电磁场与电磁波答案谢处方文档格式.docx

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解

（1）在直角坐标系中、、

故该点的直角坐标为。

（2）在球坐标系中、、

故该点的球坐标为

用球坐标表示的场，

（1）求在直角坐标中点处的和；

（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。

解

（1）在直角坐标中点处，，故

（2）在直角坐标中点处，，所以

故与构成的夹角为

球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。

证明和间夹角的余弦为

解由

得到

一球面的半径为，球心在原点上，计算：

的值。

在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

解在圆柱坐标系中

又

故有

求

（1）矢量的散度；

（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；

（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（3）对此立方体表面的积分

计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。

又在球坐标系中，，所以

求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。

再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。

证明：

（3）。

其中，为一常矢量。

（2）

（3）设，则，故

一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？

解在圆柱坐标系中，由

可得到

为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

给定矢量函数，试求从点到点的线积分：

（1）沿抛物线；

（2）沿连接该两点的直线。

这个是保守场吗？

解

（1）

（2）连接点到点直线方程为

即

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；

求点的方向导数值。

故沿方向的方向导数为

点处沿的方向导数值为

试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式

。

解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。

矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为

同理

因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为

故得到圆柱坐标下的散度表达式

方程给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解由于

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

现有三个矢量、、为

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？

哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

解

（1）在球坐标系中

故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

，；

，；

，

利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

证明

解根据算子的微分运算性质，有

式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。

由，可得

同理

所以

利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。

解

（1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有

由于曲面是任意的，故有

（2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有

其中和如题图所示。

由斯托克斯定理，有

，

由题图可知和是方向相反的同一回路，则有

所以得到

由于体积是任意的，故有

二章习题解答

一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。

如果、、横截面，求：

（1）和区域内的总电荷量；

（2）和区域内的总电荷量。

解

（1）

一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解质子的质量、电量。

由

得

故

一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。

设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球内的电荷体密度为

一个半径为的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球面的上电荷面密度为

两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。

解电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

故处的电场为

一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题图所示。

解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为

在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为

三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。

设，计算三角形中心处的电场强度。

解建立题图所示的坐标系。

三角形中心到各边的距离为

则

故等边三角形中心处的电场强度为

－点电荷位于处，另－点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？

解电荷在处产生的电场为

处的电场则为。

令，则有

由上式两端对应分量相等，可得到

①

②

③

当或时，将式②或式③代入式①，得。

所以，当或时无解；

当且时，由式①，有

解得

但不合题意，故仅在处电场强度。

2．9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。

证明：

垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。

解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为

故整个导电带电面在轴上处的电场强度为

而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为

一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题图所示。

求球心处的磁感应强度。

解球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为

细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题图所示。

电流以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度；

（2）证明：

在中点处等于零；

（3）求出与之间的关系，使中点处也等于零。

解

（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为

（2）两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为

故在中点处，有

（3）

令，有

即

故解得

一条扁平的直导体带，宽为，中心线与轴重合，通过的电流为。

证明在第一象限内的磁感应强度为，式中、和如题图所示。

解将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。

由安培环路定理，可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为

如题图所示，有一个电矩为的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为的电偶极子，位于矢径为的某一点上。

试证明两偶极子之间相互作用力为

式中，，是两个平面和间的夹角。

并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？

解电偶极子在矢径为的点上产生的电场为

所以与之间的相互作用能为

因为，，则

又因为是两个平面和间的夹角，所以有

另一方面，利用矢量恒等式可得

因此

于是得到（）

故两偶极子之间的相互作用力为

（）

（）

由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

两平行无限长直线电流和，相距为，求每根导线单位长度受到的安培力。

解无限长直线电流产生的磁场为

直线电流每单位长度受到的安培力为

式中是由电流指向电流的单位矢量。

同理可得，直线电流每单位长度受到的安培力为

一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为，如题图所示。

两电流间相互作用的安培力为

这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解无限长直线电流产生的磁场为

圆环上的电流元受到的安培力为

由题图可知

证明在不均匀的电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。

解如题图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为

当时，有

故得到

三章习题解答

真空中半径为的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷和，试计算球赤道平面上电通密度的通量（如题图所示）。

解由点电荷和共同产生的电通密度为

则球赤道平面上电通密度的通量

1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云，在球心有一正电荷（是原子序数，是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为，试证明之。

