax2+bx+c＜0（≤0）的一元二次不等式，一般步骤。

2、你在解一元二次不等式的过程中，感到困难的地方在哪里？

你是如何克服的？

P42习题第1题，第2题的第

（1）、（3）小题。

第5课时：

1、掌握一元二次不等式的图像解法，并归纳出一般地一元二次不等式的求解步骤；

一元二次不等式的图像解法及一元二次不等式解集情况的一般规律。

指出二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围和△＜0时的解集。

确定对应方程ax2+bx+c=0的解；

画出对应函数y=ax2+bx+c的图像；

解不等式9x2-6x+1＞0。

因为△=（-6）2-4×

9×

1=0，所以方程有两个相等的实数解：

函数y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线，与x轴只有一个交点（1/3,0），如右图。

回顾基本方法，交流、合作解答本题。

注意引导学生理解本题解集的区间表示，可借助数轴直观表示。

思考：

不等式9x2-6x+1≤0的解集是什么？

1、按一般方法解不

等式。

2、9x2-6x+1≤0的解集是9x2-6x+1＞0的解集的补集的角度思考。

引导学生类比前一节课的“思考交流”加以解决。

解不等式x2-2x+2＞0.

因为△=（-2）2-4×

2×

1=-4＜0，所以方程x2-2x+2=0无实数解。

函数y=x2-2x+2的图像是开口向上的抛物线，与x轴没有交点，如右图。

观察图像可得，原不等式的解集为R。

进一步强调解题过程的规范性。

归纳总结

一般地，当a＞0时，解形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的一元二次不等式，有如下结论：

判别式

△=b2-4ac

△＞0

△=0

△＜0

一元二次方程

ax2+bx+c的根

有两个相异的实数解

x1，x2（x1＜x2）

有两个相等的实数解

x1=x2=-b/2a

无实数解

二次函数

y=ax2+bx+c

的图像

一元二次不等式ax2+bx+c＞0

的解集

（-∞，x1）

∪（x2，+∞）

（-∞，-b/2a）

∪（-b/2a，+∞）

一元二次不等式ax2+bx+c＜0

（x1，x2）

ф

反馈练习

P39练习1

独立完成

1、自变量x分别取什么值时，下列函数值大于0、等于0、小于0？

（1）y=x2+6x+10

（2）y=25-x2

2、用一根长10m的绳子，能围成面积大于6m2的矩形吗？

能围成面积大于7m2的矩形吗？

在教师的引导下运用一元二次不等式知识解决实际问题，感受数学的实用性，增强学习的主动性。

学以致用，增强学生学习的主动性。

1、当a＞0时，解形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的一元二次不等式，

解集的情况如何？

2、谈谈你对一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系的理解。

第6课时：

1、掌握一元二次不等式的图像解法，能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决；

2、进一步培养学生的计算技能；

3、在解一元二次不等式的图像解法的过程中进一步感受数形结合的数学思想方法。

能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决。

解带参数的一元二次不等式。

探究学习

如何解二次项系数为负数的一元二次不等式？

解不等式-x2-2x+3＞0。

在不等号两边同时乘以-1，得x2+2x-3＜0，

方程x2+2x-3=0的解为x1=1,x2=-3

如图，函数y=x2+2x-3的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点（1,0）和（-3,0）。

观察图像可得，原不等式的解集为（-3,1）。

强调不等式两边同乘-1时，不等号要改变方向。

解不等式19x-6≥3x2。

将不等式变形得：

3x2-19x+6≤0.

方程3x2-19x+6=0的解为

.

所以原不等式的解集为

P40练习1、2

在解题的过程中，归纳解题步骤：

1、将不等式变形为

二次项系数为正数的一般形式。

2、解一元二次方程。

3、得出不等式解集。

能力提升

解关于x的不等式

x2-（2m+1）x+m2+m＞0.

方程x2-（2m+1）x+m2+m=0的解为：

x1=m,x2=m+1

因为m＜m+1，所以原不等式的解集为：

（-∞，m）∪（m+1,+∞）

独立计算

学生板演

重在提高学生的运算能力。

1、x2+2x-3＜0

（x-3）（x+1）＜0,根据实数

乘法的符号法则说明该不等式的解集。

2、设集合M={x｜x²

+2x-15＜0},集合

N={x｜（1+x）（6-x）＜0},求M∪N，M∩N。

1、解形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的一元二次不等式的一般方法和步骤。

2、形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的一元二次不等式，解集的情况如何？

第7课时：

1、能熟练的解一元二次不等式，进一步培养学生的计算技能；

2、能根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。

3、激发学生热情，体会事物之间普遍联系的辩证思想。

根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。

根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。

情境引入

解下列不等式，看谁解的又快又好。

1、x2+2x-8＞02、x2+4x+4≤0

3、-3x2-2x+8≥04、x2+2x+3＜0

回顾解题方法，开展解题竞赛，看谁解的既准确有快速。

旨在培养学生的计算技能。

实数m在什么范围内取值，一元二次不等式x2+（m-3）x+m=0有实数解？

一元二次方程有实数解必须△≥0，

即（m-3）2-4m≥0,整理，得：

m2-10m+9≥0

解得：

m≤1或m≥9，

所以当m≤1或m≥9时，方程x2+（m-3）x+m=0有实数解。

P41练习1

学以致用

某商场一天内销售某型号电视机的数量x（台）与利润y（元）之间满足y=-10x2+500x。

如果这家商家计划在一天内通过销售该型号电视机产生60000元以上的利润，那么一天内大约应销售多少台该型号的电视机？

根据题意得：

-10x2+500x＞6000

移项、整理，得：

x2-50x+600＜0

20＜x＜30

因为x只能取正整数，所以当这家商场在一天内销售该型号电视机的数量在21台到29台之间时，能获得6000元以上的利润。

用10m长的篱笆围一块矩形菜地，当菜地的一边长xm满足什么条件时，矩形菜地面积最大?

谈谈你认为根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题关键是什么？

P42习题第4、5题

第8课时：

含绝对值的不等式

1、理解绝对值的几何意义，掌握简单的含绝对值的不等式的解法；

2、掌握含绝对值不等式的等价形式：

3、通过教学，体会数形结合、整体代换以及等价转化的数学思想方法。

掌握简单的含绝对值的不等式的解法。

理解去绝对值后，不等式与原不等式的等价性。

某工厂生产直径为10cm的传动轴，误差不超过0.02cm为合格产品。

若某技师生产的传动轴直径为dcm，经检测属合格品，则d满足什么条件？

分析数量关系得出：

｜d-10｜≤0.02

提出问题：

如何解含有绝对值的不等式？

分析实际问题中的数量关系，建立数学模型，得出含有绝对值的不等式。

提出问题。

1、从几何意义的角度我们是如何定义绝对值？

2、你根据绝对值的几何意义将下列两个含有绝

对值的不等式的解集在数轴上表示出来吗？

｜x｜＜3｜x｜＞3

所以：

｜x｜＜3的解集为（-3,3）

｜x｜＞3的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）

回顾初中所学的绝对值的几何意义，并在数轴上表示出｜x｜＜3和｜x｜＞3的解集。

在学生探究的基础上，设问｜x｜＜3和｜x｜＞3的几何意义及解集分别是什么？

方法归纳

如图，一般地，不等式｜x｜＜a（a＞0）的解集为（-a，a）；

不等式｜x｜＞a（a＞