解位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为

原子内电子云的电荷体密度为

电子云在原子内产生的电通量密度则为

故原子内总的电通量密度为

电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为,两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题图所示。

求空间各部分的电场。

解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。

但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布，如题图所示。

空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在区域中，由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为

点处总的电场为

在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为

在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为

半径为的球中充满密度的体电荷，已知电位移分布为

其中为常数，试求电荷密度。

解：

由，有

故在区域

在区域

一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。

已知球内部的电场为，设球内介质为真空。

计算：

（1）球内的电荷分布；

（2）球壳外表面的电荷面密度。

解

（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

（2）球体内的总电量为

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为

两个无限长的同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。

（1）计算各处的电位移；

（2）欲使区域内，则和应具有什么关系？

解

（1）由高斯定理，当时，有

当时，有，则

当时，有，则

（2）令，则得到

计算在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点时电场所做的功：

（1）沿曲线；

故

长度为的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。

（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；

（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场，并用核对。

解

（1）建立如题图所示坐标系。

根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点的电位为

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元在点的电场为

故长为的线电荷在点的电场为

由求，有

已知无限长均匀线电荷的电场，试用定义式求其电位函数。

其中为电位参考点。

由于是无限长的线电荷，不能将选为无穷远点。

一点电荷位于，另一点电荷位于，求空间的零电位面。

解两个点电荷和在空间产生的电位

令，则有

由此可见，零电位面是一个以点为球心、为半径的球面。

证明习题的电位表达式为

解位于球心的正电荷在原子外产生的电通量密度为

电子云在原子外产生的电通量密度则为

所以原子外的电场为零。

故原子内电位为

电场中有一半径为的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

（1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？

表面有电荷分布吗？

试求之。

解

（1）由，可得到时，

时，

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足

（1）其中；

（2）圆柱坐标；

（3）圆柱坐标；

（4）球坐标；

（5）球坐标。

解

（1）在直角坐标系中

而

（2）在圆柱坐标系中

（4）在球坐标系中

（5）

已知的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?

（3）

（4）。

所以函数不是空间中的电位的解；

所以函数是空间中可能的电位的解；

（4）

所以函数不是空间中的电位的解。

中心位于原点，边长为的电介质立方体的极化强度矢量为。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；

（2）证明总的束缚电荷为零。

一半径为的介质球，介电常数为，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为

解由，可得到

即，

故中心点的电位为

一个半径为的介质球，介电常数为，球内的极化强度，其中为一常数。

（1）计算束缚电荷体密度和面密度；

（2）计算自由电荷密度；

（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解

（1）介质球内的束缚电荷体密度为

在的球面上，束缚电荷面密度为

（2）由于，所以

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

总的自由电荷量

（3）介质球内、外的电场强度分别为

介质球内、外的电位分别为

（1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；

（2）导出束缚电荷密度的表达式。

解

（1）由，得束缚电荷体密度为

在介质内没有自由电荷密度时，，则有

由于，有

由此可见，当电介质不均匀时，可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。

（2）束缚电荷密度的表达式为

两种电介质的相对介电常数分别为=2和=3，其分界面为=0平面。

如果已知介质1中的电场的

那么对于介质2中的和，我们可得到什么结果？

能否求出介质2中任意点的和？

解设在介质2中

在处，由和，可得

于是得到

故得到介质2中的和在处的表达式分别为

不能求出介质2中任意点的和。

由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。

电场中一半径为、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解在球表面上

故有，

可见和满足球表面上的边界条件。

球表面的束缚电荷密度为

平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。

电容器的一半厚度（）用介电常数为的电介质填充，如题图所示。

（1）

（1）?

板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

（2）

（2）?

若已知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷；

（3）（3）?

求电容器的电容量。

解

（1）设介质中的电场为，空气中的电场为。

由，有

又由于

由以上两式解得

，

故下极板的自由电荷面密度为

上极板的自由电荷面密度为

电介质中的极化强度

故下表面上的束缚电荷面密度为

上表面上的束缚电荷面密度为

（2）由

（3）电容器的电容为

厚度为、介电常数为的无限大介质板，放置于均匀电场中，板与成角，如题图所示。

（1）使的值；

（2）介质板两表面的极化电荷密度。

解

（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有

由此得到

（2）设介质板中的电场为，根据分界面上的边界条件，有，即

介质板左表面的束缚电荷面密度

介质板右表面的束缚电荷面密度

在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的和：

（1）平行于的针形空腔；

（2）底面垂直于的薄盘形空腔；

（3）小球形空腔（见第四章题）。

解

（1）对于平行于的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有。

故在针形空腔中

（2）对于底面垂直于的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有。

故在薄盘形空腔中

在面积为的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板处的一直变化到另一极板处的，试求电容量。

解由题意可知，介质的介电常数为

设平行板电容器的极板上带电量分别为，由高斯定理可得

所以，两极板的电位差

故电容量为

一体密度为的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。

解在质子束内部，由高斯定理可得

在质子束外部，有

考虑一块电导率不为零的电介质，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。

证明当介质中有恒定电流时，体积内将出现自由电荷，体密度为。

试问有没有束缚体电荷？

若有则进一步求出。

对于恒定电流，有，故得到

介质中有束缚体电荷，且

填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为，外导体内半径为，介质的分界面半径为。

两层介质的介电常数为和，电导率为和。

设内导体的电压为，外导体接地。

（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；

（2）介质分界面上的自由电荷面密度；

（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。

解

（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为，则由，可得电流密度

介质中的电场

由于

故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

（2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为

介质2外表面的电荷面密度为

两种介质分界面上的电荷面密度为

（3）同轴线单位长度的漏电阻为

由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为

半径为和的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为的导电媒质（为常数）。

若内导体球面的电位为，外导体球面接地。

试求：

（1）媒质中的电荷分布；

（2）两个理想导体球面间的电阻。

解设由内导体流向外导体的电流为，由于电流密度成球对称分布，所以

电场强度

由两导体间的电压

媒质中的电荷体密度为

媒质内、外表面上的电荷面密度分别为

（2）两理想导体球面间的电阻

电导率为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为和的理想导体小球，两球之间的距离为，试求两小导体球面间的电阻。

解此题可采用静电比拟的方法求解。

假设两小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。

由电荷和的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。

设两小球分别带电荷和，由于、，可得到两小球表面的电位为

所以两小导体球面间的电容为

由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为

故两个小导体球面间的电阻为

在一块厚度的导电板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如题图所示。

（1）沿厚度方向的电阻；

（2）两圆弧面之间的电阻；

沿方向的两电极的电阻。

设导电板的电导率为。

解

（1）设沿厚度方向的两电极的电压为，则有

故得到沿厚度方向的电阻为

（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为，则

故得到两圆弧面之间的电阻为

（3）设沿方向的两电极的电压为，则有

由于与无关，所以得到

故得到沿方向的电阻为

圆柱形电容器外导体内半径为，内导体半径为。

当外加电压固定时，在一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。

解设内导体单位长度带电荷为，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

由内外导体间的电压

由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式

在圆柱形电容器中，处的电场强度最大

令对的导数为零，即

同轴线单位长度的静电储能等于。

为单位长度上的电荷量，为单位长度上的电容。

解由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

内外导体间的电压为

则同轴线单位长度的电容为

同轴线单位长度的静电储能为

如题图所示，一半径为、带电量的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为和，分界面为无限大平面。

（1）导体球的电容；

（2）总的静电能量。

解

（1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有。

由于、，所以。

由高斯定理，得到

导体球的电位

故导体球的电容

（2）总的静电能量为

把一带电量、半径为的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。

解先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力，然后在半球面上对积分，求出两半球之间的电场力。

导体球的电容为

故静电能量为

根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力

方向沿导体球表面的外法向，即

这里

在半球面上对积分，即得到两半球之间的静电力为

如题图所示，两平行的金属板，板间距离为，竖直地插入在电容率为的液体中，两板间加电压，证明液面升高

其中为液体的质量密度。

解设金属板的宽度为、高度为。

当金属板间的液面升高为时，其电容为

金属板间的静电能量为

液体受到竖直向上的静电力为

而液体所受重力

与相平衡，即

故得到液面上升的高度

可变空气电容器，当动片由至电容量由至直线地变化，当动片为角时，求作用于动片上的力矩。

设动片与定片间的电压为。

解当动片为角时，电容器的电容为

此时电容器中的静电能量为

作用于动片上的力矩为

平行板电容器的电容是，其中是板的面积，为间距，忽略边缘效应。

（1）如果把一块厚度为的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题图所示。

则在原电容器电压一定的条件下，电容器的能量如何变化？

电容量如何变化？

（2）如果在电荷一定的条件下，将一块横截面